Limites

Rapprochons-nous sans toucher !

Reprenons l'exemple de l'une des dernières fonctions vu dans le précédent chapitre \[f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}\] Nous avions conclus, par diverse manipulation, que la courbe de la fonction \( f\) était une hyperbole. Précisément sa représentation est la suivante : On observe que son domaine de définition est \( \mathbb{R}-\{1\}\) . En d'autre terme il est absolument interdit de calculer l'image du nombre réel \( 1\) . Par contre on peut essayer d'observer ce qui se passe lorsqu'on va se rapprocher de \( 1\) sans le toucher (car c'est simplement interdit)! Que vaut \( f\) en \( 0.9\) puis en \( 0.99\) puis en \( 0.999\) etc. Ces valeurs sont permises. La seule qui est interdite c'est \( 1\) et, mathématiquement en tout cas, \( 0.99999999\neq 1\) . Justement observons ces images : \( f(0.9)=-8\) \( f(0.99)=-98\) \( f(0.999)=-998\) \( f(0.99999)=-99998\) Plus on se rapproche de \( 1\) , plus l'image est très petite. On devine que si on continue de la sorte on aura un nombre de plus en plus petit. "Au final", c'est à dire si on est juste à coté de \( 1\) , on touchera (presque) \( -\infty\) . Pour traduire cette idée on utilise la notion de limite. On note \[\underset{x\rightarrow 1}{lim} \ f(x)=-\infty\] On lit : la limite de la fonction \( f\) lorsque \( x\) tend vers \( 1\) est \( -\infty\) . Il faut bien faire attention : une limite donne l'idée du comportement de la fonction lorsqu'on se rapproche de la valeur mais sans l'atteindre. Cette définition souffre d'un petit problème de déplacement. La notion de limite c'est "se rapprocher de" mais se rapprocher d'une nombre sur l'axe des réel peut se faire de deux façons : soit on se rapproche par derrière, comme nous l'avons fait dans notre exemple : nous avons observer le comportement de \( f\) lorsqu'on se rapprochait de \( 1\) mais en étant toujours derrière \( 1\) (à travers les valeurs \( 0.9\) , \( 0.99\) etc.). Il est également possible d'observer ce qui se passe si on se rapproche de \( 1\) par devant c'est à dire à travers l'observation du comportement de \( f\) sur des valeurs de la forme \( 1.01\) , \( 1.001\) etc. Dans notre exemple on a \( f(1.1)=12\) \( f(1.01)=102\) \( f(1.001)=1002\) \( f(0.00001)=100002\) Plus on se rapproche de \( 1\) en restant plus grand, plus la fonction \( f\) se rapproche de \( +\infty\) . Ce que nous pouvons noter \[\underset{x\rightarrow 1}{lim} \ f(x)=+\infty\] Pour ne pas confondre les deux calculs, on va noter \( 1^+\) pour signaler que l'on tend vers \( 1\) par valeur supérieur, c'est à dire en étant toujours plus grand que \( 1\) et \( 1^-\) pour signaler que la limite est par valeur inférieur. En résumé nous avons montré \[ \underset{x\rightarrow 1^+}{lim} \ f(x)=+\infty \qquad \underset{x\rightarrow 1^-}{lim} \ f(x)=-\infty \] Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté ou de différence on note simplement \( \underset{x\rightarrow 1}{lim} \ \dfrac{x+1}{x}=2\) . En effet, dans cet exemple que l'on se rapproche de \( 1\) par valeur supérieur ou inférieur on a la même valeur qui est d'ailleurs la valeur de la fonction en \( 1\)

Limites usuelles

Si une fonction n'a pas de valeurs interdites alors elle n'a pas de problème pour le calcul de ses limites. La notion qui est caché derrière se bon comportement des fonction est la notion de continuité. Nous n'en dirons pas plus. A notre niveau toutes nos fonctions seront continue sur leur domaine de définition. Comme nous l'avons observer dans le paragraphe précédent \( \underset{x\rightarrow 1}{lim} \ \dfrac{x+1}{x}=2\) . Les cas problématiques viennent en générale des infinis. Ces 5 résultats suffisent pour calculer toute les limites que nous rencontrerons pour le moment. Mais il faut aussi, et surtout, savoir les manipuler.

