Les calculs dans l'ensemble des nombres complexes se fait exactement comme dans celui des nombres réelles à ceci près que \( i\) vérifie \( i^2=-1\) .
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) deux nombres complexes alors
\[\Re(z\pm z')=\Re(z)\pm\Re(z')\]
\[\Im(z\pm z')=\Im(z)\pm\Im(z')\]
Démonstration
Soit \( z=x+iy\) et \( z'=x'+iy'\) . Il s'agit de voir que \( \Re(z\pm z')x\pm x'\) et \( \Im(z\pm z')=y\pm y'\)
\begin{eqnarray*}
z+z'&=&(x+iy)\pm(x'+iy')\\
&=&x+iy\pm x'\pm iy'\\
&=&x\pm x'+iy\pm iy'\\
&=&(x\pm x')+i(y\pm y')
\end{eqnarray*}
Proposition
Soit \( z\) un nombre complexe et \( \lambda\in \R\)
\[
\Re(\lambda z)=\lambda \Re(z),\qquad
\Im(\lambda z)=\lambda \Im(z)
\]
Démonstration
Soit \( z=x+iy\) . Il s'agit de voir que \( \Re(\lambda z)=\lambda x\) et
\( \Im(\lambda z)=\lambda y\)
\begin{eqnarray*}
\lambda z&=&\lambda (x+iy)\\
&=&\lambda x+\lambda (iy)\\
&=&\lambda x+i(\lambda y)
\end{eqnarray*}
Ces deux propositions montre que les nombres complexes ont une structure
linéaire. Pour l'addition on additionne les parties réelles ; respectivement pour la partie imaginaire. De même pour la multiplication réelle.
Les choses se "compliquent" pour la multiplication et la division. Bien qu'en fait il ne s'agit que d'opérations algébriques classique avec la règle \( i^2=-1\) .
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) deux nombres complexes.
\[\Re(zz')=\Re(z)\Re(z')-\Im(z)\Im(z')\]
\[\Im(zz')=\Im(z)\Re(z')+\Re(z)\Im(z')\]
Démonstration
Posons \( z=x+iy\) et \( z'=x'+y'\) .
\begin{eqnarray*}
zz'&=&(x+iy)(x+iy)\\
&=&xx'+ixy'+iyx'+iyiy'\\
&=&xx'+ixy'+iyx'+\underbrace{i^2}yy'\\
&=&xx'+ixy'+iyx'-yy'\\
&=&xx'-yy'+ixy'+iyx'\\
&=&xx'-yy'+i(xy'+yx')
\end{eqnarray*}
Dans la pratique on n'utilise pas ces formules, on le redémontre, en développant ou factorisant au besoin. Ces formules montrent
simplement qu'on peut faire comme si \( i\) était une variable \( x\) ou avec la règle imaginaire \( i^2=-1\) .
Par exemple, si \( z_1=3+\dfrac{i}{2}\) et \( z_2=1-i\) alors
\begin{eqnarray*}
2z_1-z_2^2
&=&2(3+\dfrac{i}{2}) - (1-i)^2\\
&=&(6+i) - (1^2-2\times 1\times i + i^2)\\
&=&(6+i) - (1-2i -1)\\
&=&(6+i) - (-2i )\\
&=&6+i +2i \\
&=&6+3i
\end{eqnarray*}
Pour la division de nombre complexe, il faut faire un peu plus d'effort mais sans plus de difficulté.
