Théorème des valeurs intermédiaires
La notion de continuité
Une notion que nous avons légèrement survolée mais qui a maintenant tout son sens (et son importance) est la notion de continuité. On pourrait vulgairement dire qu'une fonction sera continue si, lors du dessin de son graphe, on ne lève pas le crayon de la feuille. C'est un raccourci mais cela résume assez bien le comportement à observer.
Faisons un peu de math et donnons le cadre rigoureux à cette définition.
Définition
Soit \( f\) définie en un point \( a\in \mathbb{R}\) . On dira que \( f\) est continue en \( a\) si
\[\lim{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]
Prenons par exemple la fonction \( f(x)=x^2\) et montrons qu'elle est continue en \( 2\) . D'une part \( f(2)=4\) et d'autre par \( \lim{x\rightarrow 2}x^2=4\) donc \( \lim{x\rightarrow 2}f(x)=f(2)\) .
On pourrait penser cette définition insignifiante puisque le calcul de la limite passe nécessairement par l'évaluation. Donc toutes les fonctions sont continues... c'est pas complètement faux : toutes les fonctions que nous avons rencontrées sont continues. Introduisons des fonctions un peu plus étrange.
\[f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
0&\text{si } x\leqslant 0\\
x^2&\text{sinon } (x{>}0)
\end{array}
\right.
\]
Cette fonction est définie par morceau et c'est souvent le cas "
dans la vie de tous les jours" (en physique, économétrie etc). Sur le
morceau des nombres négatifs c'est \( 0\) et sur le
morceau des nombres positifs c'est \( x^2\) .
Cette fonction est-elle continue en \( 0\) ?
Pour commencer on observe que \( f(0)=0\) (car quand \( x=0\) alors on est sur la partie ou \( x\leqslant 0\) ). Étudions à présent la limite. On se rappel que tendre vers \( 0\) se fait deux manières (en générale) : par la gauche (en étant plus petit que \( 0\) ) et par la droite (en étant plus grand que \( 0\) ). Sauf que sur la partie gauche la fonction \( f\) est \( 0\) et par la droite la fonction \( f\) est \( x^2\) . Comparons ces limites :
\[\lim{x\rightarrow0^-}f(x)=\lim{x\rightarrow0^-}0=0\]
\[\lim{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim{x\rightarrow0^+}x^2=0\]
On observe que ces limites sont les même d'une part et ont la même valeur. On peut donc écrire \( \lim{x\rightarrow0}f(x)=0\) . On observe enfin que cette limite vaut \( f(0)\) . On peut donc en conclure que la fonction \( f\) est continue en \( 0\) .
Autre exemple :
\[f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1&\text{si } x{<}1\\
0&\text{si } x=1\\
x^2&\text{sinon } (x{>}1)
\end{array}
\right.
\]
Étudions les limites en \( 1\) .
\[\lim{x\rightarrow1^-}f(x)=\lim{x\rightarrow1^-}1=1\]
\[\lim{x\rightarrow1^+}f(x)=\lim{x\rightarrow1^+}x^2=1\]
Donc \( \lim{x\rightarrow1}f(x)=1\) mais \( f(1)=0\neq 1\) . Donc cette fonction n'est pas continue.
Définition
On dira qu'une fonction est continue sur un sous-ensemble \( A\) de son domaine de définition si elle est continue pour tout \( a\in A\) .
Voici de quoi justifier que toute les fonctions que nous avons rencontrée sont continues.
Proposition
Toutes les fractions rationnelles (fractions de polynômes) sont continue sur leur ensemble de définition.
De même toutes les racines carrés de fractions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
Attention il n'est pas légitime de demander si une fonction est continue en dehors de son domaine de définition. Par exemple il n'est pas vrai de dire que la fonction \( f(x)=\dfrac{1}{x}\) n'est pas continue en \( 0\) . Elle n'est pas définie en \( 0\) !
