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Théorème

Dans un espace euclidien, toute famille de vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux est libre.

Démonstration

Exercice

Corollaire

Dans un espace euclidien de dimension $ n\in \N_{{>}0}$ , toute famille de $ n$ vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux est une base.

Démonstration

D'après le théorème précédent les $ n$ vecteurs sont libre. Puisque la dimension de l'espace est $ n$ alors ces vecteurs sont nécessairement générateurs. Ils forment donc une base de l'espace euclidien.

Définition

Soit $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ un espace euclidien de dimension $ n$ et $ \mathcal{B}=\{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}$ une base.

$ (i)$ .: On dira que $ \mathcal{B}$ est une base orthogonale si $ \left\langle \overrightarrow{e}_{i} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{i} \overrightarrow{e}_{j}}\right. \overrightarrow{e}_{j} \right\rangle=0$ pour tout $ i\neq j$ .
$ (ii)$ .: On dira que $ \mathcal{B}$ est une base orthonormale si c'est une base orthogonale et si de plus $ \norm{\overrightarrow{e}_{i}}=1$ pour tout $ i$ .

Par exemple les vecteurs $ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$ et $ \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$ forme une base orthogonale mais non orthonormale.

Proposition [Normalisation]

Si $ \{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}$ est une base orthogonale d'un espace euclidien alors $ \left\{\dfrac{\overrightarrow{e}_{1}}{\norm{\overrightarrow{e}_{1}}}, \ldots, \dfrac{\overrightarrow{e}_{n}}{\norm{\overrightarrow{e}_{n}}}\right\}$ est une base orthonormale.

Démonstration

Triviale.

Théorème [Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt]

Soit $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ un espace euclidien de dimension $ n\in \N_{{>}0}$ et $ \{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}$ une base de $ E$ . Il existe une base orthonormale $ \{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{n}\}$ de $ E$ tel que pour tout $ i$ , $ \overrightarrow{f}_{i}\in{\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{i} \right)$ .

Démonstration

D'après la proposition précédente, il suffit de trouver une base orthogonale, il suffira alors de la normaliser pour conclure. On construit itérativement les vecteurs $ \overrightarrow{f}_{i}$ .

$ \bullet$: On prend $ \overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1}$ .
$ \bullet$: On prend $ \overrightarrow{f}_{2}=\overrightarrow{e}_{2}-\dfrac{\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{f}_{1}}^2}\overrightarrow{f}_{1}$ . Alors par construction et par bilinéarité on a \[\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{2}}\right. \overrightarrow{f}_{2} \right\rangle = \left\langle \overrightarrow{e}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{e}_{1} \overrightarrow{e}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2} \right\rangle-\dfrac{\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{f}_{1}}^2}\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{1}}\right. \overrightarrow{f}_{1} \right\rangle = 0 \].
$ \bullet$: On prend $ \overrightarrow{f}_{3}=\overrightarrow{e}_{3}-\dfrac{\left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{3}}\right. \overrightarrow{e}_{3} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{f}_{1}}^2}\overrightarrow{f}_{1}-\dfrac{\left\langle \overrightarrow{f}_{2} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{2} \overrightarrow{e}_{3}}\right. \overrightarrow{e}_{3} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{f}_{2}}^2}\overrightarrow{f}_{2}$ . On procédant comme précédemment on montre sans peine que $ \left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{f}_{3}}\right. \overrightarrow{f}_{3} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{f}_{2} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{2} \overrightarrow{f}_{3}}\right. \overrightarrow{f}_{3} \right\rangle=0$
$ \bullet$: $ \cdots$
$ \bullet$: On prend \[\overrightarrow{f}_{p}=\overrightarrow{e}_{p}-\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{\left\langle \overrightarrow{f}_{k} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{k} \overrightarrow{e}_{p}}\right. \overrightarrow{e}_{p} \right\rangle}{\norm{\overrightarrow{f}_{k}}^2}\overrightarrow{f}_{k}\] et on vérifie sans peine l'orthogonalité.

Par exemple considérons la base de l'espace euclidien canonique $ \R^3$ formé des vecteurs $ \overrightarrow{e}_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ , $ \overrightarrow{e}_{2}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ et $ \overrightarrow{e}_{3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ et appliquons le procédé de Gram-Schmidt.

$ \bullet$: On pose $ \overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ .
$ \bullet$: On a $ \norm{\overrightarrow{f}_{1}}^2=3$ , $ \left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2} \right\rangle=4$ et $ \left\langle \overrightarrow{f}_{1} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{1} \overrightarrow{e}_{3}}\right. \overrightarrow{e}_{3} \right\rangle=2$
$ \bullet$: On pose $ \overrightarrow{f}_{2}=\overrightarrow{e}_{2}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{f}_{1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3} \end{pmatrix}$
$ \bullet$: On a $ \norm{\overrightarrow{f}_{2}}^2=\dfrac{2}{3}$ , $ \left\langle \overrightarrow{f}_{2} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{2} \overrightarrow{e}_{2}}\right. \overrightarrow{e}_{2} \right\rangle=\dfrac{2}{3}$ et $ \left\langle \overrightarrow{f}_{2} \left|\vphantom{\overrightarrow{f}_{2} \overrightarrow{e}_{3}}\right. \overrightarrow{e}_{3} \right\rangle=\dfrac{1}{3}$
$ \bullet$: On pose $ \overrightarrow{f}_{3}=\overrightarrow{e}_{3}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{f}_{1}-\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\overrightarrow{f}_{2}=\begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Par construction ces trois vecteurs formes une base orthogonale. Il suffit des les normaliser pour conclure : une base orthonormale de $ \R^3$ est \[ \left\{ \dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3} \end{pmatrix}, \sqrt{2}\begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} \right\} \]

Exercice

Considérons l'espace vectoriel $ \R^3$ munit de sa structure euclidienne canonique. On considère les vecteurs $ \overrightarrow{e}_{1}=\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$ , $ \overrightarrow{e}_{2}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ et $ \overrightarrow{e}_{3}=\begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix}$ . Vérifiez que la famille $ \{\overrightarrow{e}_{1}, \overrightarrow{e}_{2}, \overrightarrow{e}_{3}\}$ est une base de $ \R^3$ et appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt pour en extraire une base orthonormale.

