Ataraxy

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On pourrait donner plein d'histoire racontant la naissance des nombres complexes qui s'utilisent presque partout (mécanique classique, quantique ou céleste etc). On peut aussi et plus simplement rester dans un univers mathématico-mathématique et poser une définition, base de travail.

Définition

On note $ i$ le nombre vérifiant $ i^2=-1$ .

Cette définition suffit ! Mais en vrai, il faudrait, pour ne pas créer de faille spatio-temporelle dans l'univers des mathématiques, le définir plus proprement ou plutôt nous assurer que cette définition est cohérente. L'un des premiers penseurs de cet étrange nombre est Gauss (encore) et la création qu'il en a fait en son temps et ce que nous en avons fait avec notre technologie¹ en font une définition très cohérente (pour faire peur : on note $ i$ la classe de $ X$ dans l'anneau $ \R[X]/(X^2+1)$ ). Bref ! On a dans notre poche un nombre qui au carré vaut $ -1$ . Évidemment ce nombre n'est pas réel, puisque les nombres réels sont tous positifs lorsqu'ils sont au carré. Mais alors qu'est-ce que ce $ i$ ? Où est-il ? Regardons de plus près l'opération mettre au carré. Lorsque l'on met au carré le nombre $ -1$ on obtient $ 1$ . C'est à dire que sur l'axe des nombres réels, le nombre $ -1$ passe de l'autre coté du $ 0$ . Le nombre $ -1$ fait un angle de $ \pi$ par rapport à l'axe des nombres réels et le fait qu'il se retrouve de l'autre coté du $ 0$ peut se traduire par on a doublé son angle. Double... carré... on voit le nombre $ 2$ et c'est assez satisfaisant.

Voyons maintenant le nombre $ i$ . Au carré, il vaut $ -1$ . Cela équivaut, avec notre considération géométrique, à dire que l'angle que fait le nombre $ i$ lorsqu'il est doublé fait $ \pi$ (pour arriver au $ -1$ ). Un petit dessin montre que ce nombre est donc en dehors de l'axe des nombres réels (heureusement) !

Le nombre $ i$ est donc ailleurs que sur l'axe des nombres réel, sur un autre axe que l'on place généralement perpendiculaire à celui des nombres réels et que l'on nomme l'axe des imaginaires. Un nombre complexe est alors un point non plus sur la droite (réelle) mais dans le plan (complexe).

Définition

Un un nombre complexe est une expression \[z=x+iy\] pour deux nombres réels $ x$ et $ y$ appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du nombre $ z$ notée $ \Re(z)$ et $ \Im(z)$ . On note \[\C\] l'ensemble des nombres complexes.

Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est réelle ! Par exemple la partie imaginaire du nombre $ 3-2i$ est $ -2$ et sa partie réelle est $ 3$ .

¹Des outils mathématiques sont des éléments de la technologie