Retour aux épicycloïde
Revenons à nos épicycloïdes (
cf. Introduction). Le but est de décrire un dessin quelconque à l'aide de cercle.
Nous avions observé que si un point \( M(t)\) gravite autour d'un cercle de rayon \( a_3\) à une vitesse \( n_3\) , que ce cercle gravite lui même autour d'un cercle de rayon \( a_2\) à une vitesse \( n2\) qui gravite lui même autour d'un cercle de rayon \( a_1\) à une vitesse \( n_1\) alors les expressions de l'abscisse et de l'ordonnée de ce point sont données par les formules :
\[x(t)=a_1cos(n_1t)+a_2cos(n_2t)+a_3cos(n_3t)\]
\[y(t)=a_1sin(n_1t)+a_2sin(n_2t)+a_3sin(n_3t)\]
La
théorie de Fourrier que nous explorerons plus tard nous garantie que l'on peut peut trouver des coefficients \( a_n\) , appelé coefficient de Fourrier, tel que les coordonnés des points \( M(t)\) s'expriment par les élégantes formules
\[
\begin{array}{rrrrrrr}
x(t)=&a_0+&a_1cos(1t)+&a_2cos(2t)+&a_3cos(3t)+&a_4cos(4t)+&\cdots\\
y(t)=&&a_1sin(1t)+&a_2sin(2t)+&a_3sin(3t)+&a_4sin(4t)+&\cdots
\end{array}
\]
Prenons l'exemple de la
handspineroïde1
ABRACADABRA ! La théorie de Fourrier (on va y arriver) donne
\[x(t)=6cos(t)+1.5cos(2t)+2cos(4t)+2.6{\color{red}{sin}}(2t)\]
\[y(t)=6sin(t)-1.5sin(2t)+2sin(4t)+2.6{\color{red}{cos}}(2t)\]
Zut flute et crotte ! Pour avoir nos jolis cercles qui tournent il faut que
- l'expression de l'abscisse ne comporte que des cosinus, ce qui n'est pas le cas ici.
- l'expression de l'ordonnée ne comporte que des sinus, ce qui n'est pas le cas ici
- les mêmes coefficients apparaissent pour les même vitesse angulaire de l'abscisse et de l'ordonnée, ce qui n'est pas le cas ici (le coefficient en \( x\) du cercle de vitesse \( 2\) est \( +1.5\) tandis qu'il est de \( -1.5\) en \( y\) ).
Mais nous avons développé quelques compétences en trigonométrie. Utilisons les !
\begin{eqnarray*}
x(t)
&=&6cos(t)+1.5cos(2t)+2cos(4t)+2.6{\color{red}{sin}}(2t)\\
&=&6cos(t)+1.5cos(2t)+2.6{\color{red}{sin}}(2t)+2cos(4t)\\
&=&6cos(t)+3(0.5cos(2t)+0.87{\color{red}{sin}}(2t))+2cos(4t)\\
&=&6cos(t)+3\left(cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)cos(2t)+{\color{red}{sin}}\left(\dfrac{\pi}{3}\right){\color{red}{sin}}(2t)\right)+2cos(4t)\\
&=&6cos(t)+3cos\left(2t-\dfrac{\pi}{3}\right)+2cos(4t)
\end{eqnarray*}
Magnifique mais limite magique. Quelle idée de factoriser par \( 3\) ? Et comme par hasard \( cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0.5\) et \( sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\simeq0.87\) . Mais si on change les valeur comment on fait ?
En fait on peut montrer que
\[\alpha cos(\omega t)+\beta sin(\omega t)=A' cos(\omega t+\varphi')=Asin(\omega t+\varphi)\]
On peut même déterminer \( A\) et \( \varphi\) en fonction de \( \alpha\) et \( \beta\) mais pour comprendre ce principe nous aurons besoin de \( Arctan\) et de la forme polaire des nombres complexes. PAS DE PANIQUE ! Nous aurons le temps d'y arriver.
