Rappel du problème
Rappelons notre problème initiale.
Nous avons chaque mois \( n+1\) l'évolution de la population de lapin \( L_n\) et de renard \( R_n\) en fonction de ces même donnée au mois \( n\) .
\[L_0=20, R_0=4, \qquad\left\{
\begin{array}{rclcl}
L_{n+1}&=&1.5L_n&-&2R_n\\
R_{n+1}&=& &&1.1R_n
\end{array}
\right.
\]
A l'aide de l'ordinateur nous pouvons réaliser l'observation suivante, sur les dix premières année.
Nous avons donc imaginer, par cette observation, qu'entre la neuvième et la dixième année, la population de lapins allait avoir tendance à disparaitre.
Utilisons nos outils pour s'en convaincre.
Le système \( \left\{
\begin{array}{rclcl}
L_{n+1}&=&1.5L_n&-&2R_n\\
R_{n+1}&=& &&1.1R_n
\end{array}
\right.
\) peut se reformuler de manière matricielle \( U_{n+1}=AU_n\) où l'on a posé \( U_n=\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}\) . La matrice \( A\) est alors \( \begin{pmatrix}
1.5 & -2\\
0 &1.1
\end{pmatrix}\)
Lorsque nous sommes avec des nombres réels classique avec \( u_{n+1}=qu_n\) nous sommes confronté à une
suite géométrique dont l'expression en fonction de \( n\) est \( u_n=q^nu_0\) .
En dimension supérieur l'expression \( U_{n+1}=AU_n\) peut aussi s'identifier comme une suite géométrique et, de la même manière qu'avec des nombre réels usuelles, nous pouvons démontrer (par récurrence) que cette expression équivaut à \( U_n=A^nU_0\) .
Il s'agit donc de calculer \( A^n\) . Regardons quelques valeurs de \( n\) .
- \( \bullet\)
- \( A^0=\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- \( A^1=\begin{pmatrix}
1.5&-2\\
0&1.1
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- \( A^2=\begin{pmatrix}
2.25&-5.2\\
0&1.21
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- \( A^5=\begin{pmatrix}
7.59375&-29.9162\\
0&1.61051
\end{pmatrix}\)
Il apparait difficile de faire apparaitre une formule. Cela dis, à y regarder de plus près \( 7.59375=(1.5)^5\) et \( 1.61051=(1.1)^5\) mais il n'est pas évident de déterminer une formule, en fonction de \( n=5\) pour le réel \( -29.9162\) .
Diagonalisation
Diagonalisons la matrice \( A\) . On montre très facilement que \( \chi_A(X)=(X-1.5)(X-1.1)\) . Ainsi \( Sp(A)=\{1.5, 1.1\}\) . Commençons par calculer les espaces propres.
- \( E_{1.5}\) .
- Il s'agit de déterminer toutes les solutions de l'équation \( (A-1.5Id)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\) . Il y en a (toujours) une infinité. Cette équation matricielle équivaut au système \(
\left\{
\begin{array}{ccccl}
0x&-&2y&=&0\\
0x&-&0.4y&=&0
\end{array}
\right.
\) . Trivialement \( x\in \R\) et \( y=0\) et \(
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x\\0
\end{pmatrix}=
x\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
\) . On a donc \( E_{1.5}={\texttt{Vect}}\left(\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix} \right)\) .
- \( E_{1.1}\) .
- Il s'agit ici de déterminer toutes les solutions de l'équation \( (A-1.1Id)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\) . Cette équation matricielle équivaut au système \(
\left\{
\begin{array}{ccccl}
0.4x&-&2y&=&0\\
0x&-&0y&=&0
\end{array}
\right.
