Introduction aux fonctions
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Nous avons déjà rencontré les fonctions auc cours des chapitres précédents. Il s'agit des expressions littérales. Voici ce que Leonhard Euler (mathématicien suisse 1707-1783), l'un des premiers a avoir formalisé la notion de fonction, a dis :
Si certaines quantités dépendent d'autres quantités de telle manière que si les autres changent, ces quantités changent aussi, alors on a l'habitude de nommer ces quantités fonctions de ces dernières; cette dénomination a la plus grande étendue et contient en elle-même toutes les manières par lesquelles une quantité peut être déterminée par d'autre. Si, par conséquent, x désigne une quantité variable, alors toutes les autres quantités qui dépendent de x de n'importe quelle manière, ou qui sont déterminées par x, sont appelées fonctions de x.
En d'autre terme une fonction est un four qui transforme des nombres en d'autre nombre. Si \( f\) est le nom de notre four, alors on note \( f(x)\) le résultat de la transformation du nombre \( x\) dans le four... par la fonction \( f\) . On prendra bien garde au notation. La fonction s'appelle \( f\) tandis que \( f(x)\) est le résultat de la transformation du réel \( x\) par la fonction \( f\) ; bref ! C'est un nombre réel.
Par exemple, si on défini la fonction \( f\) par la règle \( f(x)=3x+4\) alors cette fonction transforme tout nombre réel en son triple augmenté de \( 4\) .
Quel est alors de résultat de la transformation du nombre \( -1\) par \( f\) ? En d'autre terme que se passe-t-il si on remplace \( x\) par \( -1\) ? La réponse est des plus savante : il faut remplacer \( x\) par \( -1\) dans la règle qui définie la fonction ! En d'autre terme \( f(-1)=3\times(-1)+4\) puis de réaliser les opérations ce qui s'achève en \( f(-1)=1\) . Ce qui se dit en "la fonction \( f\) transforme le nombre réel \( -1\) en \( 1\) ". Tout ceci semble un peu long ! Introduisons un petit peu de vocabulaire pour simplifier la partie.
Vocabulaire
- L'image
- d'un réel \( x\) par une fonction \( f\) est le réel \( f(x)\) . Avec la fonction \( f(x)=3x+4\) précédente, au lieu de dire "la fonction \( f\) transforme le nombre réel \( -1\) en \( 1\) " on dira "l'image de \( -1\) par \( f\) est \( 1\) " ce qui est donc la même chose que d'écrire \( f(-1)=1\) .
- Un antécédent
- d'un réel \( y\) par une fonction \( f\) est un réel \( x\) tel que \( f(x)=y\) . Avec la fonction \( f(x)=3x+4\) précédente, au lieu de dire "la fonction \( f\) transforme le nombre réel \( -1\) en \( 1\) " on dira "un antécédent \( 1\) par \( f\) est \( -1\) " ce qui est donc la même chose que d'écrire \( f(-1)=1\) .
- le domaine de définition
- est l'ensemble des valeurs possible pour la variable dans la définition de la fonction. A notre niveau, pour l'instant, nous n'avons que deux contraintes : en cas de présence d'une fraction, il faut interdire les valeurs qui annulent le dénominateur et en cas de présence de racine carré, il faut interdire les valeurs qui rendrait négatif l'expression sous la racine.
Dans notre exemple de la fonction \( f(x)=3x+4\) , puisqu'aucune des alertes précédentes n'apparait, il n'y a aucune contrainte et le domaine de définition de la fonction n'est donc pas limité ; c'est \( \mathbb{R}\) .
Si par exemple \( f(x)=\dfrac{\sqrt{x-10}}{x-20}\) alors il faut d'une part ne pas annuler le dénominateur, ce qui n'arrive que lorsque \( x=20\) et ne jamais avoir \( x-10 {{<}} 0\) ce qui arrive pour les réels de l'intervalle \( ]-\infty ; 10[\) . En définitive il faut enlever à \( \mathbb{R}\) ces impossibilités. On en conclut alors que le domaine de définition de cette fonction est \( [10; 20[\cup]20; +\infty[\) .
