Reprenons le raisonnement de l'introduction.
Nous cherchons \( \alpha_n\) et \( \beta_n\) tel que
\( \dpl{\sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_ncos(nt)+\beta_nsin(nt)=s(t)}\) pour presque tous les \( t\in \R\) .
Commençons par un petit calcul intégrale.
Proposition
Soient \( n\) et \( m\) des entiers.
- \( \dpl{\int_{-\pi}^{\pi} cos(nt)cos(mt)\ dt=\left\{
\begin{array}{ll}
0&\text{si } m\neq n\\
\pi&\text{si } m=n\neq 0\\
2\pi&\text{si } m=n=0
\end{array}
\right.}\)
- \( \dpl{\int_{-\pi}^{\pi} cos(nt)sin(mt)\ dt=0}\)
- \( \dpl{\int_{-\pi}^{\pi} sin(nt)sin(mt)\ dt=\left\{
\begin{array}{ll}
\pi&\text{si } m=n\neq 0\\
0&\text{sinon.}
\end{array}
\right.}\)
Démonstration
- Le formulaire de trigonométrie nous rappel que \( cos(x)cos(y)=\dfrac{1}{2}\left(cos(x-y)+cos(x+y)\right)\) . Ainsi on a
\begin{eqnarray*}
\int_{-\pi}^{\pi} cos(nt)cos(mt)\ dt
&=&\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{2}\left(cos(nt-mt)+cos(nt+mt)\right)\ dt\\
&=&\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} cos\left((n-m)t\right)\ dt+\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} cos\left((n+m)t\right)\ dt
\end{eqnarray*}
- Si \( m=n=0\)
- alors, puisque \( cos(0)=1\) , il s'agit de calculer l'intégrale de \( 1\) entre \( -\pi\) et \( \pi\) ce qui fait \( 2\pi\) .
- Si \( m=n\neq0\)
- alors d'une part \( \dpl{\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} cos\left((n-m)t\right)\ dt=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 1\ dt=\pi}\) et d'autre part, puisque \( sin(k\pi)=0\) lorsque \( k\) est entier, \( \dpl{\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} cos\left((n+m)t\right)\ dt=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{sin\left((n+m)t\right)}{n+m}\right]_{-\pi}^\pi}=0\) .
- Si \( n\neq m\)
- on aura alors également \( \dpl{\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} cos\left((n+m)t\right)\ dt=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{sin\left((n+m)t\right)}{n+m}\right]_{-\pi}^\pi}=0\) mais aussi \( \dpl{\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} cos\left((n-m)t\right)\ dt=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{sin\left((n-m)t\right)}{n-m}\right]_{-\pi}^\pi}=0\) .
- Nous raisonnons comme précédemment en utilisant la formule \( cos(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}\left(sin(x+y)-sin(x-y)\right)\) .
\begin{eqnarray*}
\int_{-\pi}^{\pi} cos(nt)sin(mt)\ dt&=&
\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{2} \left(sin(nt+mt)-sin(nt-mt)\right)\ dt\\&=&
\dfrac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} sin(nt+mt)\ dt-
\dfrac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} sin(nt-mt)\ dt\\&=&
\dfrac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} sin((n+m)t)\ dt-
\dfrac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} sin((n-m)t)\ dt\\&=&
\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{cos((n+m)t)}{n+m}\right]_{-\pi}^\pi-
\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{cos((n-m)t)}{n-m}\right]_{-\pi}^\pi
\end{eqnarray*}
Nous laissons le soin au lecteur de vérifier les cas d'exceptions.
- Pour cette dernière formule on utilisation la règle \( sin(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}\left(cos(x-y)-cos(x+y)\right)\) qui est comme le premier cas traité avec un moins entre les deux expressions du cosinus.
Ceci étant, nous cherchons à déterminer les coefficients \( \alpha_n\) et \( \beta_n\) tel que \( \dpl{s(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_ncos(nt)+\beta_nsin(nt)}\) .
Multiplions cette égalité par \( cos(mt)\) et intégrons.
\begin{eqnarray*}
\int_{-\pi}^\pi s(t) cos(mt)\ dt
&=& \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_ncos(nt)+\beta_nsin(nt)\right)cos(mt)\ dt\\
&=& \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_ncos(nt)cos(mt)+\beta_nsin(nt)cos(mt)\right)\ dt\\
&=& \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_n\underbrace{\int_{-\pi}^\pi cos(nt)cos(mt)\ dt}_{0 \text{ sauf si }n=m}+\beta_n\underbrace{\int_{-\pi}^\pi sin(nt)cos(mt)\ dt}_{0}\\
&=&\alpha_m \pi
\end{eqnarray*}
Ainsi le
meilleur coefficient \( \alpha_m\) à choisir pour que le signal \( s\) se rapproche de la série de Fourier \( S_F\) est \( \dpl{\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi s(t) cos(mt)\ dt}\) .
