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Définition

Soient $ \overrightarrow{x}$ et $ \overrightarrow{y}$ deux vecteurs d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ . On dira que $ \overrightarrow{x}$ et $ \overrightarrow{y}$ sont orthogonaux si $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=0$ . On notera dans ce cas, $ \overrightarrow{x}\bot\overrightarrow{y}$ .

Par exemple dans $ \R^2$ munit de sa structure euclidienne canonique les vecteurs $ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$ et $ \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$ sont orthogonaux.

Définition

Soit $ A$ un sous-ensemble non vide d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ . On note $ A^{\bot}$ l'ensemble \[A^{\bot}=\left\{\overrightarrow{x} \in E \Big| \forall \overrightarrow{a}\in A, \overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{a}\right\}\]

En d'autre terme $ A^{\bot}$ est l'ensemble des vecteurs de $ E$ orthogonaux à tous les vecteurs de $ A$ .

Proposition

Soient $ A$ et $ B$ des sous-ensembles non vide d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ .

$ (i)$ .: L'ensemble $ A^{\bot}$ est un sous-espace vectoriel de $ E$ .
$ (ii)$ .: $ A\subseteq B\Rightarrow B^{\bot}\subseteq A^{\bot}$
$ (iii)$ .: $ A\subseteq \left(A^{\bot}\right) ^{\bot}$
$ (iv)$ .: $ A ^{\bot} = {\texttt{Vect}}\left( A \right) ^{\bot} = {\texttt{Vect}}\left( A ^{\bot} \right)$
$ (v)$ .: On a $ \{\overrightarrow{0}\}^{\bot}=E$ et $ E^{\bot}=\{\overrightarrow{0}\}$

Démonstration

$ (i)$ .: Effectuons la vérification rapide. Naturellement pour tout $ \overrightarrow{a}\in A$ , $ \left\langle \overrightarrow{0} \left|\vphantom{\overrightarrow{0} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle=0$ donc $ \overrightarrow{0}\in A^{\bot}$ . Soient $ \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in A^{\bot}$ et $ \lambda\in \R$ , vérifions que $ \overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y}\in A^{\bot}$ . Soit $ \overrightarrow{a}\in A$ alors par la propriété de la bilinéarité des produits scalaires on a $ \left\langle \overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle+\lambda\left\langle \overrightarrow{y} \left|\vphantom{\overrightarrow{y} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle=0+\lambda 0=0$ . CQFD.
$ (ii)$ .: Soit $ \overrightarrow{x}\in B^{\bot}$ , pour observer que $ \overrightarrow{x}\in A^{\bot}$ nous devons vérifier que pour tout $ \overrightarrow{a}\in A$ , $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle=0$ or $ A\subseteq B$ , c'est à dire que tout vecteur de $ A$ est un vecteur de $ B$ mais pour tout vecteur $ \overrightarrow{a}\in B$ on a $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle=0$ . CQFD.
$ (iii)$ .: Par définition de $ A^{\bot}$ on a \[\forall\overrightarrow{x}\in A^{\bot}, \forall\overrightarrow{a}\in A, \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{a}}\right. \overrightarrow{a} \right\rangle=0\] Par symétrie du produit scalaire, on peut récrire $ \left\langle \overrightarrow{a} \left|\vphantom{\overrightarrow{a} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle=0$ en particulier $ \overrightarrow{a}$ est orthogonale à tous les vecteurs de $ A^{\bot}$ , c'est à dire que $ \overrightarrow{a}\in \left( A^{\bot} \right) ^{\bot}$ . Soit $ A\subseteq \left(A^{\bot}\right) ^{\bot}$ . CQFD.
$ (iv)$ .: On rappel que $ {\texttt{Vect}}\left(A \right)$ est le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) contenant les éléments de $ A$ . La définition de $ {\texttt{Vect}}\left(A \right)$ est l'ensemble des vecteurs $ \overrightarrow{x}$ tel qu'il existe une famille finie $ (\overrightarrow{a}_i)_i$ de vecteurs de $ A$ et des réels $ \lambda_i$ tel que $ \overrightarrow{x}=\dpl{\sum_i\lambda_i\overrightarrow{a}_i}$ . Puisque $ A^{\bot}$ est un espace vectoriel d'après la proposition $ (i)$ , $ A^{\bot}={\texttt{Vect}}\left( A^{\bot} \right)$ . Naturellement $ A\subseteq {\texttt{Vect}}\left(A \right)$ donc d'après la proposition $ (ii)$ on a $ {\texttt{Vect}}\left(A \right)^{\bot}\subseteq A^{\bot}$ . Il reste à montrer l'inclusion inverse, c'est à dire que si $ \overrightarrow{x}\in A^{\bot}$ alors $ \overrightarrow{x}\in {\texttt{Vect}}\left(A \right)^{\bot}$ , c'est à dire qu'il faut observer que pour toute combinaison linéaire $ \overrightarrow{z}=\dpl{\sum_i\lambda_i\overrightarrow{a}_i}\in {\texttt{Vect}}\left(A \right)$ alors $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{z}}\right. \overrightarrow{z} \right\rangle=0$ . Mais la bilinéarité donne $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{z}}\right. \overrightarrow{z} \right\rangle=\dpl{\sum_i}\lambda_i\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{a}_i}\right. \overrightarrow{a}_i \right\rangle$ et $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{a}_i}\right. \overrightarrow{a}_i \right\rangle=0$ par définition de $ \overrightarrow{x}$ . CQFD.
$ (v)$ .: C'est une conséquence triviale de l'égalité $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{0}}\right. \overrightarrow{0} \right\rangle=0$ .