Attention ! On parle bien de LA image mais de UN antécédent. En effet, si on prend un nombre réel \( x\) dans le domaine de définition alors il a une et une seule image. Tandis que la recherche d'antécédent donne naissance à une équation qui peut avoir aucune, une, voir plusieurs solutions ! Par exemple, si \( g\) est une fonction définie par \( g(x)=x^2-3x\) et que nous cherchons les antécédents (éventuels) de \( -2\) alors nous sommes amené, par définition d'antécédent, à résoudre l'équation \( g(x)=-2\) soit encore \( x^2-3x=-2\) soit encore \( x^2-3x+2=0\) ce qui se résout à l'aide d'un discriminant et aboutis à \( 1\) et \( 2\) comme solution. D'ailleurs on vérifie sans peine que \( g(1)=1^2-3(1)=-2\) et que \( g(2)=2^2-3(2)=-2\) .
Représentation
Pour travailler avec les fonctions, il est d'accoutumer de les représenter dans un repère cartésien. Pour chaque valeur de \( x\) , dans le domaine de définition de la fonction, on marque, d'un point (ou d'une croix ou peu importe) le point du repère de coordonnée \( (x, f(x))\) et on relie les points consécutifs.
Reprenons l'exemple de la fonction \( f(x)=\dfrac{\sqrt{x-10}}{x-20}\) . On prend différente valeur et on place ces valeurs dans le repère :
\[
\begin{array}{r||c|c|c|c|c}
x&10&14&19&26&35\\\hline
f(x)&0&-\dfrac{1}{3}&-3&\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}
\end{array}
\]
Ce qui correspond aux points suivants :
Plus on va avoir de point, plus la fonction sera dessiner de manière précise.
Avec un peu plus de point on arrive à ce qui est appelé le
graphe de la fonction \( f\) ou
courbe représentative de la fonction \( f\) :
Fonctions de références
- La droite
- est le nom de la courbe représentative de la fonction affine définie par \( f(x)=ax+b\) sur \( \mathbb{\R}\) .
Dans une telle définition de fonction le nombre \( a\) est appelé le coefficient directeur de la droite tandis que \( b\) est appelé l'ordonnée à l'origine.
- L'ordonnée à l'origine indique le point d'intersection entre la droite et l'axe vertical appelé axe des ordonnées (d'où le nom ordonnée à l'origine). L'axe horizontale est appelé abscisse.
- Le coefficient directeur peu être aussi appelé pente de la droite. Si se place n'importe où sur la droite et qu'on se déplace de 1 vers la gauche alors on se trouve à une distance de \( a\) de la droite. Si le \( a{{>}}0\) alors on monte sinon on descend.
Pour tracer une droite il suffit de calculer deux points. Par exemple si la fonction \( f\) est définie par la règle \( f(x)=-\dfrac{1}{2}x+1\) il suffit de prendre deux valeur différentes pour \( x\) pour ensuite tracer la droite. Dans la pratique, on prend des valeurs facile pour \( x\) pour simplifier les calculs. Dans cette exemple on pourrait prendre \( x=0\) et \( x=2\) pour tracer la droite - les deux points seraient alors \( (0,1)\) et \( (2, 0)\) .
On peut aussi raisonner à l'envers : peut-on déterminer l'équation d'une droite qui passe par deux point du plans ?
Par exemple, si on souhaite déterminer l'équation d'une droite qui passe par \( (2; 1)\) et \( (1; -1)\) , on cherche une fonction affine \( f\) , donc de la forme \( f(x)=ax+b\) tel que \( f(2)=1\) et \( f(1)=-1\) . Cela donne naissance à deux équations : \( 1=2a+b\) et \( -1=a+b\) . Ce qui est un système de deux équations à deux inconnues que nous pouvons résoudre sans trop de difficulté pour trouver \( a=2\) et \( b=-3\) . Finalement l'équation de la droite qui passe par \( (2; 1)\) et \( (1; -1)\) est \( f(x)=2x-3\) . Formalisons cela avec un théorème.