\) . On a donc \( x\in \R\) et \( y=\dfrac{0.4}{2}x=0.2x\) ; ainsi \(
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x\\0.2x
\end{pmatrix}=
x\begin{pmatrix}
1\\0.2
\end{pmatrix}
\) . On a donc \( E_{1.1}={\texttt{Vect}}\left(\begin{pmatrix}
1\\0.2
\end{pmatrix} \right)\)
En conclusion, en posant \( P=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0.2
\end{pmatrix}
\) , on a \( P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
1.5&0\\0&1.1
\end{pmatrix}\) . En effet, on a \( P^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & -5\\0&5
\end{pmatrix}\) et
\[
\begin{array}{c|cc}
&\begin{pmatrix}
1.5 & -2\\
0 &1.1
\end{pmatrix}& \begin{pmatrix}
1&1\\
0&0.2
\end{pmatrix}\\\hline
\begin{pmatrix}
1 & -5\\0&5
\end{pmatrix}&
\begin{pmatrix}
1.5 & -7.5\\0&5.5
\end{pmatrix}
&\begin{pmatrix}
1.5 & 0\\0&1.1
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
Notons \( D=P^{-1}AP\) . De manière équivalente \( A=PDP^{-1}\) .
Alors
\begin{eqnarray*}
A^n
&=& A\times A\times A\times \cdots \times A\\
&=& (PDP^{-1})\times (PDP^{-1})\times (PDP^{-1})\times \cdots \times (PDP^{-1})\\
&=& PD\underbrace{P^{-1}P}D\underbrace{P^{-1}P}D\underbrace{P^{-1}\cdots P}DP^{-1}\\
&=&PDDD\cdots DP^{-1}\\
&=&PD^nP^{-1}
\end{eqnarray*}
Or \( D^n=\begin{pmatrix}
1.5^n&0\\0&1.1^n
\end{pmatrix}
\) . Dans ce cas :
\[
\begin{array}{c|cc}
&\begin{pmatrix}
1.5^n&0\\
0&1.1^n
\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}
1 & -5\\0&5
\end{pmatrix}\\ \hline
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&0.2
\end{pmatrix}&
\begin{pmatrix}
1.5^n&1.1^n\\
0&0.2\times 1.1^n
\end{pmatrix}&
\begin{pmatrix}
1.5^n&-5\times 1.1^n+5\times 1.1^n\\
0&1.1^n
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
Ce que nous pouvons d'ailleurs vérifier avec la puissance \( 5\) que nous avions calculer. En effet, nous pouvons numérique observer que \( -29.9162=-5\times 1.1^5+5\times 1.1^5\) .
\( Math{>}{>}{>}Informatique\)
Nous avons donc
\begin{eqnarray*}
U_{n} = A^n U_{0}
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1.5^n&-5\times 1.5^n+5\times 1.1^n\\
0&1.1^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
20\\4
\end{pmatrix}\\
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
20\times 1.5^n+4(-5\times 1.5^n+5\times 1.1^n)\\
4\times 1.1^n
\end{pmatrix}\\
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
20\times 1.1^n\\
4\times 1.1^n
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( L_n=20\times 1.1^n\) et \( R_n=4\times 1.1^n\) . En particulier, le rapport entre le nombre de lapins et de renards est constant : \( \dfrac{L_{n}}{R_n}=\dfrac{20\times 1.1^n}{4\times 1.1^n}=5\) . Il y aura toujours \( 5\) fois plus de lapins que de renard.
Mais alors pourquoi avons nous observé une population de lapin qui s'effondre ?
La réponse viens de l'approximation numérique qui est fait par un ordinateur !
Mathématiquement les populations de nos deux espèces ne font que croitre. Il faudra probablement autoriser les chasseurs à réguler ces deux populations...
Voici le code en python qui a permit d'arriver à la comparaison entre l'approximation numérique (
L1 et
R1) et les valeurs réels que nous avons mathématiquement établis (
L2 et
R2).
\beginlisting1
N=12*10#Nombre de mois d'étude
#Calculs
L1=[20]
R1=[4]
for n in range(N) :
L1.append(1.5*L1[n]-2*R1[n])
R1.append(0*L1[n]+1.1*R1[n])
L2=[]
R2=[]
for n in range(N+1) :
L2.append(20*(1.1)**n)
R2.append(4*(1.1)**n)
#Graphique
from matplotlib.pyplot import *
deb=12*8 #Début = 8ième année
fin=12*10 #Fin = 10ième année
plot([k for k in range(deb, fin+1)], L1[deb:fin+1], 'g.-', alpha=0.19, label="Approximation - Lapins")
plot([k for k in range(deb, fin+1)], R1[deb:fin+1], 'r.-', alpha=0.19, label="Approximation - Renards")
plot([k for k in range(deb, fin+1)], L2[deb:fin+1], 'c*-', alpha=0.19, label="Réel - Lapins")
plot([k for k in range(deb, fin+1)], R2[deb:fin+1], 'm*-', alpha=0.19, label="Réel - Renards")
grid(True)
legend()
show()
\endlisting
What if
Et si les population étaient initialement différentes ? Imaginons qu'initialement il y ai \( a\) lapins et \( b\) renards.
