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Suites

Suites récurrentes et suites explicites

Considérons les nombres suivants : \[0\ 1\ 3\ 7\ 15\ 31\ 63\ \cdots\] Pour passer d'un terme à l'autre on double le chiffre et on ajoute $ 1$ . Précisément si $ x$ est un nombre alors le nombre suivant est $ 2x+1$ . Les suites ont pour but de formaliser et d'étudier ce type de comportement.

Définition

Une suite numérique réelle est la donnée d'un ensemble de nombre réel indexé par le les entiers. Si $ u$ est une suite on note $ u_n$ son $ n$ -ième terme.

Lorsque l'on définie une suite on peut le faire de deux manière.

Suite explicite.: Une telle définition signifie que l'on peut déterminer $ u_n$ en fonction de $ n$ . Par exemple la suite $ u$ tel que pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , $ u_n=(-1)^n+n$ . Dans une telle définition, il suffit de remplacer, comme pour une fonction, le $ n$ par $ 64$ pour calculer le $ 64$ -ième terme de la suite : $ u_{64}=(-1)^{64}+64=65$ .
Suite récurrente.: Une telle définition signifie que pour déterminer le $ 64$ -ième terme de la suite, il faut passer par la détermination d'un ou plusieurs terme précédents. Par exemple la suite $ u$ tel que pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , $ u_n=3u_{n-1}-1$ . Dans une telle définition il est nécessaire de préciser un point de départ de la récursion en indiquant par exemple une valeur de $ u_0$ . Par exemple $ u_0=1$ . Alors dans ce cas $ u_1=3u_0-1=3.1-1=2$ , $ u_2=3u_1-1=3.2-1=5$ etc. Pour déterminer $ u_{64}$ il est donc nécessaire de passer par le calcul de $ u_{63}$ .

Dans l'exemple de l'introduction on peut dire que la suite de nombre est une suite numérique réel définie par $ u_0=0$ et $ u_{n}=2u_{n-1}+1$ . L'un des objectifs de l'étude de suite est de passer de définition récurrente à définition explicite. Par exemple, la suite de Fibonacci est définie de manière récurrente par $ u_0=1$ , $ u_1=1$ et $ u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$ (on fait la somme des deux derniers terme pour obtenir le suivant). Grâce à l'étude des suites on peut démontrer (avec un peu d'effort) que la définition explicite de la suite de Fibonacci est \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]\] Dans ce chapitre nous allons essayer de déterminer une définition explicite de la suite de l'introduction.

Variations

Définition

On dira qu'une suite $ u$ est croissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n\leqslant u_{n+1}$ .
On dira qu'une suite $ u$ est strictement croissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n {{<}} u_{n+1}$ .
On dira qu'une suite $ u$ est décroissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n \geqslant u_{n+1}$ .
On dira qu'une suite $ u$ est strictement décroissante si pour tout $ n\in\mathbb{N}$ , $ u_n {{>}} u_{n+1}$ .

Dans la pratique on dispose de deux méthodes pour étudier les variations d'une suite.

Première méthode.: On étudie le signe de $ u_{n+1}-u_n$ . Si cette différence est positive alors la suite est croissante, si elle est négative elle est décroissante. Prenons par exemple la suite $ u_n=n^2+1$ alors $ u_{n+1}=(n+1)^2+1=n^2+2n+2$ donc $ u_{n+1}-u_n=2n+1$ mais puisque $ n\in\mathbb{N}$ alors $ 2n+1{{>}}0$ donc $ u_{n+1}-u_n{{>}}0$ et la suite $ u$ est strictement croissante.
Deuxième méthode.: Cette méthode ne s'applique que lorsque la suite est strictement positive (quelque soit le $ n$ , $ u_n{>}0$ ). En effet, si $ u_n$ ne s'annule pas, on peut diviser. Dans ce cas on étudier $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et on compare avec $ 1$ . Si $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1$ alors $ u_{n+1}\geqslant u_n$ et la suite est croissante. Regardons par exemple la suite $ u_n=2^n$ alors $ u_{n+1}=2^{n+1}$ et $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2{{>}}1$ et la suite est strictement croissante.