Quoi qu'il en soit nous trouvons un objet de la théorie des signaux : le
signal sinusoïdale. Ce sont des fonctions de la forme
\[s(t)=Asin(\omega t +\varphi)\]
où
- \( A\) désigne l'amplitude :
- la fonction \( sin\) oscille entre \( -1\) et \( 1\) . Pour amplifier ce signal on le multiplie par un réel \( A\) de sorte qu'il oscille entre \( -A\) et \( A\) .
- \( \omega\) désigne la pulsation :
- c'est le nombre de fois que le signal se répète sur un intervalle de temps \( 1\) . Elle est définie par \( \omega=\dfrac{2\pi}{T}\) où \( T\) est la période du signal.
- \( \varphi\) désigne la phase :
- c'est le décalage du signal par rapport à l'origine ; une avance ou un retard de \( -\dfrac{\varphi}{\omega}\) .
Formes algébriques des épicycloïdes
Nous avons un petit peu menti lorsque nous avons décrit la forme algébrique des épicycloïdes. Nous avons en effet dis que les coordonnées sont de la forme
\[
\begin{array}{rrrrrrr}
x(t)=&a_0+&a_1cos(1t)+&a_2cos(2t)+&a_3cos(3t)+&a_4cos(4t)+&\cdots\\
y(t)=&&a_1sin(1t)+&a_2sin(2t)+&a_3sin(3t)+&a_4sin(4t)+&\cdots
\end{array}
\]
Mais comme nous venons de le voir, ce n'est pas tout à fait le cas, puisque des phases interviennent. La véritable forme est donc
\[
\begin{array}{rrrrrrr}
x(t)=&a_0+&a_1cos(1t+\varphi_1)+&a_2cos(2t+\varphi_2)+&a_3cos(3t+\varphi_3)+&a_4cos(4t+\varphi_4)+&\cdots\\
y(t)=&&a_1sin(1t+\varphi_1)+&a_2sin(2t+\varphi_2)+&a_3sin(3t+\varphi_3)+&a_4sin(4t+\varphi_4)+&\cdots
\end{array}
\]
A quoi correspondent ces phases dans le jeu des cercles tournoyant ?
Prenons la
ranonculoïde définie avec deux cercles : un de rayon \( 2\) et de vitesse \( 1\) et un de rayon \( 1\) et de vitesse \( 6\) .
C'est à dire que l'équation algébrique de cette courbe est
\begin{eqnarray*}
x(t)&=&2cos(t)+cos(6t)\\
y(t)&=&2sin(t)+sin(6t)
\end{eqnarray*}
Lorsque nous avions dessiné cette courbe, et toutes les courbes que nous avions décrites, nous avions fait une hypothèse (cachée) qui est qu'au départ (à l'instant \( t=0\) ), tous les cercles sont alignés sur l'axe des abscisses.
Rajouter une phase, correspond donc à faire en sorte que le point de départ ne soit pas aligné avec l'abscisse. Rajoutons au premier cercle une phase de \( \dfrac{\pi}{6}\) .
C'est à dire que l'équation algébrique de cette nouvelle courbe est
\begin{eqnarray*}
x(t)&=&2cos\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)+cos\left(6t\right)\\
y(t)&=&2sin\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin(6t)
\end{eqnarray*}
Voici une épicycloïde sans et avec phases.
\begin{eqnarray*}
x(t)&=&2cos\left(t\right)+cos\left(3t\right)\\
y(t)&=&2sin\left(t\right)+sin\left(3t\right)\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x(t)&=&2cos\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)+cos\left(3t-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
y(t)&=&2sin\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(3t-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
\end{eqnarray*}
Nos problématiques étaient les suivantes :
- Que l'expression de l'abscisse ne comporte que des cosinus.
- Que l'expression de l'ordonnée ne comporte que des sinus.
- Que les mêmes coefficients apparaissent pour les même vitesse angulaire de l'abscisse et de l'ordonnée.
On rajoute donc également :
[start=4]
- Que les même phases apparaissent pour les même vitesses angulaire.
La trigonométrie avancé nous permettra de résoudre les deux premiers points et les nombres complexes résoudrons les deux derniers.
Commençons par s'armer d'outils pour appréhender les deux premiers points à l'aide des fonctions réciproques.
1Exemple tiré de la vidéo de
Eljj disponible sur
https://www.youtube.com/watch?v=uazPP0ny3XQ