Comme le montre la proposition, on prendra garde au cas \( m=0\) , \( \alpha_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi s(t)\ dt\) .
En multipliant par \( sin(mt)\) et en raisonnant de même on trouve \( \beta_m=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi s(t)sin(mt)\ dt\) .
Maintenant que nous avons ces
meilleurs coefficients, nous pouvons introduire la définition suivante.
Définition
Soient \( f\) une fonction continue par morceau et \( 2\pi\) -périodique.
- \( \bullet\)
- On défini les coefficients de Fourier réels de \( f\) par les formules suivantes :
\[\alpha_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\ dt\]
\[\forall m\in\N_{{>}0}, \alpha_m=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(mt)\ dt\]
\[\forall m\in\N, \beta_m=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(mt)\ dt\]
- \( \bullet\)
- On défini la série de Fourier de \( f\) noté \( S_F(f)\) la fonction définie sur \( \R\) par
\[S_F(f)(t)=\sum_{n=0}^\infty \alpha_ncos(nt)+\beta_nsin(nt)\]
Remarque
- L'hypothèse de continuité faites sur \( f\) est un peu forte mais dans la pratique suffisante. Il faut juste que les intégrales de \( f(t)sin(nt)\) et \( f(t)cos(nt)\) puissent être calculées ce qui est le cas avec cette hypothèse.
- Il faudrait vérifier que la série de Fourier est une série convergente. Monsieur Fourier l'a fait pour nous. Merci l'ami !
- Par des changement de variable peu élégant, il n'est pas nécessaire de réaliser l'intégrale entre \( -\pi\) et \( \pi\) . On peut le faire entre \( a\) et \( b\) pourvu que \( b-a=2\pi\) . Autrement dis : sur n'importe quel intervalle de longueur \( 2\pi\) .
Reprenons le signal périodique de l'introduction définie sur une période par \( s(t)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\text{si } t\in [-\pi ; 0[\\
1&\text{si } t\in [0 ; \pi[
\end{array}\right.\)
Calculons les coefficients de Fourier.
- \( \bullet\)
-
\begin{eqnarray*}
\alpha_0
&=&\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi s(t) \ dt\\
&=&\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0 0 \ dt+\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^\pi 1 \ dt\\
&=&\dfrac{1}{2\pi}[t]_0^\pi\\
&=&\dfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
- \( \bullet\)
-
\begin{eqnarray*}
\alpha_m
&=&\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(t)cos(mt)\ dt\\
&=&\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}0cos(mt)\ dt+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1cos(mt)\ dt\\
&=&\dfrac{1}{\pi}\left[\dfrac{sin(mt)}{m}\right]_{0}^\pi\\
&=&\dfrac{1}{\pi}\left(\dfrac{0-0}{m}\right)\\
&=&0
\end{eqnarray*}
- \( \bullet\)
-
\begin{eqnarray*}
\beta_m
&=&\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(t)sin(mt)\ dt\\
&=&\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}0sin(mt)\ dt+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1sin(mt)\ dt\\
&=&\dfrac{1}{\pi}\left[\dfrac{-cos(mt)}{m}\right]_{0}^\pi\\
&=&\dfrac{1}{\pi}\left(\dfrac{-(-1)^m-(-1)}{m}\right)\\
&=&\dfrac{1-(-1)^m}{\pi m}\\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 &\text{si }m=2k\\
\dfrac{2}{(2k+1)\pi} &\text{si }m=2k+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
Ainsi la série de Fourier du signal \( s\) est
\[S_F(s)(t) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi} sin(t) + \dfrac{2}{3\pi} sin(3t) + \dfrac{2}{5\pi} sin(5t) + \dfrac{2}{7\pi} sin(7t) + \dfrac{2}{9\pi} sin(9t) + \ldots\]
Observons les différentes itérations de la séries relativement au signal.
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}\) .
-
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}sin(t)\) .
-
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}sin(t)+\dfrac{2}{3\pi}sin(3t)\) .
-
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}sin(t)+\dfrac{2}{3\pi}sin(3t)+\dfrac{2}{5\pi}sin(5t)\) .
-
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}sin(t)+\dfrac{2}{3\pi}sin(3t)+\dfrac{2}{5\pi}sin(5t)+\dfrac{2}{7\pi}sin(7t)\) .
-
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}sin(t)+\dfrac{2}{3\pi}sin(3t)+\dfrac{2}{5\pi}sin(5t)+\dfrac{2}{7\pi}sin(7t)+\dfrac{2}{9\pi}sin(9t)\) .
-
- Tracé de la fonction \( t\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}sin(t)+\dfrac{2}{3\pi}sin(3t)+\dfrac{2}{5\pi}sin(5t)+...+\dfrac{2}{19\pi}sin(19t)\) .
-
On devine qu'à l'infini cette somme converge vers le signal \( s\) . Mais il y a une contradiction. La série de Fourier \( S_F\) est continue (en tant que somme de fonction continue) mais ce n'est pas le cas de \( s\) ...