Qu'en est-il des variations de la suite de l'introduction : $ u_0=0$ , $ u_n=2u_{n-1}+1$ ? Il est évident que la suite $ u_n$ est toujours positive, de plus $ u_{n+1}-u_n=(2u_n+1)-u_n=u_n+1\geqslant 0+1{{>}}0$ . Donc la suite $ u$ est strictement croissante.

Limites

La limite d'une suite est toujours a limite en $ +\infty$ . Lorsque la suite est définit de manière explicite, on raisonne comme pour les fonctions. Par exemple si la suite $ u$ est définie pour tout $ n\in\mathbb{N}$ par $ u_n=2n-1$ alors $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$ . Dans la pratique, puisque le calcul des suites n'est qu'en $ +\infty$ on note simplement $ lim\ u_n$ au lieu de $ \lim{n\rightarrow+\infty}u_n$ .

Proposition

Soient $ u$ , $ v$ et $ w$ trois suites numérique.

Si $ v_n\leqslant u_n \leqslant w_n$ pour tout $ n$ assez grand et si $ lim\ v_n=l=lim\ w_n$ alors $ lim\ u_n=l$ .
Si $ v_n\leqslant u_n$ pour tout $ n$ assez grand et si $ lim\ v_n=+\infty$ alors $ lim\ u_n=+\infty$ .
Si $ u_n \leqslant w_n$ pour tout $ n$ assez grand et si $ lim\ w_n=-\infty$ alors $ lim\ u_n=-\infty$ .

Considérons par exemple la suite $ u$ définie pour tout $ n\in \mathbb{N}$ de manière explicite par $ u_n=(-1)^n+n$ . Le "problème" de cette suite est que $ (-1)^n$ n'admet pas de limite (car sur les nombre paire cela vaut $ +1$ et sur les impaires $ -1$ ). Cependant on a toujours $ -1\leqslant (-1)^n\leqslant 1$ . En ajoutant $ n$ à ces inégalités on trouve $ -1+n\leqslant (-1)^n+n\leqslant 1+n$ soit en reformulant $ n-1\leqslant u_n\leqslant n+1$ et $ n+1$ comme $ n-1$ tendent trivialement vers $ +\infty$ . Il en va donc de même pour $ u_n$ et ce bien que $ (-1)^n$ n'admette pas de limite. Voici un résultat permettant non pas de calculer une limite mais de garantir son existence.

Proposition

Soit $ u$ une suite croissante tel que $ u_n$ soit majoré pour tout $ n$ assez grand (c'est à dire que $ u_n{<}M$ pour un certain $ M$ ne dépendant pas de $ n$ ). Alors $ u$ admet une limite.
Soit $ u$ une suite décroissante tel que $ u_n$ soit minoré pour tout $ n$ assez grand (c'est à dire que $ u_n{>}M$ pour un certain $ M$ ne dépendant pas de $ n$ ). Alors $ u$ admet une limite.

Par exemple, on peut rapidement montrer que la suite $ u$ définie pour tout $ n\in \mathbb{N}$ par $ u_n=\dfrac{n+1}{n}$ est décroissante et minoré trivialement par $ 0$ . Donc $ u$ admet une limite. En utilisant les résultats sur les limites de fonction (de polynôme pour être précis), on montre que $ lim\ u_n=1$ .

Suites récurrente fonctionnelle

Définition

On dira qu'une suite $ u$ est récurrente fonctionnelle si il existe une fonction $ f$ tel que $ u_{n+1}=f(u_n)$ .

Les suites récurrentes fonctionnelles sont un cas particulier des suites définies de manière récurrente. Par exemple $ u_{n+1}=u_n^2+1$ est une suite récurrente fonctionnelle avec $ f(x)=x^2+1$ . La suite $ v_{n+1}=v_n^n+1$ est une suite récurrente mais n'est pas fonctionnelle car on ne peut pas trouver de fonction telle que $ v_{n+1}=f(v_n)$ (la fonction $ f$ définissant les suites récurrentes fonctionnelles ne doivent pas dépendre de $ n$ ). Prenons pour exemple la fonction $ f(x)=-x^2+2x$ et la suite $ u$ récurrente fonctionnelle de fonction $ f$ où $ u_0=0,1$ . Pour "voir" $ u_1$ il faut calculer l'image de $ u_0$ . Pour voir $ u_2$ il faut calculer l'image de $ u_1$ . Pour cela on va se servir de la droite $ y=x$ qui permet de projeter la valeur de $ u_1$ sur l'axe des abscisse. On continue ainsi de proche en proche pour construire cette représentation en escalier.