Le théorème des valeurs intermédiaire
Ce théorème est un élément majeur de l'analyse et fondation de théorème profond (comme les accroissements finis etc). Il est pourtant très simple à énoncer et à comprendre.
Sur cette fonction on observe que \( f(2)=5\) et \( f(5)=1\) et la fonction n'a pas de trou... avec nos nouveaux outils, on dira plutôt la fonction est continue, alors forcement il existe un \( c\in [2, 5]\) tel que \( f(c)=2\) .
Puisque la fonction est continue qu'elle vaut \( 5\) puis, plus loin, \( 1\) alors forcement elle
passe par \( 2\) (c'est un exemple, nous aurions pu choisir n'importe quelle valeur entre \( 1\) et \( 5\) ). C'est l'essence du TVI (théorème des valeurs intermédiaire).
Théorème
Soit \( f\) une fonction continue sur un intervalle \( I\) . Soient \( a\) et \( b\) deux réels de \( I\) . Notons \( f(a)=\alpha\) et \( f(b)=\beta\) . Alors quelque soit le réel \( \gamma\) entre \( \alpha\) et \( \beta\) il existe \( c\) entre \( a\) et \( b\) tel que \( f(c)=\gamma\) .
Si la fonction est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) alors le \( c\) est unique comme dans l'exemple précédent : entre \( 2\) et \( 5\) la fonction est strictement décroissante elle ne
passe qu'une seule et unique fois par \( 2\) .
Corollaire
Soit \( f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \( I\) . Soient \( a\) et \( b\) deux réels de \( I\) . Notons \( f(a)=\alpha\) et \( f(b)=\beta\) . Alors quelque soit le réel \( \gamma\) entre \( \alpha\) et \( \beta\) il existe un unique \( c\) entre \( a\) et \( b\) tel que \( f(c)=\gamma\) .
Bon ce théorème aussi beau soit-il souffre d'un petit problème... Comment trouver le \( c\) . En générale on n'arrive pas à obtenir la valeur exacte. On utilise la calculatrice !
La calculatrice
Reprenons l'exemple du paragraphe précédent.
La fonction est \( f(x)=-\dfrac{1}{6}(3x-16)(x+1)\) . D'après le corolaire du TVI, il existe un unique \( c\in[1; 5]\) tel que \( f(c)=2\) . La question est : "
Déterminons un encadrement de \( c\) à \( 10^{-3}\) près.".
Cette question signifie : encadrer \( c\) entre deux nombres à \( 3\) chiffres après la virgule.
Pour y arriver nous allons utiliser la calculatrice (dans la pratique le
tableur).
- Étape 0.
- On saisie la fonction \( f\) dans la calculatrice.
- Étape 1.
- Tabler la fonction en commençant (start) en \( 1\) , en finissant (end) en \( 5\) avec un pas (step) de \( 1\) . Voici le résultat
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
x&f(x)\\\hline\hline
2 & 5.0 \\\hline
3 & 4.66666 \\\hline
4 & 3.33333 \\\hline
5 & 1.0 \\\hline
\end{array}
\]
Puisque \( 3.33333{<}2{<}1\) on en déduite que \( 4{<}c{<}5\) . Ceci est un encadrement de \( c\) à \( 10^0\) .
- Étape 2.
- Tabler la fonction en commençant (start) en \( 4\) , en finissant (end) en \( 5\) avec un pas (step) de \( 0.1\) . Voici le résultat
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
x&f(x)\\\hline\hline
4.0 & 3.333333333333333 \\\hline
4.1 & 3.1450000000000005 \\\hline
4.2 & 2.9466666666666654 \\\hline
4.3 & 2.738333333333334 \\\hline
4.4 & 2.519999999999999 \\\hline
4.5 & 2.2916666666666665 \\\hline
4.6 & 2.053333333333334 \\\hline
4.7 & 1.8049999999999986 \\\hline
4.8 & 1.546666666666668 \\\hline
4.9 & 1.2783333333333322 \\\hline
5.0 & 1.0 \\\hline
\end{array}
\]
On observe que \( 4.6{<}c{<}4.7\) puisque \( 1.804999{<}2{<}2.053333\) . Ceci est un encadrement à \( 10^{-1}\) .