Composition des limites

Nous venons de voir que la limite de \( \dfrac{1}{x}\) en \( 0\) donne de l'infini (signe à discuter suivant la précision faites dans le calcul de la limite). Comment, à partir de ce résultat pouvons nous calculer la limite de \( \dfrac{1}{x-1}\) en \( 1^+\) . La solution est la composition des limites. Lorsque que \( x\) se rapproche de \( 1\) en restant supérieur, \( x-1\) se rapproche de \( 0\) en restant également supérieur. Autrement dis \( \underset{x\rightarrow 1^+}{lim} \ x-1=0^+\) . Le théorème que nous avons vu au paragraphe précédent nous donne, en résumé, que \( \dfrac{1}{0^+}=+\infty\) . On en déduit donc \( \underset{x\rightarrow 1^+}{lim} \ \dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty\) . C'est ce qu'on appel la composition des limites. Traitons un autre exemple et déterminons la limites en \( 2^+\) de \( \dfrac{1}{4-2x}\) . Lorsque \( x\) se rapproche de \( 2\) en lui restant supérieur \( 2x\) se rapproche de \( 4\) en lui restant également supérieur, donc par les règles sur les inégalités, \( -2x\) se rapproche de \( -4\) en lui étant inférieur donc \( 4-2x\) se rapproche de \( 0\) en étant aussi inférieur. En conclusion \( \underset{x\rightarrow 2^+}{lim} \ \dfrac{1}{4-2x} = \dfrac{1}{0^-}=-\infty \) Moralité : il suffit des 5 résultats de limites pour toutes les calculer ! Bon, non en fait on a aussi besoin de savoir additionner, multiplier, inverser etc des limites.

Opérations sur les limites

Inversion de limites.

Inverser une limite est relativement facile si on garde en tête que l'inverse de 0 c'est de l'infini et que l'inverse de l'infini c'est 0. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim{x\rightarrow a}f(x)&\lim{x\rightarrow a}\dpl{\frac{1}{f(x)}}\\\hline\hline l\neq 0 & \dpl{\frac{1}{l}}\\\hline 0^+& +\infty\\\hline 0^-& -\infty\\\hline \pm\infty & 0\\\hline \end{array} \]

Somme de limite.

L'addition de limite fait naitre un petit problème. Que donnera \( +\infty-\infty\) . Ne vous aventurez pas à dire 0. Car jouer avec les infinis est très risqué. C'est une source d'erreur fréquente de manipuler l'infini comme si c'était un nombre (aucun nombre ne vérifier \( x+1=x\) ... sauf peut-être l'infini). Moralité : lorsqu'il y a de l'infini il faut être précautionneux. Certains résultat sont triviaux : \( +\infty+\infty=+\infty\) puisque ajouter un "nombre" immensément grand un autre "nombre" immensément grand donne un "nombre" immensément grand. Que pouvons-nous dire alors de \( +\infty-\infty\) . Réponse : rien ! Nous ne pouvons pas, uniquement avec ce calcul, déduire la valeur de la limite. On dis qu'il s'agit d'une forme indéterminée. Attention forme indéterminée n'est pas une réponse. Cela est une alerte dans le calcul pour sous signaler que vous ne pouvez pas utiliser les règles que nous détaillons ici. Comment résoudre une limite faisant apparaitre une forme indéterminée ? Il faut manipuler l'expression pour lever l'indétermination. Par exemple \( f(x)=x\) a pour limite \( +\infty\) en \( +\infty\) et la fonction \( g(x)=1-x\) a pour limite \( -\infty\) en \( +\infty\) . La somme des limites donne une forme indéterminée : il n'est pas possible de dire immédiatement, avec les limites de \( f\) et de \( g\) la limite de \( f+g\) . Dans cet exemple ci, nous pouvons observer que \( f(x)+g(x)=1\) et donc que la limite tend vers \( 1\) . Mise à part ce problème la somme de limite se passe très bien ! \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim{x\rightarrow a}f(x)&\lim{x\rightarrow a}g(x)&\lim{x\rightarrow a}f(x)+g(x)\\\hline\hline l&l'&l+l'\\\hline l&\pm\infty&\pm\infty\\\hline +\infty&+\infty&+\infty\\\hline -\infty&-\infty&-\infty\\\hline +\infty&-\infty&\text{F.I.}\\\hline \end{array} \]

