Si l'on observe de plus près le mot trigonométrie de devine de quoi on va parler :
- tri pour trois,
- gono pour angle (ou coin, c'est la même racine étymologique que genoux),
- métrie pour mesure
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les triangles. Il s'agit bien de l'objet que vous connaissez depuis l'enfance mais nous le considérerons plus par ses angles que par ses cotés bien que les deux soient très étroitement liés.
Les angles que vous connaissez sont ceux qui se mesure en degrés. Quatre-vingt-dix degrés pour un angle droit, cent quatre vingt pour un angle plat, trois cents soixante pour un tour complet !
Vous êtes vous demandé d'où venait cette étrange convention ? Pourquoi \( 360\) degrés pour un tour ? On aurait aussi pu convenir que \( 10\) degrés faisait un tour ! La réponse n'est pas très claire mais il semblerait que cette convention trouve ses racines dans l'histoire de l'humanité et aurait la même cause que la raison pour laquelle il y a \( 60\) minutes en une heure ou \( 60\) secondes en une minute : les premiers penseurs de ces mesures viennent d'Amérique du sud et il était coutumier pour nos ancêtres de parler en base soixante plutôt que \( 10\) .
Mais à bien des égares, il est apparu nécessaire de convenir d'une autre unité de mesure que les degrés.
Pour la faire naitre, on considère un cercle (qui dit angle dit cercle) et on demande :
Quel est le périmètre d'un cercle ?
Pour tenter d'approcher une réponse, faisons un dessin non pas avec un cercle mais avec deux.
On observe que plus la distance \( AD\) est petite plus elle
approche la longueur de l'arc \( AD\) ; on note \( \overset{\text{⁔}}{AD}\) la longueur de cette arc. De la même manière la longueur de la droite \( BC\) est une bonne approximation de l'arc \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) .
En utilisant le bon vieux théorème de Thalès, on montre que \( \dfrac{OA}{OB}=\dfrac{AD}{BC}\) . En approchant la taille des arcs par celle des segments et en faisant une petite règle de trois on trouve
\[\overset{\text{⁔}}{BC}=\dfrac{OA}{OB}\overset{\text{⁔}}{AD}\]
Revenons à présent à la question du calcul du périmètre d'un cercle. On peut diviser le cercle en
morceau très petit aussi petit que la longueur \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) (ou \( \overset{\text{⁔}}{AD}\) suivant le cercle que vous regardez). Donc la somme de tous ces morceaux donnent le périmètre du cercle. Mais la formule déterminée précédemment montre que le périmètre du petit cercle, vu comme la somme de plein de petit morceau d'arc \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) , est proportionnelle à la somme de plein de petit morceau \( \overset{\text{⁔}}{AD}\) . En effet le rapport \( \dfrac{OA}{OB}\) reste constant en fonction du nombre de morceau. D'ailleurs, nous pouvons être plus précis car \( OA\) est en fait le rayon du petit cercle tandis que \( OB\) est le rayon du grand ! Si on note \( r\) le rayon du petit cercle, \( p\) son périmètre et \( R\) le rayon du grand cercle, \( P\) son périmètre alors la précédente formule s'écrit \( p=\dfrac{r}{R}P\) . Jouons un peu avec cette formule. On note \( D=2R\) et \( d=2r\) les diamètres des cercles.
\begin{eqnarray*}
p=\dfrac{r}{R}P &\Longleftrightarrow& p=\dfrac{2r}{2R}P\\
&\Longleftrightarrow& p=\dfrac{d}{D}P\\
&\Longleftrightarrow& \dfrac{p}{d}=\dfrac{P}{D}
\end{eqnarray*}
Nous venons donc d'observer que le rapport du périmètre par le diamètre est toujours égale à la même valeur.
Définition
On note \( \pi\) le rapport du périmètre d'un cercle par son diamètre. Ce nombre ne dépend pas du cercle. On a l'estimation suivante :
\[\pi\simeq3.141592...\]
Le symbole \( \pi\) se lit
pi et correspond à la lettre grecque \( p\) (pour périmètre). On peut démontrer, avec souffrance, que \( \pi\in\R\) mais \( \pi\not\in \Q\) .
Le nombre \( \pi\) est une bonne base pour le travail avec les angles.
Définition
On mesure les angles en radian. Un tour complet (\( 360\) degrés) correspond à \( 2\pi\) .
Puisqu'il y a un rapport proportionnel entre les mesures en degrés et en radian on a les équivalence suivantes.
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
\text{Degrés}&0&30&45&60&90&180&360\\\hline
\text{Radian}&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi
\end{array}
\]