- Étape 3.
- Tabler la fonction en commençant (start) en \( 4.6\) , en finissant (end) en \( 4.7\) avec un pas (step) de \( 0.01\) . Voici le résultat
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
x&f(x)\\\hline\hline
4.60 & 2.053333333333334 \\\hline
4.61 & 2.0289500000000014 \\\hline
4.62 & 2.0044666666666684 \\\hline
4.63 & 1.9798833333333328 \\\hline
4.64 & 1.9552000000000016 \\\hline
4.65 & 1.9304166666666671 \\\hline
4.66 & 1.905533333333336 \\\hline
4.67 & 1.88055 \\\hline
4.68 & 1.8554666666666673 \\\hline
4.69 & 1.8302833333333344 \\\hline
4.70 & 1.8050000000000015 \\\hline
\end{array}
\]
On observe que \( 4.62{<}c{<}4.63\) puisque \( 1.979883{<}2{<}2.004466\) . Ceci est un encadrement à \( 10^{-2}\) .
- Étape 34.
- Tabler la fonction en commençant (start) en \( 4.62\) , en finissant (end) en \( 4.63\) avec un pas (step) de \( 0.001\) . Voici le résultat
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
x&f(x)\\\hline\hline
4.620 & 2.004466666666667 \\\hline
4.621 & 2.0020128333333322 \\\hline
4.622 & 1.9995580000000002 \\\hline
4.623 & 1.9971021666666668 \\\hline
4.624 & 1.9946453333333334 \\\hline
4.625 & 1.9921874999999998 \\\hline
4.626 & 1.9897286666666665 \\\hline
4.627 & 1.987268833333333 \\\hline
4.628 & 1.9848079999999995 \\\hline
4.629 & 1.9823461666666662 \\\hline
4.630 & 1.9798833333333328 \\\hline
\end{array}
\]
On observe que \( 4.621{<}c{<}4.622\) puisque \( 1.99955{<}2{<}2.002012\) . Ceci est un encadrement à \( 10^{-3}\) .
Un exemple d'application
Nous souhaitons étudier la fonction suivante
\[f(x)=x-1+\dfrac{1}{(x+1)^2}\]
définie sur \( \mathbb{R}-\{1\}\) . On trouve sans trop de difficulté que sa dérivé est \( f'(x)=1-\dfrac{2}{(x+1)^3}\) . Mais il est difficile de connaitre le signe de cette fonction. Dérivons la à nouveau. On parle de
dérivé seconde. Il s'agit simplement de la dérivé de la dérivé que l'on note \( f''\) . On trouve sans trop de peine \( f'(x)=\dfrac{6}{(x+1)^4}\) qui est clairement strictement positif. Donc la fonction \( f'\) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}-\{1\}\) (c'est à dire strictement croissante sur \( ]-\infty ; -1[\) et strictement croissante \( ]-1 ; +\infty[\) ).
De plus on remarque que \( \lim{x\rightarrow-\infty}f'(x)=1\) et \( \lim{x\rightarrow-1^-}f'(x)=+\infty\) . Puisque la fonction est strictement monotone alors \( f'(x){>}1{>}0\) sur l'intervalle \( ]-\infty; -1[\) .
De même \( \lim{x\rightarrow-1^+}f'(x)=-\infty\) et \( \lim{x\rightarrow+\infty}f'(x)=1\) . D'après le corolaire du TVI, il existe un unique \( \alpha\in]-1 ; +\infty[\) tel que \( f'(\alpha)=0\) . Ceci nous permet d'en déduire le signe de \( f'\) : pour \( x\in]-\infty ; -1[\cup]\alpha ; +\infty[\) \( f'(x){>}0\) sinon \( f'(x){<}0\) ce qui permet d'en déduire les variation de \( f\) . Tout ce charabia (avouons le : ce système de rédaction est bien obscure !) se résume bien plus agréablement dans le tableau suivant.
