Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Avant de nous lancer dans le problèmes des lapins et renards, commençons par une petite énigme :

Un téléphone et sa coque coute mille euros. Le téléphone coute dix euros de plus que la coque. Quel est le prix de la coque ?

\colorredAlerte : ce n'est pas 10 euros. Peut-être que vous aurez compris que le problème est avant tout sémantique : la formulation de la phrase est un peu alambiqué. Mais peu importe ! Ce qui va nous intéresser ici c'est le modèle que nous allons mettre en place pour résoudre ce problème. Rappelons la feuille de route mentale lorsque l'on souhaite résoudre un problème :

\boxed

Identifier: la ou les inconnues.
Modéliser: le problème à l'aide d'outils mathématiques.
Utiliser: ce modèle ainsi que les outils qui y sont liés pour trouver la ou les inconnues.
Répondre: à la question posée (on dit aussi conclure).

Appliquons cette règle dans notre cas.

Identifier.: Nous avons deux inconnues : les prix du téléphone et de la coque. Nommons les respectivement $ t$ et $ c$ les prix du téléphone et sa coque exprimés en euro. Nous cherchons surtout $ c$ .
Modéliser.: C'est souvent la partie difficile pour un étudiant : transformer le problème en équation. La première phrase que nous pouvons utiliser dans l'énoncé est Un téléphone et sa coque coute mille euros. La mise en équation de cette phrase est \[t+c=1000\qquad (1)\] La seconde phrase qui attire notre attention est Le téléphone coute dix euros de plus que la coque. Disons le : si on ajoute dix euros au prix de la coque on obtient le prix du téléphone. La reformulation est alors cette fois \[10+c=t \quad (2)\]
Utiliser.: Ici aucune contrainte, il faut simplement user de tout votre savoir faire pour résoudre le problème. Par exemple ici, nous pouvons substituer $ t$ dans l'équation $ (1)$ à l'aide de l'équation $ (2)$ : \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} t+c&=&1000\\ t&=&10+c \end{array} \right. &\Rightarrow & (10+c)+c=1000\\ &\Rightarrow & 2c=990\\ &\Rightarrow & c=495 \end{eqnarray*}
Répondre.: Ainsi la coque coute $ 495$ € (et le téléphone $ 505$ € qui est bien $ 10$ € plus chère que la coque).

Exercice

Luc et Julie ont un totale de $ 35$ €. Si Luc à $ 5$ € de plus que Julie, combien chaque personne a-t-elle ?
Un magasin vend des pommes et des bananes. Pour trois pommes et deux bananes, le coût est $ 4$ €. Pour deux pommes et une banane, le coût est de $ 2$ €. Quel est le prix d'une pomme et celui d'une banane ?
Deux chiffres ont une somme de $ 12$ . Le plus grand chiffre est trois fois plus grand que le plus petit. Trouvez ces deux chiffres.
Une personne a des pièces de $ 5$ centimes et de $ 10$ centimes. Il a un total de $ 8$ pièces, et la somme totale des pièces est de $ 65$ centimes. Combien a-t-il de pièces de chaque type ?