Alors nous réalisons les mêmes calculs que précédent ; il faut introduire \( a\) et \( b\) à la dernière étapes du calcul.
\begin{eqnarray*}
U_{n} = A^n U_{0}
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1.5^n&-5\times 1.5^n+5\times 1.1^n\\
0&1.1^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}\\
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a1.5^n+b(-5\times 1.5^n+5\times 1.1^n)\\
b\times 1.1^n
\end{pmatrix}\\
&\Leftrightarrow&
\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(a-5b)1.5^n+5b1.1^n\\
b 1.1^n
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi donc \( R_n = b1.1^n\) et la population de renard ne fera que croitre.
Mais pour les lapins nous obtenons \( L_n=(a-5b)1.5^n+5b1.1^n\) . Or, un scientifique aguerri se souviendra que \( 1.5^n\) croit plus vite que \( 1.1^n\) .
- Si \( a-5b{>}0\)
- alors la population de lapin va croitre aussi vite que \( 1.5^n\) (et même plus vite).
- Si \( a-5b=0\)
- alors la population de lapin va croitre aussi vite que \( 1.1^n\) (c'est à dire que cela ne dépend que du taux de reproduction des renards !).
- Si \( a-5b{<}0\)
- alors la population de lapin va s'éteindre à un moment. Ce moment peut même être déterminer, c'est le plus petit \( n\) tel que \( (a-5b)1.5^n+5b1.1^n\leqslant 0\) . Un matheux amoureux de l'algèbre pourra démontrer que c'est l'arrondi supérieur de \( \dfrac{ln\left(1-\dfrac{a}{5b}\right)}{ln\left(\dfrac{1.1}{1.5}\right)}\)
Exemple \( a=20.000001\) \( b=4\)
Oui cela n'a pas beaucoup de sens d'avoir une valeur initiale de lapin non entière. Un curieux pourra reprendre le code précédent et mettre par exemple \( a=21\) . L'idée ici est de montrer que si la nombre de lapin initial et de loup vérifie \( a-5b{>}0\) , même si c'est très (très) légèrement au dessus de \( 0\) alors la population de lapin ne fera que croitre exponentiellement (de l'ordre de \( 1.5^n\) ).
Observations :
Exemple \( a=19.999999\) \( b=4\)
On a \( \dfrac{ln\left(1-\dfrac{a}{5b}\right)}{ln\left(\dfrac{1.1}{1.5}\right)}\simeq54.2\) . Ainsi la population de lapin s'éteindra entre le \( 54\) -ième et \( 55\) -ième mois (quatre ans et demi).
What if 2
Et si les taux de reproduction étaient différents ?
Imaginons que le taux de reproduction des lapins est de \( \alpha\) (dans l'exemple de l'introduction, \( \alpha=50\%=0.5\) ) et celui des renard \( \beta\) (\( \beta=10\%=0.1\) ).
Dans ce cas, la matrice \( A=
\begin{pmatrix}
1+\alpha & -2\\
0&1+\beta
\end{pmatrix}
\)
L'étudiant curieux pourra démontrer les résultats suivants.
- \( \bullet\)
- Les valeurs propres sont \( 1+\alpha\) et \( 1+\beta\) .