Lorsque la fonction $ f$ est décroissante on va plutôt avoir une représentation en escargot.

Quelque soit la configuration on observe assez rapidement que la limite, si elle existe, se rapproche du point d'intersection entre la courbe et la droite $ y=x$ .

Théorème

Soit $ u$ une suite récurrente fonctionnelle de fonction $ f$ . Si $ u$ admet une limite, cette limite est nécessairement une solution de l'équation $ x=f(x)$ .

Suites arithmétiques

Définition

On dira qu'une suite est arithmétique si $ u$ est récurrente fonctionnelle de fonction $ f(x)=x+b$ . Dans ce cas le nombre réel $ b$ est appelé la raison de la suite.

Plus simplement une suite est arithmétique si on peut passer d'un terme à l'autre par l'ajout (ou la soustraction) d'un nombre (ne dépendant pas de $ n$ ). Dans ce cadre très particulier, la droite $ y=x$ et $ f(x)=x+b$ sont parallèles (car elles ont le même coefficient directeur). En particulier elle ne se coupent pas donc la limite d'une suite arithmétique ne peut pas être autre chose que $ \infty$ . Dans ce cas particulier de suite, on peut passer de la forme récurrente à la forme explicite assez rapidement.

Proposition

Soit $ u$ une suite arithmétique de raison $ r$ alors pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , \[u_n=u_0+nr\]

La démonstration de cette proposition passe par un raisonnement par récurrence dont nous ne dirons pas plus que le nom dans ce cours.

Corollaire

Soit $ u$ une suite arithmétique de raison $ r$ .

Si $ r{>}0$: alors la suite est strictement croissante et tend vers $ +\infty$ .
Si $ r{<}0$: alors la suite est strictement décroissante et tend vers $ -\infty$ .
Si $ r=0$: alors la suite est constante et tend donc vers sa valeur constante (n'importe lequel de ses termes).

Suites géométriques

Définition

On dira qu'une suite est géométrique si $ u$ est récurrente fonctionnelle de fonction $ f(x)=ax$ . Dans ce cas le nombre réel $ a$ est appelé la raison de la suite.

Plus simplement une suite est géométrique si on peut passer d'un terme à l'autre par la multiplication (ou la division) d'un nombre (ne dépendant pas de $ n$ ). Dans ce cas particulier de suite, on peut passer de la forme récurrente à la forme explicite assez rapidement.

Proposition

Soit $ u$ une suite géométrique de raison $ q$ alors pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , \[u_n=u_0q^n\]

Corollaire

Soit $ u$ une suite géométrique de raison $ q$ .

Si $ q{>}1$: alors la suite est strictement croissante et tend vers $ \infty$ ; le signe étant déterminé par le signe de $ u_0$ .
Si $ q=1$: alors la suite est constante et tend donc vers sa valeur constante (n'importe lequel de ses termes).
Si $ 0{<}q{<}1$: alors la suite est strictement décroissante et tend vers $ 0$ .
Si $ q=0$: alors pour tout $ n{>}0$ , $ u_n=0$ qui est aussi la valeur de sa limite.
Si $ -1{<}q{<}0$: alors la suite n'est ni croissante ni décroissante mais tend vers $ 0$ .
Si $ q\leqslant -1$: alors la suite n'est ni croissante, ni décroissante et n'admet pas de limite.

Suites arithmético-géométriques

Définition

On dira qu'une suite est arithmético-géométrique si $ u$ est récurrente fonctionnelle de fonction $ f(x)=ax+b$ . Dans ce cas le couple de nombre réel $ (a, b)$ est appelé la raison de la suite.

Dans le cas ou $ a=1$ on retrouve une suite arithmétique et si $ b=0$ on retrouve une suite géométrique. Si $ a\neq 1$ alors les droite $ y=x$ et $ y=ax+b$ se coupent en un unique point d'abscisse $ \dfrac{b}{1-a}$ qui, si la suite admet une limite fini, est la valeur limite.