A l'aide de la calculatrice on trouve que \( 0.25992{<}\alpha{<}0.25993\) .
Dans cet exemple très précis on peut chercher la valeur exacte de \( \alpha\) . En effet la seule chose exactement connue sur \( \alpha\) c'est que cette valeur annule \( f'\) . Autrement dis \( f'(\alpha)=0\) soit encore \( 1-\dfrac{2}{(\alpha+1)^3}=0\) . Par un petit jeu algébrique on peut trouver \( (\alpha+1)^3=2\) soit \( \alpha+1=\sqrt[3]{2}\) et donc \( \alpha=\sqrt[3]{2}-1\) .
Application : théorème des accroissements finis
Cette partie est hors programme.
Théorème [Rolle]
Soient \( a{<}b\) deux réels tel que \( f\) soit continue sur \( [a, b]\) et dérivable sur \( ]a; b[\) . Alors il existe \( c\in [a,b]\) tel que \( f'(c)=0\) .
Démonstration
Sur l'intervalle \( [a, b]\) , la fonction admet un minimum \( m\) et un maximum \( M\) . Ceci s'écrit : pour tout \( x\in [a,b]\) , \( m\leqslant f(x)\leqslant M\) .
Si les deux inégalités sont des égalités alors \( m=f(x)=M\) et la fonction \( f\) est constante donc sa dérivé est nulle sur tout l'intervalle.
Si au moins une des deux inégalités est stricte, par exemple \( m{<}f(x)\) (il suffira de raisonner de la même manière si \( f(x){<}M\) ) alors d'après le théorème des valeurs intermédiaire, il existe \( c\in [a, b]\) tel que \( m=f(c)\) ; précisément \( c\in]a ; b[\) car si \( c=a\) alors \( m=f(c)=f(a)=f(b)\) ce qui contredis le caractère stricte de l'inégalité \( m{<}f(x)\) .
Puisque \( f(c)=m{<}f(x)\) alors \( f(x)-f(c){>}0\) donc si \( x\in]a, c[\) , \( \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}{<}0\) et si \( x\in]c, b[\) alors \( \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}{>}0\) . D'où
\[f'(c)=\lim{x\rightarrow c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\leqslant 0
\qquad f'(c)=\lim{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\geqslant 0\]et nécessairement \( f'(c)=0\)
Théorème [Accroissements finis]
Soit \( f\) une fonction continue et dérivable sur un intervalle \( [a; b]\) de \( \mathbb{R}\) . Il existe \( c\in ]a ; b[\) tel que
\[\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]
Démonstration
Soit \( g(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}x\) alors
\begin{eqnarray*}
g(a)&=&f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}a\\
&=&\dfrac{(b-a)f(a)-a(f(b)-f(a))}{b-a}\\
&=&\dfrac{(bf(a)-af(a)-af(b)+af(a)}{b-a}\\
&=&\dfrac{(bf(a)-af(b)}{b-a}\\
g(b)&=&f(b)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}b\\
&=&\dfrac{(b-a)f(b)-b(f(b)-f(a))}{b-a}\\
&=&\dfrac{(bf(b)-af(b)-bf(b)-bf(a)}{b-a}\\
&=&\dfrac{-af(b)+bf(a)}{b-a}\\
\end{eqnarray*}
et \( g(a)=g(b)\) . D'après le théorème de Rolle, il existe \( c\) tel que \( g'(c)=0\) or \( g'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ce qui prouve le résultat.
On peut illustrer ce théorème de la manière suivante : quelques soit la
corde étendue entre deux points sur une
courbe d'une fonction dérivable alors il existe une
tangente qui lui est parallèle.