Exercice

On munit $ \R^2$ de sa structure canonique d'espace euclidien. Répondre par vrai ou par faux.

Si $ \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$ et $ \overrightarrow{y}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ tel que $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=0$ alors $ a=-2b$ .
Si $ \overrightarrow{y}$ vérifie qu'il existe $ \overrightarrow{x}\in E$ tel que $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=0$ alors $ \overrightarrow{y}=0$ .
Si $ \overrightarrow{x}$ vérifie $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle=0$ alors $ \overrightarrow{x}=0$ .
Si $ \overrightarrow{y}$ vérifie que pour tout $ \overrightarrow{x}\in E$ on a $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=0$ alors $ \overrightarrow{y}=0$ .
Si $ \overrightarrow{y}$ et $ \overrightarrow{z}$ vérifient qu'il existe $ \overrightarrow{x}\in E$ tel que $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{z}}\right. \overrightarrow{z} \right\rangle$ alors $ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{z}$ .
Si $ \overrightarrow{y}$ et $ \overrightarrow{z}$ vérifient que pour tout $ \overrightarrow{x}\in E$ on a $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{z}}\right. \overrightarrow{z} \right\rangle$ alors $ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{z}$ .
Si $ \overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0}$ alors pour tout $ \overrightarrow{y}\in E$ , $ \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle}{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle}\overrightarrow{x}\in {\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{x} \right)$
Si $ \overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0}$ alors pour tout $ \overrightarrow{y}\in E$ , $ \dfrac{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle}{\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle}\overrightarrow{y}\in {\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{x} \right)$

Théorème [Pythagore]

Soit $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ un espace euclidien. \[\forall\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in E, \qquad \overrightarrow{x}\bot\overrightarrow{y}\Leftrightarrow \norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}^2=\norm{\overrightarrow{x}}^2+\norm{\overrightarrow{y}}^2\]

Démonstration

D'après le précédent lemme, on a $ \norm{\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}}^2=\norm{\overrightarrow{x}}^2+2\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{y}}\right. \overrightarrow{y} \right\rangle+\norm{\overrightarrow{y}}^2$ . CQFD.

Le théorème de Pythagore fait parti des théorème les plus démontré au monde. Il existe en effet plusieurs centaines de démonstration différentes. En voici donc une de plus.

Définition

Soient $ A$ et $ B$ deux sous-espace vectoriels d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ . On dira que $ A$ et $ B$ sont orthogonaux si \[\forall \overrightarrow{a}\in A,\ \forall \overrightarrow{b}\in B,\qquad \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\]

Par exemple dans $ \R^2$ munit de sa structure euclidienne canonique les droites $ {\texttt{Vect}}\left(\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \right)$ et $ {\texttt{Vect}}\left(\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \right)$ sont orthogonaux.

Proposition

Soient $ A$ et $ B$ deux sous-espace vectoriels orthogonaux d'un espace euclidien $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ . Alors $ A$ et $ B$ sont en somme directe. On dit que cette somme directe est orthogonale et on note $ A\overset{\bot}{\oplus} B$ .

Démonstration

Il suffit de montrer que $ A\cap B=\{\overrightarrow{0}\}$ . Soit $ \overrightarrow{x}\in A\cap B$ alors $ \norm{\overrightarrow{x}}^2=\left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{x}}\right. \overrightarrow{x} \right\rangle=0$ (le premier $ \overrightarrow{x}$ vu dans $ A$ , le second dans $ B$ ). D'après l'axiome de séparation des produits scalaire $ (P1)$ on a $ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ .

Théorème [Unicité de l'orthogonale]

Soit $ (E, \left\langle \bullet \left|\vphantom{\bullet \bullet}\right. \bullet \right\rangle)$ un espace euclidien. Si $ A\overset{\bot}{\oplus} B=E$ alors $ A=B^{\bot}$ .

Démonstration

$ A\subseteq B^{\bot}$ .: Soit $ \overrightarrow{a}\in A$ et $ \overrightarrow{b}\in B$ alors par définition de $ A\overset{\bot}{\oplus} B$ , $ \left\langle \overrightarrow{a} \left|\vphantom{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle=0$ ce qui prouve $ \overrightarrow{a}\in B^{\bot}$ et donc que $ A\subseteq B^{\bot}$ .
$ B^{\bot}\subseteq A$ .: Soit $ \overrightarrow{x}\in B^{\bot}$ . Puisque $ E=A\overset{\bot}{\oplus} B$ alors $ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ pour $ \overrightarrow{a}\in A$ et $ \overrightarrow{b}\in B$ mais $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{a} \left|\vphantom{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{b} \left|\vphantom{\overrightarrow{b} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle$ . Sauf que puisque $ \overrightarrow{x}\in B^{\bot}$ , $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle=0$ et puisque $ A$ et $ B$ sont orthogonaux, $ \left\langle \overrightarrow{a} \left|\vphantom{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle=0$ . Ainsi $ \left\langle \overrightarrow{x} \left|\vphantom{\overrightarrow{x} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle=\left\langle \overrightarrow{a} \left|\vphantom{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle+\left\langle \overrightarrow{b} \left|\vphantom{\overrightarrow{b} \overrightarrow{b}}\right. \overrightarrow{b} \right\rangle$ s'écrit en $ 0=0+\norm{\overrightarrow{b}}^2$ mais par l'hypothèse de séparation des normes implique que $ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ . Finalement $ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}\in A$ .