Produit d'une limite par un nombre.

Si on multiplie une fonction par un nombre (non nul sinon ça n'a pas d'intérêt) alors la limite est aussi multipliée. Il faut juste faire attention à la règle des signes avec les infinis. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim{x\rightarrow a}f(x)&\lim{x\rightarrow a}\lambda f(x)\\\hline\hline l&\lambda l\\\hline +\infty&+\infty \text{ si }\lambda{>}0\\\hline +\infty&-\infty \text{ si }\lambda{<}0\\\hline -\infty&-\infty \text{ si }\lambda{>}0\\\hline -\infty&+\infty \text{ si }\lambda{<}0\\\hline \end{array} \]

Produit de deux limites.

Une nouvelle forme indéterminée fait son apparition \( 0\times\infty\) . Si par exemple la fonction \( f(x)=x\) et la fonction \( g(x)=\dfrac{42}{x}\) alors la limite en \( +\infty\) de \( f\) est \( +\infty\) et la limite de \( g\) est \( 0\) . Puisque c'est une forme indéterminée, nous ne pouvons pas en déduire la limite d produit par de simple résultat calculatoire sur les limites. Cependant on observe que \( f(x)g(x)=42\) ainsi la limite tend vers \( 42\) . \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \lim{x\rightarrow a}f(x)&\lim{x\rightarrow a}g(x)&\lim{x\rightarrow a}f(x)\times g(x)\\\hline\hline l&l'&l\times l'\\\hline +\infty&+\infty&+\infty\\\hline -\infty&-\infty&+\infty\\\hline +\infty&-\infty&-\infty\\\hline l{>}0&+\infty&+\infty\\\hline l{<}0&+\infty&-\infty\\\hline l{>}0&-\infty&-\infty\\\hline l{<}0&-\infty&+\infty\\\hline 0&\pm\infty&F.I.\\\hline \end{array} \]

Quotient de deux limites.

Un quotient n'est rien d'autre qu'un produit avec un inverse : \( \dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)\dfrac{1}{g(x)}\) . Puisque nous savons inverser des limites et faire le produit de limite alors nous savons faire un quotient. Attention cependant cela allonge la liste des formes indéterminées. Deux de plus s'y ajoute. En effet on a \[\dfrac{0}{0}=0\times \dfrac{1}{0}=0\times \infty=F.I.\] \[\dfrac{\infty}{\infty}=\infty\times\dfrac{1}{\infty}=\infty\times 0=F.I.\] Attention les deux petits calculs précédents sont essentiellement à but pédagogique. D'une part, comme il a déjà été dis, il faut être très précautionneux en manipulant les infinis et d'autre part F.I. n'est en aucun cas une réponse à un calcul de limite. C'est juste une alerte pour dire il faut trouver un idée pour qu'il n'y ai plus de problème.

En conclusion de toutes ces formules (qu'il faut connaitre... désolé), il faut retenir que l'on peut faire ce qu'on veux avec les limites (addition, soustraction etc...) sauf dans 4 cas qui nécessite une attention particulière (c'est la forme poétique de "il faut avoir une idée") qui sont les 4 formes indéterminées : \[\infty-\infty\qquad 0\times \infty\qquad \dfrac{0}{0} \qquad \dfrac{\infty}{\infty}\]

Des exemples ! Sur place s'il vous plait.

