Revenons à des maths moins piquantes
1.
Prenons une bonne vielle fonction : \( f(x)=x^2\) . On sait que cette fonction est définie sur \( \R\) , c'est à dire qu'il n'y a aucune contrainte à prendre n'importe quelle nombre réelle (tandis que la fonction inverse \( \dfrac{1}{x}\) possède une valeur interdite par exemple).
Au lieu de la regarder sur \( \R=]-\infty ; +\infty[\) regardons la uniquement sur \( \R_+=[0 ; +\infty[\) . Comme pour la trigonométrie, un dessin est souvent bien plus éloquent. La visualisation des fonctions passent par la représentation cartésienne (graphique).
En tant que fonction de \( \R_+\) , la représentation graphique est naturellement cette demi-parabole.
Faisons de même avec la fonction \( g(x)=\sqrt{x}\) définie sur \( \R_+\) .
\[f(x)=x^2\]
\[g(x)=\sqrt{x}\]
Un œil aguerrie observera que les deux courbes sont très ressemblante. En fait l'une est l'autre en inversant l'axe des abscisse et l'axe des ordonnée. La raison principale est que pour tout \( x\in\R_+\) on a
\[\sqrt{x}^2=x,\qquad\sqrt{x^2}=x\]
soit encore
\[f(g(x))=x,\qquad g(f(x))=x\]
Quand deux fonctions \( f\) et \( g\) vérifie cette propriété on dit qu'elle sont réciproque l'une de l'autre.
Définition
Soit \( f:X\longrightarrow Y\) et \( g:Y\longrightarrow X\) tel que d'une part pour tout \( x\in X\) , \( g(f(x))=x\) et d'autre part pour tout \( y\in Y\) , \( f(g(y))=y\) alors on dira que \( f\) et \( g\) sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
En d'autre terme, la fonction carré (de \( \R_+\) vers \( \R_+\) ) et la fonction racine carré (sur les même domaines) sont réciproques l'une de l'autre.
L'observation de symétrie (inversion des axes) est dans ce cas toujours vraie.
Proposition
Soient \( f\) et \( g\) des fonctions réciproques l'une de l'autre alors les courbes représentatives de ces fonctions sont symétriques par rapport à la droite \( y=x\) .
Démonstration
Considérons un point \( x\) sur l'axe des abscisse. Puisque les fonctions \( f\) et \( g\) sont réciproque \( g(f(x))=x\) ; autrement dit l'image par \( g\) de \( y=f(x)\) est \( x\) . Ainsi les coordonnées du point \( A\) sont \( (y, g(y))=(f(x), x)\) .
Pour montrer que la symétrie, il s'agit d'observer que les coordonnée du milieu du segment \( [AB]\) a la même valeur pour son abscisse et son ordonnée.
Le milieu a pour coordonnés \[\left(\dfrac{x+y}{2} ; \dfrac{f(x)+g(y)}{2}\right)=\left(\dfrac{x+f(x)}{2} ; \dfrac{f(x)+x}{2}\right)\]
Nous avons la définition. Nous avons une caractéristique géométrique. Mais nous ne savons toujours pas comment trouver une réciproque ni même si cela est possible.
Dans la pratique, il est très difficile de trouver une forme explicite d'une réciproque. Dans de rare cas cela est possible mais globalement impossible sans un ordinateur.
Pratiquement, on pose \( f(x)=y\) et on cherche à résoudre cette équation d'inconnue \( x\) . La solution, unique si elle existe, s'exprime en fonction de \( y\) . Cette fonction de \( y\) est la fonction réciproque.
La question reviens donc à se demander : quand pouvons nous demander à un ordinateur d'essayer de faire des calcul ?
Autrement dis : comment garantir que l'on peut trouver une réciproque ?
Théorème
Une fonction strictement monotone d'un intervalle \( I\) sur un intervalle \( J\) admet une fonction réciproque.
Démonstration
C'est une conséquence du corolaire des valeurs intermédiaire qui stipule qu'une fonction \( f\) strictement monotone admet une unique solution à l'équation (pour inconnue \( x\) ) \( f(x)=a\) .
Prenons par exemple le polynôme \( P(x)=x^2-4x+3\) . Une étude rapide de fonction montre qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle \( ]2; +\infty[\) à valeur dans l'intervalle \( ]-1 ; +\infty[\) et strictement décroissante sur \( ]-\infty ; 2[\) à valeur dans \( ]-1 ; +\infty[\) .
Dans ce cas très particulier, on peut trouver la fonction réciproque de ce polynôme. Comme suggéré plus haut, on pose \( P(x)=y\) et on cherche à résoudre cette équation en \( x\) .
L'équation \( x^2-4x+3=y\) est équivalente à \( x^2-4x+3-y=0\) . Comme il s'agit d'un polynôme de degrés \( 2\) , on le résout par le calcul du discriminant : \( \Delta=(-4)^2-4(1)(3-y)=4+4y\) . Puisque \( y\in]-1 ; +\infty[\) , ce discriminant est strictement positif. Il existe donc deux solutions :
\[
x_1=\dfrac{4+\sqrt{4(1+y)}}{2}
\qquad
x_2=\dfrac{4-\sqrt{4(1+y)}}{2}
\]
Ce que quelques manipulation algébrique simplifient en
\[
x_1=2+\sqrt{1+y}
\qquad
x_2=2-\sqrt{1+y}
\]
Quelle solution choisir ? Tout dépend de quelle morceau du polynôme on cherche à trouver la réciproque. En effet ce polynôme est monotone sur deux intervalle. Si c'est le morceau strictement croissant (sur \( ]2 ; +\infty[\) ) alors la réciproque sera \( x_1\) sur l'intervalle complémentaire ça sera \( x_2\) .
1Soyons honnête, la trigonométrie, ça pique... fort
