Définition
Soient \( f\) une fonction continue et \( F\) une fonction dérivable sur un intervalle \( [a ; b]\) . On dira que \( F\) est une primitive de la fonction \( f\) si \( F'=f\) .
Par exemple si \( f(x)=2x\) et \( F(x)=x^2\) alors \( F\) est une primitive de \( f\) . Si \( G(x)=x^2+1\) alors \( G'=f\) et \( G\) est une primitive de \( f\) . Il existe une infinité de primitive qui sont toutes les même à une constante près.
Théorème
Soient \( f\) une fonction continue sur \( [a; b]\) et \( F\) une primitive de \( f\) alors
\[\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)\]
Démonstration
Notons \( G(t)=\dpl{\int_a^tf(x)\ dx}\) . Nous allons montrer que \( G'(t)=f(t)\) ce qui prouvera que \( G\) est une primitive de \( f\) et donc que \( G(t)=F(t)+k\) pour un certain réel \( k\) . Ainsi nous aurons
\[F(b)-F(a)=(F(b)+k)-(F(a)+k)=G(b)-G(a)=\int_a^bf(x)\ dx-\int_a^af(x)\ dx=\int_a^bf(x)\ dx\]
Rappelons que, par définition, \( G'(c)=\lim{t\rightarrow c}\dfrac{G(t)-G(c)}{t-c}\) . Or la relation de Chasles permet d'écrire
\[G(t)-G(c)=\int_a^tf(x)\ dx-\int_a^cf(x)\ dx=\int_c^tf(x)\ dx\]
Il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaire des nombres \( m_t\) et \( M_t\) entre les nombres \( c\) et \( t\) tel que \( m_t\leqslant f(x) \leqslant M_t\) .
\begin{eqnarray*}
m_t\leqslant f(x) \leqslant M_t \quad &\Longrightarrow& \quad
\int_c^t m_t\ dx\leqslant\int_c^t f(x)\ dx \leqslant\int_c^t M_t\ dx \qquad\text{par la positivité de l'intégrale}\\
&\Longrightarrow& \quad
(t-c)m_t\leqslant\int_c^t f(x)\ dx \leqslant(t-c)M_t \qquad\text{aire d'un rectangle}\\
&\Longrightarrow& \quad
(t-c)m_t\leqslant G(t)-G(c)\leqslant(t-c)M_t \\
&\Longrightarrow& \quad
m_t\leqslant \dfrac{G(t)-G(c)}{t-c}\leqslant M_t\\
\end{eqnarray*}
Lorsque \( t\) va tendre vers \( c\) les nombres \( m_t\) et \( M_t\) vont se rapprocher de \( f(c)\) . Ainsi à la limite on aura bien \( f(c)=\lim{t\rightarrow c}\dfrac{G(t)-G(c)}{t-c}\) .
Ainsi dans la pratique lorsque l'on souhaite déterminer la valeur exacte d'une intégrale, on recherche une primitive. On observe que \( F(x)=x^3+x\) est une primitive de \( f(x)=3x^2+1\) de sorte
\( \dpl{\int_0^1 3x^2+1\ dx}=(1^3+1)-(0^3+0)=2\) .
En se sevrant des dérivés on détermine les correspondances suivantes.
Proposition
On désigne par \( F\) la primitive de \( f\) .
\[
\begin{array}{c||c}
f&F\\\hline\hline
x^n \ (n\neq-1) & \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\\
\dfrac{1}{x} \ (n=-1) & ln(x)\\
\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ (n=-\frac{1}{2}) & 2\sqrt{x}\\
e^x & e^x\\
cos(x)&sin(x)\\
sin(x)&-cos(x)
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c||c}
f&F\\\hline\hline
u^n{\color{red}{\times u'}} \ (n\neq-1) & \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\\
\dfrac{1}{u}{\color{red}{\times u'}} \ (n=-1) & ln(u)\\
\dfrac{1}{\sqrt{u}}{\color{red}{\times u'}} \ (n=-\frac{1}{2}) & 2\sqrt{u}\\
e^u {\color{red}{\times u'}}& e^u\\
cos(u){\color{red}{\times u'}}&sin(u)\\
sin(u){\color{red}{\times u'}}&-cos(u)
\end{array}
\]
Par exemple une primitive de \( e^{3x}\) est \( \dfrac{1}{3}e^{3x}\) .
