Définition
Soit \( E\) un espace vectoriel et \( p:E\rightarrow E\) une application linéaire. On dira que \( p\) est un projecteur si \( p\circ p=p\) .
En d'autre terme, pour tout \( \overrightarrow{x}\in E\) , \( p(p(x))=p(x)\) .
Exercice
Dans \( \R^2\) , vérifier que l'application défini par \( p\left(\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}
x\\0
\end{pmatrix}\) est une application linéaire et un projecteur.
Lemme
Soit \( p\) un projecteur d'un espace vectoriel \( E\) et \( \overrightarrow{y}\in \Im(p)\) alors \( p(\overrightarrow{y})=\overrightarrow{y}\) .
Démonstration
Puisque \( \overrightarrow{y}\in\Im(p)\) , il existe \( \overrightarrow{x}\in E\) tel que \( \overrightarrow{y}=p(\overrightarrow{x})\) . Composons par \( p\) pour obtenir : \( p(\overrightarrow{y})=p(p(\overrightarrow{x}))\) mais puisque \( p\) est un projecteur \( p(p(\overrightarrow{x}))=p(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{y}\) .
Théorème
Soient \( (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)\) un espace euclidien et \( p:E\rightarrow E\) un projecteur. Les conditions suivantes sont équivalentes.
- \( (i)\) .
- \( E=\Ker(p)\overset{\bot}{\oplus}\Im(p)\)
- \( (ii)\) .
- \( \forall \overrightarrow{x}_1, \overrightarrow{x}_2\in E, \ \left\langle p(\overrightarrow{x}_1) \left|\vphantom{p(\overrightarrow{x}_1) \overrightarrow{x}_2}\right. \overrightarrow{x}_2 \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{x}_1 \left|\vphantom{\overrightarrow{x}_1 p(\overrightarrow{x}_2)}\right. p(\overrightarrow{x}_2) \right\rangle\)
Sous ces conditions on dit que \( p\) est une
projection orthogonale.
Démonstration
- \( (i)\Rightarrow(ii)\) .
- Puisque \( E=\Ker(p)\overset{\bot}{\oplus}\Im(p)\) on a \( \overrightarrow{x}_i=\overrightarrow{e}_{i}+\overrightarrow{f}_{i}\) pour \( \overrightarrow{e}_{i}\in\Ker(p)\) et \( \overrightarrow{f}_{i}\in\Im(p)\) . Alors, en utilisant le lemme on a \( p(\overrightarrow{x}_i)=p(\overrightarrow{e}_{i}+\overrightarrow{f}_{i})=p(\overrightarrow{e}_{i})+p(\overrightarrow{f}_{i})\) par linéarité de \( p\) et \( p(\overrightarrow{e}_{i})=\overrightarrow{0}\) donc \( p(\overrightarrow{x}_i)=p(\overrightarrow{f}_{i})=\overrightarrow{f}_{i}\) d'après le lemme précédent. Alors puisque nous supposons que le noyau et l'image sont orthogonaux, on a d'une part \( \left\langle p(\overrightarrow{x}_1) \left|\vphantom{p(\overrightarrow{x}_1) \overrightarrow{x}_2}\right. \overrightarrow{x}_2 \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{2}+\overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2}+\overrightarrow{f}_{2} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle\) et d'autre part \( \left\langle \overrightarrow{x}_1 \left|\vphantom{\overrightarrow{x}_1 p(\overrightarrow{x}_2)}\right. p(\overrightarrow{x}_2) \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{e}_{1}+\overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{1}+\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{e}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle\) .
- \( (ii)\Rightarrow(i)\) .
- Soit \( \overrightarrow{e}_{}\in\Ker(p)\) et \( \overrightarrow{y}\in \Im(p)\) , Montrons que \( \left\langle \overrightarrow{e}_{} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=0\) . Par définition de l'image, il existe \( \overrightarrow{x}\in E\) tel que \( \overrightarrow{y}=p(\overrightarrow{x})\) alors
\[\left\langle \overrightarrow{e}_{} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle
=\left\langle \overrightarrow{e}_{} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{} p(\overrightarrow{x})}\right. p(\overrightarrow{x}) \right\rangle
=\left\langle p(\overrightarrow{e}_{}) \left|\vphantom{p(\overrightarrow{e}_{}) \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle
=\left\langle \overrightarrow{0} \left|\vphantom{\overrightarrow{0} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle=0
\]
Il suffit maintenant de vérifier que tout vecteur de \( E\) s'écrit comme la somme d'un vecteur de \( \Ker(p)\) et d'un vecteur de \( \Im(p)\) . On pose \( \overrightarrow{x}=(\overrightarrow{x}-p(\overrightarrow{x}))+p(\overrightarrow{x})\) . Naturellement \( p(\overrightarrow{x})\in Im(p)\) et on observe que \( p(\overrightarrow{x}-p(\overrightarrow{x}))=p(\overrightarrow{x})-p(p(\overrightarrow{x}))=p(\overrightarrow{x})-p(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}\) . CQFD.
