Définition
Soit \( f\) une fonction définie sur un intervalle \( [a ; b]\) . L'aire comprise entre les droites \( x=a\) , \( x=b\) l'axe des abscisses (\( y=0\) ) et la courbe représentative de \( f\) est appelée l'intégrale de \( f\) entre \( a\) et \( b\) . On note cette aire
\[\int_a^bf(x)\ dx\]
L'histoire de cette définition est multiple et trouve divers applications dans le monde de la mécanique. Nous présenterons ici un problème mathématico-mathématiques : on veut
juste calculer une aire sous une courbe.
En dessin cela donne :
Il est important de noter que l'on considère des aires algébriques. Lorsque l'aire cherchée est au dessus de l'axe des abscisses elle sera comptée positivement et négativement en dessous.
Voila une bien belle définition avec une notation bien mystérieuse, mais dans la pratique, comment est-ce que l'on procède au calcul ?
Prenons par exemple une droite d'équation \( f(x)=x+2\) et déterminons l'intégrale de \( f\) entre \( -3\) et \( 0\) .
Un rapide dessin nous montre que cette aire est la somme de deux morceaux : l'aire du triangle \( ABC\) et l'aire du triangle \( COD\) .
En fait il ne s'agit tout à fait d'une somme comme nous l'avons signalé plus haut mais plutôt d'une somme algébrique (
ie qui peut changer de signe suivant le signe de \( f\) ).
Le triangle étant un objet très simple de la géométrie, calculer son aire ne souffre d'aucune difficulté. L'aire du triangle \( ABC\) vaut \( 1\) et celle du triangle \( COD\) vaut \( 4\) .
En conclusion l'aire cherchée vaut \( 3\) .
Très bien l'intégrale d'une droite c'est facile ! Il ne s'agit que d'aire de triangle... mais comment faire pour les polynômes de degrés \( 2\) , \( 3\) un logarithme ou une exponentielle ?
Pour calculer cette aire sous la courbe, nous allons l'approcher par des objets de la géométrie beaucoup plus simple comme des triangles voir encore plus simple des rectangles.
L'un des premiers instigateur de cette approche est Bernhard Riemann d'où le nom de cette approche : les sommes des Riemann.
