Approchons l'intégrale par des sommes de rectangle.
Découpage en \( 1\) rectangle.
On a approché \( \dpl{\int_a^b f(x)\ dx}\) par l'aire d'un rectangle d'où \[\int_a^b f(x)\ dx\simeq (b-a)\times f(a)\]
Dans cette approche, on observe que l'erreur, la partie manquante à la vrai valeur de l'intégrale, est très grande. Le principe des sommes de Riemann est diviser l'intervalle en bien plus de rectangle pour minimiser l'erreur.
Découpage en \( 5\) rectangles
Dans cette approche on a diviser l'intervalle en 5 morceaux d'égale longueur \( \dfrac{b-a}{5}\) . Notons \( x_i=a+i\dfrac{b-a}{5}\) de sorte que \( x_0=a\) et \( x_5=b\) . Alors les rectangles ont pour aire \( \dfrac{b-a}{5}f(x_i)\) de sorte que la somme des aires de ces rectangles approche bien mieux l'intégrale.
\[\int_a^bf(x)\ dx\simeq \sum_{i=0}^4\dfrac{b-a}{5}f(x_i)\]
Plus on va diviser l'intervalle \( [a ; b]\) en morceau petit, plus on approchera l'aire sans erreur. En mathématiques,
approcher c'est passer à la limite.
Découpage en \( 10\) rectangles
Découpage en \( 25\) rectangles
Théorème
Soit \( f\) une fonction définie et continue sur \( [a ; b]\) ,
\[\lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f\left(a+i\times \dfrac{b-a}{n}\right)=\int_a^bf(x)\ dx\]
L'hypothèse de continuité est un peu forte, dans la pratique il suffit de que la fonction soit
presque continue ; c'est à dire continue sur l'intervalle \( [a; b]\) sauf en certain point de cet intervalle. On retiendra que si la fonction n'est pas continue, nous pouvons tout de même définir l'intégrale.
Traitons par exemple \( \dpl{\int_0^1 exp(x)\ dx}\) .
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 exp(x)\ dx
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}exp\left(\dfrac{i}{n}\right) \\
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\left(exp\left(\dfrac{0}{n}\right)+exp\left(\dfrac{1}{n}\right)+exp\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots+exp\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right)\\
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\left(
\dfrac{1-exp\left(\dfrac{1}{n}\right)^n}{1-exp\left(\dfrac{1}{n}\right)}
\right)\qquad\text{Somme des termes d'une suite géométrique}\\
&=& \lim{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\left(
\dfrac{1-exp(1)}{1-exp\left(\dfrac{1}{n}\right)}
\right)\\
&=& \lim{x\rightarrow 0}x\left(
\dfrac{1-exp(1)}{1-exp(x)}
\right)\qquad \text{En posant }x=\dfrac{1}{n}\\
&=& \lim{x\rightarrow 0}
\dfrac{1-exp(1)}{-\underbrace{\dfrac{exp(x)-1}{x}}_{\rightarrow 1}}\\
&=& e-1
\end{eqnarray*}
Dans la pratique on ne procède JAMAIS comme ça !
C'est bien trop laborieux ! Utilisation de suite, changement de variables...
Commençons par explorer, à partir de la définition et des sommes de Riemann, les premières propriétés de l'intégrale.
Proposition
- Relation de Chasles
\[\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^c f(x)\ dx+\int_c^b f(x)\ dx\]
- Linéarité (I)
\[\int_a^b f(x)+g(x)\ dx=\int_a^b f(x)\ dx+\int_a^b g(x)\ dx\]
- Linéarité (II)
\[\int_a^b \lambda f(x)\ dx=\lambda\int_a^b f(x)\ dx\]
- Positivité : si \( f\) est positive sur \( [a ; b]\) alors il en va de même pour \( \dpl{\int_a^b f(x)\ dx}\) .
- Inégalité
\[\left|\int_a^b f(x)\ dx\right|\leqslant\int_a^b |f(x)|\ dx\]
Démonstration
Ces propriétés découlent naturellement de la définition et des sommes de Riemann.
En particulier puisque \( \dpl{\int_a^a}f(x)\ dx=0\) (il n'y pas d'aire) alors la relation de Chasles donne \[\int_a^b f(x)\ dx=-\int_b^a f(x)\ dx\]
Toutes ces belles propriétés sont forts sympathique mais dans la pratique comment calculer une intégrale ?