Exercice
On munit \( \R^2\) de sa structure euclidienne canonique. On considère l'application \( p\left(\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}
\dfrac{x+y}{2}\\\dfrac{x+y}{2}
\end{pmatrix}\) .
S'agit-il d'une projection orthogonale ?
Corollaire
Soit \( (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)\) un espace euclidien et \( F\) un sous espace vectoriel de \( E\) . Il existe une unique projection orthogonale \( p_F\) tel que \( \Im(p_F)=F\) et \( \Ker(p_F)=F^{\bot}\) .
En particulier, pour tout \( \overrightarrow{x}\in E\) , \( \overrightarrow{x}-p_F(\overrightarrow{x})\in F^{\bot}\)
Démonstration
Nous avons vu que \( E=F\overset{\bot}{\oplus} F^{\bot}\) , c'est à dire que pour tout vecteur \( \overrightarrow{x}\in E\) il existe une unique décomposition \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{f}_{}+\overrightarrow{e}_{}\) où \( \overrightarrow{f}_{}\in F\) et \( \overrightarrow{e}_{}\in F^{\bot}\) . On pose \( p_F(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{f}_{}\) . Par construction et unicité de la décomposition, c'est clairement une application linéaire. C'est aussi trivialement un projecteur puisque si \( \overrightarrow{f}_{}\in F\) alors \( p_F(\overrightarrow{f}_{})=\overrightarrow{f}_{}\) . Par construction son image est \( F\) et d'après le théorème précédent, son noyau est \( \Ker(p_F)=\Im(p_F)^{\bot}=F^{\bot}\) .
Proposition
Soient \( (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)\) un espace euclidien et \( F\) un sous-espace vectoriel de dimension \( p\) . Soit \( \mathcal{B}=\left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}\right\}\) une base orthonormale de \( F\) . Alors
\[\forall \overrightarrow{x}\in E, \ p_F(\overrightarrow{x})=\sum_{i=1}^p\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{f}_{i}}\right. \overrightarrow{f}_{i} \right\rangle\overrightarrow{f}_{i}\]
Démonstration
On peut compléter la base \( \mathcal{B}\) en une base orthornormale \( \mathcal{B}'=\left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}, \overrightarrow{f}_{p+1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{n}\right\}\) de \( E\) de sorte que \( {\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{p+1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{n} \right)=F^{\bot}\) (conséquence de l'égalité \( E=F\overset{\bot}{\oplus} F^{\bot}\) et du procédé de Gram-Schmidt). Puisque \( p_F(\overrightarrow{f}_{i})=\overrightarrow{f}_{i}\) pour tout \( i\in [\![1 ; p]\!]\) et \( p_F(\overrightarrow{f}_{i})=\overrightarrow{0}\) pour tout \( i\in [\![p+1 ; n]\!]\) et puisque \( \dpl{\overrightarrow{x}=\sum_{i=1}^n\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{f}_{i}}\right. \overrightarrow{f}_{i} \right\rangle\overrightarrow{f}_{i}}\) , la linéarité de \( p\) permet de conclure.
Cette proposition permet de déterminer l'expression de n'importe quelle projection orthogonale.
Par exemple, considérons \( \R^3\) munit de sa structure euclidienne classique et considérons le plan \( P=\left\{\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}\in \R^3\left|\vphantom{\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}}\right. x+y=0 \right\}\) . On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il s'agit bien d'un sous-espace vectoriel de \( \R^3\) dont une base est \( {\texttt{Vect}}\left(\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}
,\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
\right)\) .
Appliquons à cette base le procédé de Gram-Schmidt. On pose \( \overrightarrow{e}_{1}=\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}
\) et \( \overrightarrow{e}_{2}=\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}-\dfrac{\left\langle \begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix} \left|\vphantom{\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}}\right. \begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix} \right\rangle}{\norm{\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}}^2}=\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
\) . Surprise, la base est déjà orthogonale. La base orthonormée est alors
\( \overrightarrow{f}_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{f}_{2}=\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}\) .
D'après le théorème, on a
\begin{eqnarray*}
p_F\left(\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}\right)
&=&\left\langle \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix} \left|\vphantom{\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}}\right. \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix} \right\rangle\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}+
\left\langle \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix} \left|\vphantom{\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}}\right. \begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix} \right\rangle\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}\\
&=&\dfrac{x-y}{2}\begin{pmatrix}
1\\-1\\0
\end{pmatrix}+
z\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
\dfrac{x-y}{2}\\
-\dfrac{x-y}{2}\\
z
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Exercice
On se place dans \( \R^2\) munit de sa structure euclidienne classique. Soit \( \overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}
2\\3
\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}
1\\-2
\end{pmatrix}\) . On pose \( U={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{u} \right)\) et \( V={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{v} \right)\)
- Déterminer l'expression de \( p_U\) et le projeté de \( \overrightarrow{v}\) sur \( U\) .
