Définition et premières propriétés
La fonction logarithme est strictement croissante et prend toutes les valeurs de \( \mathbb{R}\) (car ses limites sont \( -\infty\) et \(
+\infty\) ). Elle est aussi continue par construction (en tant qu'aire). On peut donc lui appliquer le
théorème des valeurs intermédiaires. D'après ce théorème l'équation \( ln(x)=0\) admet une unique solution, d'ailleurs on la connait : c'est \( 1\) .
Grâce à ce théorème on peut en déduire que si \( ln(a)=ln(b)\) alors nécessairement \( a=b\) .
L'équation \( ln(x)=1\) admet aussi une unique solution. A l'aide de la calculatrice on trouve que \( x=2.71828\) . On note ce nombre \( e\) .
Qu'en est-il de l'équation \( ln(x)=2\) . Elle admet aussi une unique solution dont on peut déterminer une approximation numérique... mais on peut procéder autrement :
\begin{eqnarray*}
ln(x)=2&\Leftrightarrow& ln(x)=2\times 1\\
&\Leftrightarrow& ln(x)=2\times ln(e)\\
&\Leftrightarrow& ln(x)=ln(e^2)\qquad \text{Propriété du logarithme}\\
&\Leftrightarrow& x=e^2
\end{eqnarray*}
Et si on remplaçait le \( 2\) par un \( 3\) , un \( -1\) ou n'importe quel nombre réel... Tiens tiens... Il se passe quelque chose de marrant.
Définition
Pour tout nombre réel \( a\) on note \( exp(a)\) l'unique solution de l'équation \( ln(x)=a\) . On l'appel exponentielle de \( a\) . C'est la fonction réciproque du logarithme népérien.
On a immédiatement les propriétés suivantes.
Proposition
- Quelque soit le réel \( a\) , \( exp(a){>}0\) .
- \( exp(0)=1\) .
- Si \( a{<}0\) alors \( exp(a){<}1\) .
- Si \( a{>}0\) alors \( exp(a){>}1\) .
- Pour tout \( x{>}0\) alors \( exp(ln(x))=x\) .
- Pour tout \( x\in\R\) alors \( ln(exp(x))=x\) .
Démonstration
- Puisque \( ln(exp(a))=a\) , le nombre \( exp(a)\) appartient au domaine de définition de \( ln\) qui est \( ]0 ; +\infty[\) . Dis autrement \( exp(a){>}0\) .
- Puisque \( ln(1)=0=ln(exp(0))\) alors \( exp(0)=1\) .
- Si \( a{<}0\) alors \( ln(exp(a))=a{<}0=ln(1)\) donc \( exp(a){<}1\) .
- Si \( a{>}0\) alors \( ln(exp(a))=a{>}0=ln(1)\) donc \( exp(a){>}1\) .
- C'est une conséquence de la réciprocité entre le \( ln\) et le \( exp\) .
- C'est une conséquence de la réciprocité entre le \( ln\) et le \( exp\) .
Croissances comparées
Théorème
Quelque soit les nombres réels \( a\) et \( b\) :
\[exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
ln(exp(a+b))&=&a+b\\
&=&ln(exp(a))+ln(exp(b))\\
&=&ln(exp(a)\times exp(b))\quad\text{Propriété du logarithme}
\end{eqnarray*}
Puisque \( ln(exp(a+b))=ln(exp(a)\times exp(b))\) alors \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\)
Corollaire
Soient \( a\) et \( b\) deux nombres réels.
- \( exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}\)
- \( exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}\)
- \( exp\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{exp(a)}\)
- \( \left(exp(a)\right)^n=exp(na)\)
Démonstration
Il suffit, encore une fois de repasser par la fonction logarithme.
De \( exp(x)\) à \( e^x\)
Tout est dans le titre. On observe que les formules et propriétés de l'exponentielle sont étrangement similaire à celle des puissances. Par exemple d'un coté on \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\) et d'un autre coté \( 10^{n+m}=10^n10^m\) ... du coup on se demande si il n'y a pas un liens entre nos familières puissances et l'exponentielle. La réponse est oui par une très simple observation : \[ln(exp(x))=x=x\times 1=x\times ln(e)=ln(e^x)\]
d'après les règles de calcul sur le logarithme.
Cette égalité implique donc que \( exp(x)=e^x\) et ce pour tous les \( x\) réel. Autant \( 10^n\) n'était définie que pour des \( n\) entiers autant \( e^x=exp(x)\) est définie pour tous les nombres réels !
D'ailleurs on pourrait s'amuser à définir \( 10^x\) pour n'importe quel \( x\) réelle. Tenté ? Allez on y va !
Grâce à cette formule de réciprocité entre \( ln\) et \( exp\) , on peut écrire que \( 10^x=exp(ln(10^x))\) sauf que le logarithme gère très bien les puissances : \( ln(10^x)=xln(10)\) . On a \( 10^x=exp(xln(10))\) et l'exponentielle ne soufre d'aucun problème de définition. Ca y est ! On a défini \( 10^x\) . Pourquoi s'arrêterait-on en si bon chemin ?
Définition
Soit \( a{>}0\) et \( b\in\R\) . On défini \( a^b\) par la formule :
\[a^b=exp(b ln(a))=e^{b ln(a)}\]
Le calcul quant à lui se fait à l'aide d'une calculatrice, mais à présent des expressions comme \( 2^{\sqrt{2}}\) ont un sens.
Ce qu'il faut retenir
- \( \mathscr{D}=\R\)
- Si \( x{<}0, exp(x){<}1\)
- \( exp(0)=1\)
- Si \( x{>}0, exp(x){>}1\)
- \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\)
- \( \dfrac{exp(a)}{exp(b)}=exp(a-b)\)
- \( exp(a)^n=exp(na)\)
- \( \sqrt{exp(a)}=exp\left(\dfrac{1}{2}a\right)\)
