Objectif
L'objectif de ce cours est de donner des éléments d'algèbre linéaire pour accompagner la poursuite d'étude. Dans le temps qui nous est imparti, nous ne pourrons pas rentrer dans la profondeur de la
rigueur imposée par les mathématiques.
Ce cours a pour principale vocation d'attiser la curiosité et de donner quelques éléments centraux en algèbre linéaire. Tout étudiant curieux de comprendre les mécanique profonde devras approfondir ses recherches, les réponses à ses questions ne se trouvant pas dans les pages suivantes.
Introduction
Dans une réserve naturelle on trouve des lapins et des renards.
Initialement, le premier janvier 2000, on comptait \( 20\) lapins et \( 4\) renards. Les biologistes nous informent que :
- Chaque mois, en moyenne, la population de lapin augmente de \( 50\%\)
- Chaque mois, en moyenne, la population de renard augment de \( 10\%\)
- Chaque mois, en moyenne, un renard se nourrit de deux lapins.
Les questions qui se posent sont alors :
- A partir de quelle mois, la population de lapins va dépasser le million d'individu ?
- Existe-t-il un moment à partir duquel la population de lapin va s'éteindre ?
- Quelle est le nombre de lapin et de renard le premier janvier 2024 ?
- etc...
Exercice
Quel est le nombre de renard et de lapin le 1er mars 2000 ?
On rappel les quatre règles pour résoudre un problème :
- I. Identifier
- le ou les inconnues.
- II. Modéliser
- le problème à l'aide de concept mathématiques.
- III. Résoudre
- le problème ainsi reformuler.
- IV. Conclure
- à la question posée.
Commençons donc par identifier les inconnues. Nous cherchons à identifier le nombres de lapin et le nombre de renard au mois \( n\) . Nous noterons \( L_n\) le nombre de lapin et \( R_n\) le nombre de renard le mois \( n\) après le premier janvier 2000.
Exercice
En reprenant les notations précédentes :
- Quelles sont les valeurs de \( L_0\) et \( R_0\) ?
- Exprimer \( L_{n+1}\) et \( R_{n+1}\) en fonction de \( L_n\) et \( R_n\) .
\begincorrection
De par l'énoncé on a trivialement \( L_0=20\) et \( R_0=4\) .
L'augmentation de la population des lapins de \( 50\%\) se traduit par \( 1.5L_n\) . De plus chaque renard du mois actuel, mange deux lapins. Ainsi
\( L_{n+1}=\underbrace{1.5L_n}_{\text{Reproduction}}-\underbrace{2R_n}_{\text{Consomation}}\)
De même pour les renards
\( R_{n+1}=\underbrace{1.1R_n}_{Reproduction}\)
\endcorrection
Le problème se reformule alors en \( L_0=20\) , \( R_0=4\) et le système
\( \left\{
\begin{array}{rclcl}
L_{n+1}&=&1.5L_n&-&2R_n\\
R_{n+1}&=& &&1.1R_n
\end{array}
\right.
\)
Demandons à l'ordinateur de nous aider un peu et observons l'évolution de cette. Dans les graphiques suivants, on représente les renards en rouge et les lapins en vert.
Sur les cinq premières années la tendance est à la croissance rapide des deux populations (les courbes semblent être des exponentielle).
Pourtant lorsque l'on pousse l'observation plus loin dans le temps, on constate la population de lapin tend à s'éteindre entre la neuvième et dixième année du probablement à l'augmentation importante du nombre de renard.
Dans ce cours, nous allons nous armer d'outil qui vont nous permettre de comprendre ce phénomène et de l'anticiper. En effet, sans un ordinateur qui nous "montre" ce qu'il se passe, est-il possible, par des calculs
simple (et rapide) de déterminer la taille d'une population à un instant donnée sans avoir à calculer l'intégralité des instants passés ?
