L'outil centrale de la trigonométrie est le cercle trigonométrique.
Définition
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1.
Lorsque l'on souhaite faire, comprendre, voir de la trigonométrie, on représente un cercle trigonométrique centré en l'origine d'un repère cartésien et on représente l'angle sur lequel on souhaite faire des observations ou calcul. Sur l'exemple on a représenté \( \dfrac{\pi}{6}\) .
Définition
Le sens trigonométrique ou sens direct correspond au sens inverse des aiguilles d'une montre.
L'angle \( \widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{6}\) et l'angle \( \widehat{BOA}=-\dfrac{\pi}{6}\) .
Qu'en est-il des angles \( \pi\) et \( -\pi\) . Sur la représentation ci-contre, c'est deux angles aboutissent au même point : le \( D\) . On est très fortement amené à penser que
sur le cercle trigonométrique \( \pi=-\pi\) . C'est d'ailleurs vrai. Mais attention ! Le nombre réel \( \pi\simeq3.14\) tandis que le nombre réel \( -\pi\simeq-3.14\) . Ils sont bel et bien différent mais
sur le cercle trigonométrique ils sont les même. Comme écrire \( \pi=-\pi\) pique un peu les yeux on introduit une notation.
Définition
Lorsque l'on travaille sur le cercle, on considère les angles à \( 2\pi\) près. Si deux angles \( \alpha\) et \( \beta\) sont égaux sur le cercle trigonométrique on dira qu'ils sont égaux modulo \( 2\pi\) on écrira \( \alpha=\beta\quad [2\pi]\) ou \( \alpha\modpi\beta\) .
Cela signifie que \( \alpha-\beta=2\pi\times k\) pour un certain \( k\in \Z\) .
Dans cette définition le nombre \( k\) représente le nombre de tour (on rappel qu'un tour correspond à un angle de \( 2\pi\) radian) que l'on fait. Ainsi nous pouvons écrire \( \pi\modpi-\pi\) car \( \pi-(-\pi)=2\pi=2\pi\times1\) ; autrement dit : les angles \( \pi\) et \( -\pi\) sont les mêmes à un tour de cercle près.
Autre exemple :
\[\dfrac{2023\pi}{3}=\dfrac{(674\times 3+1)\pi}{3}
=\dfrac{674\times3 \pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=
674\pi+\dfrac{\pi}{3}\]
En d'autre terme \( \dfrac{2023\pi}{3}\) et \( \dfrac{\pi}{3}\) sont les mêmes angles à \( 337\) tours près (\( 337=674\div 2\) ) : \( \dfrac{2023\pi}{3}\modpi\dfrac{\pi}{3}\)