- \( \bullet\)
- Un vecteur propre de la valeur propre \( 1+\alpha\) est \( \begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- Un vecteur propre de la valeur propre \( 1+\beta\) est \( \begin{pmatrix}
1\\\dfrac{\alpha-\beta}{2}
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- Posons \( P
=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & \dfrac{\alpha-\beta}{2}
\end{pmatrix}
\) alors \( P^{-1}=\begin{pmatrix}
1&\dfrac{-2}{\alpha-\beta}\\
0&\dfrac{2}{\alpha-\beta}
\end{pmatrix}\) et \( P^-1AP=
\begin{pmatrix}
1+\alpha&0\\
0&1+\beta
\end{pmatrix}
\)
- \( \bullet\)
- \( A^n=
\begin{pmatrix}
(1+\alpha)^n & \left((1+\beta)^n-(1+\alpha)^n\right)\dfrac{2}{\alpha-\beta}\\
0& (1+\beta)^n
\end{pmatrix}
\)
- \( \bullet\)
- Si \( a\) et \( b\) sont les populations initiales des lapins et renards alors
\[
R_n=b(1+\beta)^n
\qquad
L_n= \left(a-\dfrac{2b}{\alpha-\beta}\right)(1+\alpha)^n+\dfrac{2b}{\alpha-\beta}(1+\beta)^n
\]
Évidemment, l'étudiant rigoureux aura compris que le \( \alpha\neq\beta\) .
Et là... il y a beaucoup à discuter.
- Si le taux de reproduction des renards est supérieur à celui des lapins (\( \beta{>}\alpha\) ) alors la population de lapins est toujours voué à disparaitre et ce, quelques que soit la taille des populations initiale (positive).
- Si le taux de reproduction des renards est inférieurs à celui des lapins (\( \beta{<}\alpha\) ) alors l'extinction des lapins se produira si et seulement si \( a-\dfrac{2b}{\alpha-\beta}{<}0\)
What if 3
Et si le nombre de lapin consommé par les renards était différent ? Et si c'était les lapins qui mangeaient les renards ? On va "simplement", remplacer le \( 2\) par un paramètre de consommation \( c\) . La matrice \( A=\begin{pmatrix}
1+\alpha & -c\\
0&1+\beta
\end{pmatrix}
\)
- \( \bullet\)
- Les valeurs propres sont toujours \( 1+\alpha\) et \( 1+\beta\) .
- \( \bullet\)
- Un vecteur propre de la valeur propre \( 1+\alpha\) reste \( \begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- Un vecteur propre de la valeur propre \( 1+\beta\) deviens \( \begin{pmatrix}
1\\\dfrac{\alpha-\beta}{c}
\end{pmatrix}\)
- \( \bullet\)
- Posons \( P
=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & \dfrac{\alpha-\beta}{c}
\end{pmatrix}
\) alors \( P^{-1}=\begin{pmatrix}
1&\dfrac{-c}{\alpha-\beta}\\
0&\dfrac{c}{\alpha-\beta}
\end{pmatrix}\) et \( P^-1AP=
\begin{pmatrix}
1+\alpha&0\\
0&1+\beta
\end{pmatrix}
\)
- \( \bullet\)
- \( A^n=
\begin{pmatrix}
(1+\alpha)^n & \left((1+\beta)^n-(1+\alpha)^n\right)\dfrac{c}{\alpha-\beta}\\
0& (1+\beta)^n
\end{pmatrix}
\)
- \( \bullet\)
- Si \( a\) et \( b\) sont les populations initiales des lapins et renards alors
\[
R_n=b(1+\beta)^n
\qquad
L_n= \left(a-\dfrac{bc}{\alpha-\beta}\right)(1+\alpha)^n+\dfrac{bc}{\alpha-\beta}(1+\beta)^n
\]
Bon, il n'y a plus de nombre... c'est sympa mais ça fait trop peur.
What if 4
Et si en plus des lapins et des renards, il y avait également des sauterelles ?
Exercice
En imitant le raisonnement précédent, étudier le système de suite
\[
\left\{
\begin{array}{rclclcl}
L_n&=&-0.4L_n&-&0.1S_n&+&0.8R_n\\
S_n&=&1.5L_n&+&1S_n&-&1R_n\\
R_n&=&0.7L_n&+&0.8S_n&-&0.4R_n\\
\end{array}
\right.
\]
où \( L_0=20\) , \( S_0=100\) et \( R_0=5\) . Un curieux pourrait s'amuser à demander d'abord à un ordinateur...