Proposition

Soit $ u$ une suite arithmético-géométrique de raison $ (a,b)$ tel que $ 0\neq a\neq1$ alors pour tout $ n\in \mathbb{N}$ , \[u_n=a^n\left(u_0-\dfrac{b}{1-a}\right)+\dfrac{b}{1-a}\]

Démonstration

Posons $ v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}$ alors \begin{eqnarray*} v_{n+1} &=&u_{n+1}-\dfrac{b}{1-a}\\ &=&au_n+b-\dfrac{b}{1-a}\\ &=&a\left(u_n+\dfrac{b}{a}-\dfrac{b}{a(1-a)}\right)\\ &=&a\left(u_n+\dfrac{b(1-a)-b}{a(1-a)}\right)\\ &=&a\left(u_n-\dfrac{ab}{a(1-a)}\right)\\ &=&a\left(u_n-\dfrac{b}{1-a}\right)\\ &=&av_n \end{eqnarray*} D'après le précédent paragraphe ceci se traduit par le fait que $ v_n$ est une suite géométrique de raison $ a$ . Dans ce cas $ v_n=av_0$ . En remplaçant $ v_n$ par $ u_n-\dfrac{b}{1-a}$ on trouve le résultat.

Corollaire

Soit $ u$ une suite arithmético-géométrique de raison $ (a,b)$ .

Si $ |a|{<}1$: alors $ lim u_n=\dfrac{b}{1-a}$ .
Si $ a\leqslant -1$: alors $ u$ n'admet pas de limite.
Si $ a\geqslant 1$: alors $ u$ tend vers l'infini, le signe étant déterminé par le signe de $ u_0-\dfrac{b}{1-a}$ .

En particulier dans l'exemple de l'introduction avec la suite $ u_{n+1}=2u_n+1$ . Puisque $ a=2{>}1$ on en déduit que la suite tend vers $ +\infty$ .

Sommes

Dans une solution nutritive un organisme unicellulaire se reproduit par mitose : chaque cellule se divise en 2. Lors du processus de mitose la cellule divisée donne naissance à deux cellules (identique) ainsi qu'a un résidu une sorte de mue dont la cellule se détache avant la division. On suppose qu'il faut une minute à une cellule pour réaliser sa mitose et qu'au début de l'expérience il y a une seule et unique cellule. Au bout d'une heure, combien de résidu seront présent dans la solution ? Notons $ u_n$ le nombre de résidu à la $ n$ -ème minute. Initialement il n'y a qu'une cellule n'ayant pas encore fait sa mitose. Il n'y a donc pas de résidu $ u_0=0$ . A la minute suivante, la cellule a donné naissance à deux cellules et générée un résidu $ u_1=1$ . A la minute suivante, les deux cellules se divisent et génèrent chacune deux résidus et un total de 4 cellules. Il y a donc au total $ 3$ résidus (celui de la minute $ 1$ et les 2 de la minute $ 2$ )... Bon on va pas aller jusqu'à $ 60$ par cette méthode. Vite des math ! Notons $ c_n$ le nombre de cellule à la minute $ n$ . Comme nous venons de le voir $ c_0=1$ , $ c_1=2$ , $ c_3=4$ et le nombre de résidu à la minute $ 3$ est la somme des cellules des minutes précédentes : $ u_2=c_0+c_1$ pour les raisons détaillées ci-dessus. On peut en déduire de même que $ u_n=c_0+c_1+\dots+c_{n-1}$ .

Théorème

Soient $ u$ une suite géométrique de raison $ q$ et $ \alpha{<}\beta$ alors \[u_\alpha+\dots+u_\beta=u_\alpha\dfrac{1-q^{\beta-\alpha+1}}{1-q}\]

Une manière plus élégante de retenir cette formule est de dire que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est \[1^{er}\ terme\times\dfrac{1-raison^{nb\ de\ terme}}{1-raison}\]

