Les fonctions trigonométrique
sinus et
cosinus sont des fonctions périodiques.
L'idée géniale de Joseph Fourier
1 est de penser que toutes les fonctions périodiques sont, à peu de chose près, des
sinus et
cosinus.
Prenons par exemple, un signal périodique définie sur une période par \( s(t)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\text{si } t\in [-\pi ; 0[\\
1&\text{si } t\in [0 ; \pi[
\end{array}\right.\)
Fourier cherche une fonction trigonométrique
\[S_F(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \alpha_ncos(nt)+\beta_nsin(nt)\]
qui se rapproche le plus du signal \( s\) , au sens ou \( S_F(t)=s(t)\) pour presque toutes les valeurs de \( t\) .
Le premier problème que se pose Fourier est de savoir si cette somme \( S_F\) existe. Il s'agit en effet d'une somme infinie (on parle de
série). Ce n'est pas l'objectif de ce cours, mais Fourier répond par l'affirmative à cette question !
Le second problème qui se pose est de chercher les valeurs des coefficients \( \alpha_n\) et \( \beta_n\) . Fourier trouve la réponse du coté des intégrales. Rafraichissons-nous la mémoire sur cet outil.
1Mathématicien et physicien français née le 21 mars 1768 et mort le 16 mai 1830