- Déterminer l'expression de \( p_V\) et le projeté de \( \overrightarrow{u}\) sur \( V\) .
- Illustrer la situation dans le plan.
Exercice
Soit \( \R^3\) munit de sa structure euclidienne canonique. On considère \( P=\left\{\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}\in \R^3\left|\vphantom{\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}}\right. x+y=0 \right\}\) .
- Montrer que \( P\) est un sous-espace vectoriel de \( \R^3\) .
- Déterminer \( P^{\bot}\) ainsi qu'une base.
- Donner l'expression de \( p_{P^{\bot}}\) .
Exercice
Soit \( \R^3\) munit de sa structure euclidienne canonique. Soient
\( \overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}\) , \( \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}
1\\0\\2
\end{pmatrix}\) et \( \overrightarrow{w}=\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}\) .
- Montrer que \( \{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}\) est une famille libre de \( \R^3\) .
- Donner une base orthonormale de \( F={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)\) .
- Donner l'expression de \( p_F\) et l'image \( p_F(\overrightarrow{w})\)
§
Il peut être plus commode de considérer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à l'aide de projections orthogonales.
Soit \( \mathcal{B}=\left\{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\right\}\) une base de \( E\) .
L'algorithme s'exprime alors comme :
- \( \bullet\)
- On pose \( \overrightarrow{f}_{1}=\dfrac{\overrightarrow{e}_{1}}{\norm{\overrightarrow{e}_{1}}}\) et \( F_1={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{1} \right)\) .
- \( \bullet\)
- On pose \( \overrightarrow{f}_{2}'=\overrightarrow{e}_{2}-p_{F_1}(\overrightarrow{e}_{2})\) , \( \overrightarrow{f}_{2}=\dfrac{\overrightarrow{f}_{2}'}{\norm{\overrightarrow{f}_{2}'}}\) et \( F_2={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{1}, \overrightarrow{f}_{2} \right)\)
- \( \bullet\)
- On pose \( \overrightarrow{f}_{3}'=\overrightarrow{e}_{3}-p_{F_2}(\overrightarrow{e}_{3})\) , \( \overrightarrow{f}_{3}=\dfrac{\overrightarrow{f}_{3}'}{\norm{\overrightarrow{f}_{3}'}}\) et \( F_3={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{1}, \overrightarrow{f}_{2}, \overrightarrow{f}_{3} \right)\) .
- \( \bullet\)
- \( \cdots\)
- \( \bullet\)
- On pose \( \overrightarrow{f}_{k}'=\overrightarrow{e}_{k}-p_{F_{k-1}}(\overrightarrow{e}_{k})\) , \( \overrightarrow{f}_{k}=\dfrac{\overrightarrow{f}_{k}'}{\norm{\overrightarrow{f}_{k}'}}\) et \( F_k={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{k} \right)\) .
- \( \bullet\)
- \( \cdots\)
Définition
Soient \( (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)\) un espace euclidien de norme associée \( \norm{\bullet}\) , \( \overrightarrow{v}\in E\) et \( F\) un sous-espace vectoriel de \( E\) . On note \[d(\overrightarrow{v}, F) = \underset{\overrightarrow{f}_{}\in F}{Inf}\left(\norm{\overrightarrow{v}-\overrightarrow{f}_{}}\right)\]
Ainsi \( d(\overrightarrow{v}, F)\) représente la plus courte distance entre le vecteur \( \overrightarrow{v}\) et l'espace \( F\) .
Théorème [Meilleure approximation]
Soient \( (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)\) un espace euclidien de norme associée \( \norm{\bullet}\) , \( F\) un sous-espace vectoriel de \( E\) , \( p_F\) la projection orthogonale sur \( F\) et \( \overrightarrow{v}\in E\) .
\[\forall \overrightarrow{f}_{}\in F, \ \norm{\overrightarrow{v}-\overrightarrow{f}_{}}\geqslant\norm{\overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})}\]
En particulier \( d(\overrightarrow{v}, F)=\norm{\overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})}\) .
Démonstration
On sait que \( F\) et \( F^{\bot}\) sont orthogonaux, de plus on sait que \( \overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})\in F^{\bot}\) , enfin on sait que \( \overrightarrow{f}_{}-p_F(\overrightarrow{v})\in F\) .
En conclusion \( \overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})\) et \( \overrightarrow{f}_{}-p_F(\overrightarrow{v})\) sont deux vecteur orthogonaux. D'après le théorème de Pythagore
\[\norm{\overrightarrow{v}-\overrightarrow{f}_{}}^2=\norm{\left(\overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})\right)+\left(p_F(\overrightarrow{v})-\overrightarrow{f}_{}\right)}^2=\norm{\overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})}^2+\norm{p_F(\overrightarrow{v})-\overrightarrow{f}_{}}^2\geqslant \norm{\overrightarrow{v}-p_F(\overrightarrow{v})}^2 \]