Démonstration

Notons $ S=u_\alpha+u_{\alpha+1}+\dots+u_{\beta-1}+u_\beta$ . Alors \begin{eqnarray*} qS&=&qu_\alpha+qu_{\alpha+1}+\dots+qu_{\beta-1}+qu_\beta\\ qS&=&\underbrace{u_{\alpha+1}+qu_{\alpha+2}+\dots+qu_{\beta}}+u_{\beta+1}\\ qS&=&(S-u_\alpha)+u_{\beta+1} \end{eqnarray*} Or $ u_{\beta+1}=q^{\beta+1}u_0=q^{\beta+1-\alpha+\alpha} u_0=q^{\beta+1-\alpha} q^{\alpha}u_0=q^{\beta-\alpha+1}(q^\alpha u_0)=q^{\beta-\alpha+1}u_\alpha$ . Ainsi $ qS=S-u_\alpha+q^{\beta-\alpha+1}u_\alpha$ . En résolvant cette équation en $ S$ on trouve le résultat.

Dans notre exemple la suite $ c_n$ est une suite géométrique de raison $ 2$ (chaque cellule donne naissance à 2 cellules). Ainsi $ cn=2^n$ ($ c_0=1$ ). Alors $ u_n=1\times\dfrac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$ . En conclusion au bout d'une heure il y aura $ u_{120}=2^{120}-1$ résidus (qui est de l'ordre de $ 10^{36}$ ). Autre exemple : Le 1er janvier 2000, je décide de mettre dans ma tirelire à la fin de chaque mois $ 2$ € de plus que ce que j'ai mi le mois précédent. Le 1er janvier 2010 j'ai $ 15\ 000$ € dans ma tirelire. En supposant que je n'ai jamais pris de l'argent dedans dans ce lapse de temps, combien d'argent y avait-il le 1er janvier 2000 ? Encore une fois, utilisons les suites : soit $ u_n$ somme d'argent que je met dans ma tirelire au bout de $ n$ mois (le mois 0 étant janvier 2000). Alors $ u_{n+1}=u_n+2$ de sorte que l'on a une suite arithmétique. Mais le total contenu au bout de $ n$ mois est $ u_0+u_1+\dots+u_n$ .

Théorème

Soient $ u$ une suite géométrique de raison $ r$ et $ \alpha{<}\beta$ alors \[u_\alpha+\dots+u_\beta=\dfrac{u_\alpha+u_\beta}{2}(\beta-\alpha+1)\]

Une autre manière d'énoncer ce théorème est du de dire que la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétiques est \[ \dfrac{1er\ terme + dernier\ terme}{2}\times(nb\ de\ terme) \]

Démonstration

Observons que $ u_{\alpha+k}+u_{\beta-k}=u_0+(\alpha+k)r+u_0+(\beta-k)r=\underbrace{u_0+\alpha r }+kr+\underbrace{u_0+\beta r} -kr=u_\alpha+u\beta$ . Alors \begin{eqnarray*} S+S&=&u_\alpha+u_{\alpha+1}+\dots+u_{\beta-1}+u_\beta\\ &+&u_\beta+u_{\beta-1}+\dots+u_{\alpha+1}+u_\alpha\\ &=&(u_\alpha+u_\beta)+(u_\alpha+u_\beta)+\dots +(u_\alpha+u_\beta)\\ &=&(u_\alpha+u_\beta)\times (\beta-\alpha+1) \end{eqnarray*} En simplifiant cette égalité on trouve le résultat.

Au bout de $ 10$ ans, il a dans la tirelire $ u_0+u_1+\dots+u_{119}$ (le mois de janvier 2000 est le mois $ 0$ donc le mois $ 120$ est le mois de janvier $ 2010$ ainsi décembre 2009 est le mois $ 119$ ) et aussi $ 15\ 000$ € d'après l'énoncé. Or cette somme vaut aussi $ \dfrac{u_0+u_{119}}{2}\times 120$ . Le terme initiale $ u_0$ est inconnue, le terme $ u_{119}=u_0+119\times 2$ alors \[ 15000=\dfrac{u_0+u_0+238}{2}120\quad \Leftrightarrow\quad 125=\dfrac{u_0+u_0+238}{2}\quad \Leftrightarrow\quad 125=u_0+ 119\quad \Leftrightarrow\quad 6=u_0 \] En conclusion, il y avait $ 6$ euros dans la tirelire le 1er janvier $ 2000$ .