Définition
Soit \( z\in \C\) . On appel nombre complexe conjugué à \( z\) le nombre noté \( \bar{z}\) , défini par
\[\bar{z}=\Re(z)-i\Im(z)\]
En d'autre terme le nombre conjugué associé à un nombre complexe \( z\) est le même que \( z\) en changeant uniquement le signe de la partie imaginaire. Par exemple \( \bar{7+i\sqrt{2}}=7-i\sqrt{2}\) .
Lemme
Quelque que soit \( z\in \C\) , \[z\bar{z}=\Re(z)^2+\Im(z)^2\in \R\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
z\bar{z}
&=& (x+iy)(\bar{x+iy})\\
&=& (x+iy)(x-iy)\\
&=& (x)^2-(iy)^2\qquad\text{Identité remarquable}\\
&=& x^2-i^2y^2\\
&=& x^2-(-1)y^2\\
&=& x^2+y^2
\end{eqnarray*}
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) des nombres complexes.
\[\Re\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\dfrac{\Re(z)\Re(z')+\Im(z)\Im(z')}{\Re(z')^2+\Im(z')^2}\]
\[\Im\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\dfrac{\Im(z)\Re(z')-\Re(z)\Im(z')}{\Re(z')^2+\Im(z')^2}\]
Démonstration
Cela découle de l'observation \[\dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\bar{z'}}{z'\bar{z'}}\] et des résultats précédents.
Encore une fois, la formule n'est là que pour démontrer la méthode. En aucun cas on l'applique en tant que tel. On la redémontre.
Par exemple
\begin{eqnarray*}
\dfrac{3-\frac{i}{2}}{2+i}
&=&\dfrac{\left(3-\frac{i}{2}\right)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\\
&=&\dfrac{6-3i-i-\frac{i^2}{2}}{2^2-i^2}\\
&=&\dfrac{6-3i-i+\frac{1}{2}}{4+1}\\
&=&\dfrac{\frac{13}{2}-4i}{5}\\
&=&\frac{13}{10}-\dfrac{4}{5}i
\end{eqnarray*}
Le nombre conjugué est cohérent avec les calculs dans l'ensemble des nombres complexe.
Théorème
Soient \( z\) et \( z'\) des nombres complexes et \( \lambda\in \R\) alors
- \( \bar{z\pm z'}=\bar{z}\pm\bar{z'}\)
- \( \bar{\lambda z}=\lambda\bar{z}\)
- \( \bar{z z'}=\bar{z}\bar{z'}\)
- \( \bar{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}\)
Démonstration
Il suffit de revenir à la définition
Proposition
Un nombre \( z\in\C\) est réel si et seulement si \( z=\bar{z}\) .
Démonstration
Si \( z=\bar{z}\) alors \( x+iy=x-iy\) et en identifiant la partie imaginaire \( y=-y\) ce qui équivaut à \( y=0\) et \( x\) est réel.
Définition
On dira qu'un nombre est imaginaire pure si \( z=-\bar{z}\) .