Déterminons \( \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+1}{x^2-x}\) . Pour calculer une telle limite, nous allons appliquer un quotient de limite. La limite du numérateur est trivialement \( +\infty\) . Pour le dénominateur, nous aboutissons malheureusement à une forme indéterminée puisque nous essayons d'appliquer une somme de limite entre \( x^2\) qui tend vers \( +\infty\) et \( -x\) qui tend vers \( -\infty\) . L'idée que nous pouvons avoir pour ce dénominateur est de factoriser par \( x\) . Dans ce cas \( x^2-x=x(x-1)\) . Par produit de limite on en déduit que le dénominateur tend vers \( +\infty\) . Et ceci ne nous arrange toujours pas puisque obtenons la forme indéterminée \( \dfrac{\infty}{\infty}\) . L'idée est ici de factoriser aussi au numérateur par \( x\) . Le problème c'est que \( x\) n'est pas un facteur commun des termes de l'expression \( x+1\) . Qu'a cela ne tienne ! Nous pouvons toujours écrire \( 1=x\times \dfrac{1}{x}\) . L'intérêt d'une telle folie est que la limite en \( +\infty\) de \( \dfrac{1}{x}\) est \( 0\) . Détaillons le calcul : \[\dfrac{x+1}{x^2-x}=\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{x(x-1)}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{x-1}\] Si nous retentons le calcul de la limite dans la dernière forme trouvée de cette expression nous avons que le numérateur tend vers \( 1\) et le dénominateur vers \( +\infty\) ce qui donne \( 0\) . En fait, l'idée de la factorisation par la plus grande puissance de \( x\) sera toujours une bonne aide pour le calcul des limites en \( \infty\) .

Les polynômes en l'infini

En application on a donc \[\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2-x+1}{2x^2-3} =\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{2x^2} =\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2\times 1}{x^2\times 2} =\lim{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2} \]

Le changement de variable

En reprenant la définition de limite nous avons vu qu'il s'agit d'observer le comportement d'une fonction lorsque l'on se rapproche d'une valeur et nous avions observer qu'il y avait deux manière de se rapprocher d'une valeur : soit en lui étant supérieur soit en lui étant inférieur. Il s'agit en fait d'un petit raccourci pédagogique. Dans la pratique on peut se rapprocher d'une valeur n'importe comment du moment que l'on reste dans le domaine de définition. Prenons par exemple la fonction \( f(x)=\dfrac{x}{x+1}\) et déterminons sa limite en \( -\infty\) . Par diverse manipulation algébrique nous pouvons montrer que \( f(x)=1-\dfrac{1}{x+1}\) . Le calcul en \( -\infty\) ne souffre ici d'aucun problème en trouve que \( \lim{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x}{x+1}=1\) . Mais il est possible de faire ce qui est appelé un changement de variable, c'est à dire se rapprocher de \( -\infty\) mais en suivant un autre chemin. Par exemple nous pouvons choisir de se rapprocher de \( -\infty\) en suivant le chemin \( \dfrac{1}{x+1}\) . Cela correspondre à dire que nous n'allons pas regarder \( x\) mais \( \dfrac{1}{x+1}\) . On pose donc \( X=\dfrac{1}{x+1}\) ainsi dans l'expression du calcul de la limite il faut remplacer tous les \( x\) en \( X\) qui est notre nouveau chemin de parcours. Ainsi \[\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}=1-X\] De plus si \( x\rightarrow-\infty\) alors \( X\rightarrow 0^-\) . On écrit alors \( \lim{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x}{x+1}= \lim{X\rightarrow 0^-}1-X=1\) (on retrouve bien le même résultat). Autre exemple : en posant \( X=1-x\) on a \( \lim{x\rightarrow 1^+}\dfrac{1}{1-x}=\lim{X\rightarrow 0^-}\dfrac{1}{X}=-\infty\)