\newtheoremexercice3Exercice
Exercice
Soit
\( A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
3 & -2 & 1 \\
3 & -3 & 2
\end{pmatrix}\) , le but de cet exercice sera de trouver la puissance 100 de cette matrice.
- Calculer les valeurs propres de \( A.\)
- Trouver les vecteurs propres associés aux valeurs propres.
- Écrire la matrice diagonale \( D\) semblable à \( A\) .
- Établir une relation matricielle entre \( A\) et \( D\) .
- Calculer \( D^{n},\) \( n \in \N^{*} \)
- En déduire \( A^{n}.\)
- Quelle est la réponse à la problématique de départ?
Exercice
Soient \( (u_{n})\) et \( (v_{n})\) deux suites numériques telles que:
Pour tout \( n{>}0,\) \( \left\{
\begin{array}{c}
u_{n}=u_{n-1}+4v_{n-1} \\
v_{n}=2u_{n-1}-v_{n-1}
\end{array}
\right. \) et \( u_{0}=u_{0}=1\)
- Écrire le système sous forme matricielle.
- On pose \( X_{n}=\begin{pmatrix}
u_{n}\\
v_{n}
\end{pmatrix}\) . Exprimer \( X_{n}\) en fonction de \(
X_{n-1},\) puis \( X_{n}\) en fonction de \( n.\)
- Diagonaliser la matrice.
- En déduire \( u_{n}\) et \( v_{n}\) en fonction de \( n.\)
Exercice
On considère le système différentiel suivant:
\( \left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{dx}{dt}=2x-y \\
\dfrac{dy}{dt}=-x+2y
\end{array}
\right. \) où \( x\) et \( y\) sont deux fonctions de la variable \( t.\)
On pose \( X=(x,y).\)
Veillez à expliciter les matrices \( X'\) , \( A\) et \( X\)
- Écrire le système sous forme matricielle \( X'=AX\) .
- À quelle matrice diagonale \( D\) , \( A\) est-elle semblable?
- En déduire les solutions du système.
Exercice
Pendant ses vacances d'été, Mister H a la possibilité d'aller se baigner tous les jours.
Il part le 1 août et doit rentrer sur Paris le 21 août pour gérer les inscriptions de ParcourSup et préparer ses TPs.
S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0.7.
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de 0.9.
À son arrivée en vacances, Mister H va se baigner.
L'objectif de cet exercice est de connaître la probabilité que Mister H prenne son dernier bain la veille de son départ.
\( n\) étant un entier naturel non nul, on note:
\( \bullet\) \( a_n\) la probabilité que M.H n'aille pas se baigner le \( n^{\text{è}me}\) de ces vacances.
\( \bullet\) \( b_n\) la probabilité que M.H aille pas se baigner le \( n^{i\text{è}me}\) de ces vacances.
\( \bullet\) \( P_n=(a_n quad b_n)\) la matrice traduisant l'état de probabilité le \( n^{i\text{è}me}\) jour.
- Justifier que \( P_1=(0 \quad 1)\) .
- Afin de décrire ce type de situation, il est utile d'avoir recours à l'illustration ci-dessus appelé graphe probabiliste où (\( B\) représente l'état \og Mister H va se baigner \fg )
Compléter le.
- Compéter la matrice de transition \( M\) , c'est-à-dire tel que \( P_{n+1}\) =\( P_n \times M\) associée à ce graphe est:
\( \begin{pmatrix}
0.1 & ....\\
.... & 0.7
\end{pmatrix}\)
- Que vaut \( P_3\) ? Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le troisième jour?
La matrice \( M\) est-elle semblable à une matrice diagonale \( D\) ? Si oui, donnez en une et fournissez une relation matricielle liant \( M\) et \( D\) .
Répondre à la question posée.
Exercice
[Le Mystère des Chaussettes Disparues]
Vous avez une machine à laver un peu particulière. À chaque lavage, elle transforme certaines de vos chaussettes blanches en chaussettes noires, et vice-versa. Vous commencez à soupçonner que la machine suit un schéma mathématique précis.
Données :
- Vous mettez dans la machine 10 chaussettes blanches et 15 chaussettes noires.
- Après un cycle de lavage, vous constatez que vous avez maintenant 8 chaussettes blanches et 17 chaussettes noires.
- Vous remarquez que ce changement peut être modélisé par la matrice de transition suivante :
\[ A = \beginpmatrix 0.8 & 0.2
0.1 & 0.9 \endpmatrix \]
Question : Si vous continuez à laver ce même lot de chaussettes, quelle sera la répartition finale entre les chaussettes blanches et noires ? Utilisez la diagonalisation de la matrice pour trouver la solution.
%Exercice : Le Mystère des Chaussettes Disparues
%Contexte : Vous avez une machine à laver un peu particulière. À chaque lavage, elle transforme certaines de vos chaussettes blanches en chaussettes noires, et vice-versa. Vous commencez à soupçonner que la machine suit un schéma mathématique précis !
%
%Données :
%
%Vous mettez dans la machine 10 chaussettes blanches et 15 chaussettes noires.
%Après un cycle de lavage, vous constatez que vous avez maintenant 8 chaussettes blanches et 17 chaussettes noires.
%Vous remarquez que ce changement peut être modélisé par la matrice de transition suivante :
%�
%=
%(
%0.8
%0.2
%0.1
%0.9
%)
%A=(
%0.8
%0.1
%
%
%0.2
%0.9
%
% )
%
%où la première colonne représente les proportions de chaussettes blanches qui restent blanches ou deviennent noires, et la deuxième colonne représente les proportions de chaussettes noires qui restent noires ou deviennent blanches.
%
%Question : Si vous continuez à laver ce même lot de chaussettes, quelle sera la répartition finale entre les chaussettes blanches et noires ? Utilisez la diagonalisation de la matrice pour trouver la solution.
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