Théorème
Soient \( u\) et \( v\) deux fonctions intégrables sur un intervalle \( [a, b]\) .
\[\int_a^bu'(x)v(x)\ dx=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^bu(x)v'(x)\ dx\]
Démonstration
C'est une conséquence de la formule de dérivation d'un produit : \( (uv)'=u'v+v'u\) .
Calculons par exemple l'intégrale \( \dpl{\int_0^1 xe^x\ dx}\) . On applique la formule d'intégration par partie en posant \( u' = e^x\) de sorte que \( u=e^x\) et \( v=x\) de sorte que \( v'=1\) . On a alors :
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 xe^x\ dx
&=& \left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x\ dx\\
&=& \left(0e^0-1e^1\right)-\left[e^x\right]_0^1\\
&=& e-\left(e^0-e^1\right)\\
&=& 2e-1
\end{eqnarray*}