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\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Considérons un vecteur $ \overrightarrow{v}$ d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ . Notons $ V={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{v} \right)$ la droite vectoriel dirigée par le vecteur $ \overrightarrow{v}$ . Comme il n'y a qu'un seul vecteur, il s'agit trivialement d'une base orthogonale. D'après le précédent chapitre, on peut exprimer la projection orthogonale sur $ V$ . Précisément \[\forall \overrightarrow{x}\in E, \ p_V(\overrightarrow{x})=\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \dfrac{\overrightarrow{v}}{\norm{\overrightarrow{v}}}}\right. \dfrac{\overrightarrow{v}}{\norm{\overrightarrow{v}}} \right\rangle\dfrac{\overrightarrow{v}}{\norm{\overrightarrow{v}}}=\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\overrightarrow{v}\]

Calculons la taille du vecteur $ p_V(\overrightarrow{x})$ . \begin{eqnarray*} \norm{p_V(\overrightarrow{x})}^2 &=&\left\langle p_V(\overrightarrow{x}) \left|\vphantom{p_V(\overrightarrow{x}) p_V(\overrightarrow{x})}\right. p_V(\overrightarrow{x}) \right\rangle\\ &=&\left\langle \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\overrightarrow{v} \left|\vphantom{\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\overrightarrow{v} \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\overrightarrow{v}}\right. \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\overrightarrow{v} \right\rangle\\ &=&\left(\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\right)^2\left\langle \overrightarrow{v} \left|\vphantom{\overrightarrow{v} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle\\ &=&\left(\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\right)^2\norm{\overrightarrow{v}}^2\\ &=&\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle^2}{\norm{\overrightarrow{v}}^2} \end{eqnarray*} Ainsi $ \norm{p_V(\overrightarrow{x})}=\dfrac{|\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle|}{\norm{\overrightarrow{v}}}$ , soit encore $ \norm{p_V(\overrightarrow{x})} = \norm{\overrightarrow{x}}\times\left(\dfrac{|\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle|}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}\right)$ . Autrement dit, $ \dfrac{|\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle|}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}$ mesure la variation entre la taille de $ p_V(\overrightarrow{x})$ et la taille de $ \overrightarrow{x}$ . Observons cette variation. Lorsque $ \overrightarrow{x}$ se rapproche de $ V$ , dans le sens du vecteur directeur $ \overrightarrow{v}$ , $ \overrightarrow{x}$ et $ p_V(\overrightarrow{x})$ sont presque confondu donc $ \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}$ se rapproche de $ 1$ . Lorsque $ \overrightarrow{x}$ se rapproche de l'orthogonale de $ V$ , $ p_V(\overrightarrow{x})$ est proche de l'origine donc $ \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}$ se rapproche de $ 0$ . Lorsque $ \overrightarrow{x}$ se de $ V$ mais dans le sens opposé à $ \overrightarrow{v}$ , $ \overrightarrow{x}$ et $ p_V(\overrightarrow{x})$ sont presque confondu donc $ \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}$ se rapproche de $ -1$ . Ces observations nous amène à penser que $ \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}$ dépend uniquement de l'écartement entre $ \overrightarrow{x}$ et $ \overrightarrow{v}$ . Ceci motive la définition suivante.

Définition

Soient $ \overrightarrow{x}$ et $ \overrightarrow{y}$ deux vecteurs non nuls d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle)$ . Le cosinus entre $ \overrightarrow{x}$ et $ \overrightarrow{y}$ , noté $ cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})$ est défini par la formule \[cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})=\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{y}}}\]

Ce cosinus correspond, dans le plan, au cosinus bien connu des lycéens, ce que permet d'observer l'exercice suivant.

Exercice

On munit $ \R^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $ \overrightarrow{e}_{}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$ , $ E={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{e}_{} \right)$ , $ M=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ un point du plan distinct de l'origine et $ H$ le projeté orthogonal de $ M$ sur l'axe des abscisses.

Donner l'expression de $ p_{E}$ .
Donnez les coordonnées du points $ H$ .
En déduire les distances $ OM$ et $ OH$ .
Montrer que $ cos\left(\overrightarrow{e}_{}, p_E\left(\overrightarrow{OM}\right)\right)=\dfrac{OH}{OM}$ (on retrouve bien la fameuse formule cosinus = coté adjacent sur hypoténuse).

Proposition

$ (i)$ .: $ cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})=cos(\overrightarrow{y}, \overrightarrow{x})$
$ (ii)$ .: $ \forall \lambda\in \R^*, \ cos(\lambda\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})=sg(\lambda)cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})$
$ (iii).$: $ cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{x}\bot\overrightarrow{y}$
$ (iv).$: $ cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})\in [-1, 1]$ .
$ (v)$ .: $ |cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})|=1\Longleftrightarrow \exists\lambda\in \R^*, \ \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{y}$

($ sg(\lambda)$ désigne le signe de $ \lambda$ )

Démonstration

Exercice

Théorème

Soit $ \overrightarrow{v}$ un vecteur de norme $ 1$ d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ et $ V={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{v} \right)$ . Alors \[\forall \overrightarrow{x}\in E-\{\overrightarrow{0}\}, \ p_V(\overrightarrow{x})=cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{v})\norm{\overrightarrow{x}}\overrightarrow{v}\]

Démonstration

adapté dans le cas où $ \overrightarrow{v}$ n'est pas nécessairement normé. $ p_V(\overrightarrow{x} )=\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{v}}^2}\overrightarrow{v} =\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}^2}\norm{\overrightarrow{x}}\overrightarrow{v} =\dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{v}}\right. \overrightarrow{v} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{x}}\norm{\overrightarrow{v}}}\norm{\overrightarrow{x}}\dfrac{\overrightarrow{v}}{\norm{\overrightarrow{v}}} =cos(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{v})\norm{\overrightarrow{x}}\dfrac{\overrightarrow{v}}{\norm{\overrightarrow{v}}}$