Théorème
Soient \( A\) et \( B\) deux points du plans de coordonnées respective \( (x_A; y_A)\) , \( (x_B, y_B)\) alors l'équation de la droite qui passe par ces deux points a pour coefficient directeur \( \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) et l'équation de la droite est
\[f(x)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A\]
Démonstration
On cherche à déterminer deux inconnue \( a\) et \( b\) tel que \( f(x)=ax+b\) , \( f(x_A)=y_A\) et \( f(x_B)=y_B\) . Cela donne naissance au système suivant :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
ax_A+b&=&y_A\\
ax_B+b&=&y_B
\end{array}
\right.
\]
En réalisant la différence des deux lignes on arrive à \( ax_B-ax_A=y_B-y_A\) soit encore \( a(x_B-x_A)=y_B-y_A\) ce qui implique donc que \( a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) .
Enfin, avec la première des deux équations on a \( b=y_A-ax_A\) donc \( f(x)=ax+(y_A-ax_A)=a(x-x_A)+y_A\) . En remplaçant la valeur de \( a\) par celle déterminer précédemment on trouve la formule du théorème.
Bien sur si \( x_A=x_B\) alors la droite est verticale et n'a donc pas d'expression fonctionnelle au sens où nous les définissons ici.
- La parabole
- est le nom de la courbe représentative de la fonction carré définie par \( f(x)=x^2\) sur \( \mathbb{\R}\) .
- L'hyperbole
- est le nom de la courbe représentative de la fonction inverse définie par \( f(x)=\dfrac{1}{x}\) sur \( \mathbb{\R}^*=\mathbb{\R}-\{0\}=]-\infty; 0[\cup]0; +\infty[\) .
- La demi parabole couchée
- est le nom de la courbe représentative de la fonction racine carré définie par \( f(x)=\sqrt{x}\) sur \( \mathbb{\R}_+=[0; +\infty[\) .
- Les deux demi-droites
- est le nom de la courbe représentative de la fonction valeur absolue définie par \( f(x)=|x|\) sur \( \mathbb{\R}\) .
La fonction valeur absolue peut formellement être définie à l'aide des autres fonctions de références car \( |x|=\sqrt{x^2}\) .
Translation
Si on considère le graphe d'une d'une fonction \( f\) on peut la faire glisser. Cela correspond à des opérations mathématiques dis de translation..
Considérons une fonction \( f\) dont le graphe est le suivant :
La fonction \( g(x)=f(x)+\beta\) pour un certain nombre reél \( \beta\) correspond à un glissement de la courbe de \( f\) de \( \beta\) nombre réel le long de l'axe des ordonnées. Si \( \beta\) est positif se déplacement se fait vers le haut sinon vers le bas.
La fonction \( g(x)=f(x-\alpha)\) pour un certain nombre reél \( \alpha\) correspond à un glissement de la courbe de \( f\) de \( \alpha\) nombre réel le long de l'axe des abscisses. Si \( \alpha\) est positif se déplacement se fait vers la droite sinon vers la gauche.
On peut bien sur s'amuser à combiner les opérations de translations.
L'intérêt est d'essayer de se ramener aux fonctions classique. Par exemple la fonction \( f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) est le translaté de \( 1\) vers la droite de la fonction \( \dfrac{1}{x}\) . Il s'agit donc d'une hyperbole.
Considérons la fonction \( f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}\) . On peut observer sans trop de peine que \( \dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2x-2+1}{x-1}=\dfrac{2x-2}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=2+\dfrac{1}{x-1}\) ce qui correspond au translaté de \( 1\) vers droite et de 2 vers le haut de la fonction inverse. Il s'agit donc bien d'une hyperbole.
Théorème
La courbe représentative d'un polynôme de degrés 2 est, a translation prés, une pararbole.
Démonstration
En effet, d'apres le chapitre sur les polynôme de degrés 2, on a
\[ax^2+bx+c=a\left[\left(x-\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\]
ce qui correspond bien au translaté de \( \dfrac{b}{2a}\) vers la droite et de \( \dfrac{\Delta}{4a^2}\) vers le bas de la fonction carré.
La multiplication par \( a\) va dilater la courbe... oublions ça pour le moment.