Corollaire

Tout espace euclidien distinct de $ \{\overrightarrow{0}\}$ admet une base orthonormale.

Démonstration

Tout espace vectoriel de dimension fini admet une base d'après le théorème de la base incomplète ; le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de conclure.

Proposition

Soit $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ un espace euclidien de dimension $ n\in\N_{{>}0}$ et $ \mathcal{B}=\{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\}$ une base orthonormale.

$ (i)$ .: $ \dpl{\forall \overrightarrow{x}\in E, \ \overrightarrow{x}=\sum_{i=1}^n\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{e}_{i}}\right. \overrightarrow{e}_{i} \right\rangle\overrightarrow{e}_{i}}$ En d'autre terme les coordonnés de $ \overrightarrow{x}$ dans la base $ \mathcal{B}$ sont $ \left(\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{e}_{i}}\right. \overrightarrow{e}_{i} \right\rangle\right)_i$
$ (ii)$ .: Soient $ (x_i)_i$ et $ (y_i)_i$ les coordonnées de vecteurs $ \overrightarrow{x}$ et $ \overrightarrow{y}$ de $ E$ exprimés dans la base $ \mathcal{B}$ , alors \[\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=\sum_{i=1}^nx_iy_i\]
$ (iii)$ .: Soit $ (x_i)_i$ les coordonnées d'un vecteur $ \overrightarrow{x}$ de $ E$ exprimés dans la base $ \mathcal{B}$ , alors \[\norm{\overrightarrow{x}}^2=\sum_{i=1}^nx_i^2\]

Démonstration

Exercice

Théorème

Soit $ F$ un sous espace vectoriel de dimesnion $ p$ d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ de dimension $ n\geqslant p$ .

$ (i)$ .: $ \dim(F^{\bot})=n-p$
$ (ii)$ .: $ F\overset{\bot}{\oplus} F^{\bot}=E$
$ (iii)$ .: $ \left(F^{\bot}\right)^{\bot}=F$

Démonstration

Soit $ \left\{\overrightarrow{e}_{1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{p}\right\}$ une base de $ F$ . En appliquant le procédé de Gram-Schmidt, on déterminer une base orthonormale $ \left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}\right\}$ de $ F$ . D'après le théorème de la base incomplète, on trouve une base $ \left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}, \overrightarrow{e}_{p+1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\right\}$ de $ E$ . Si on applique l'algorithme de Gram-Schmidt à cette base, on trouve une base $ \left\{\overrightarrow{f}_{1}', \ldots, \overrightarrow{f}_{p}', \overrightarrow{f}_{p+1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{n}\right\}$ . Mais d'après le processus itératif, puisque $ \left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}\right\}$ est déjà orthonormale on en déduit que $ \overrightarrow{f}_{i}'=\overrightarrow{f}_{i}$ . En conclusion $ \left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}, \overrightarrow{f}_{p+1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{n}\right\}$ est une base orthonormale de $ E$ et $ \left\{\overrightarrow{f}_{1}, \ldots, \overrightarrow{f}_{p}\right\}$ est une base orthonormale de $ F$ . Montrons que $ \left\{\overrightarrow{f}_{p+1}, \ldots, \overrightarrow{e}_{n}\right\}$ est une base de $ F^{\bot}$ . Ceci prouvera que $ \dim(F^{\bot})=n-p$ et aussi que $ F\overset{\bot}{\oplus} F^{\bot}=E$ . Naturellement c'est une famille libre, il suffit de montrer que c'est une famille génératrice. Soit $ \overrightarrow{x}\in F^{\bot}$ , d'après la proposition précédente, $ \dpl{\overrightarrow{x}=\sum_{i=1}^n\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{f}_{i}}\right. \overrightarrow{f}_{i} \right\rangle\overrightarrow{f}_{i}}$ mais puisque $ \overrightarrow{x}$ est orthogonale à $ F$ , on en déduit que $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{f}_{i}}\right. \overrightarrow{f}_{i} \right\rangle=0$ pour $ i\in [\![1 ; p]\!]$ . Finalement il reste à observer que $ \left(F^{\bot}\right)^{\bot}=F$ . Nous avons déjà observer que $ F\subseteq \left(F^{\bot}\right)^{\bot}$ . Montrons l'inclusion inverse. Soit $ \overrightarrow{x}\in \left(F^{\bot}\right)^{\bot}$ . Puisque $ \overrightarrow{x}$ est aussi un vecteur de $ E$ , on peut, comme précédemment, écrire $ \dpl{\overrightarrow{x}=\sum_{i=1}^n\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{f}_{i}}\right. \overrightarrow{f}_{i} \right\rangle\overrightarrow{f}_{i}}$ . Puisque $ \overrightarrow{x}$ est un vecteur de l'orthogonale à l'orthogonale de $ F$ on en déduit que $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{f}_{i}}\right. \overrightarrow{f}_{i} \right\rangle=0$ pour $ i\in [\![p+1, n]\!]$ . CQFD.