Tables

Principe de l'approximation

Méthode des trapèzes.

On approche l'aire sous une courbe par l'aire facile d'un trapèze.

Découpage en \( 1\) trapèze

Découpage en \( 5\) trapèzes

Formule des trapèzes \( \dpl{\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{2n}\left(f\left(x_k\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right)}\) L'algorithme en \Python d'approximation par un découpage en \( n\) trapèzes est : \beginlisting1 def ApproxIntTrapeze(f, a, b, n) : h=(b-a)/n res=[] m=a for i in range(n-1) : M=m+h res.append(h*(f(m)+f(M))/2) m=M return res \endlisting

Méthode de Simpson.

On approche l'aire sous la courbe par celle d'une parabole obtenue par les polynômes d'interpolation de Lagrange. Les trois point d'interpolation son les points aux extrémités et le point médian.

Découpage en \( 1\) parabole

Découpage en \( 2\) paraboles

Formule de Simpson \( \dpl{\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{6n}\left(f(x_k)+4f\left(\dfrac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)+f(x_{k+1})\right)}\) L'algorithme en \Python d'approximation par un découpage en \( n\) paraboles est : \beginlisting1 def ApproxIntSimpson(f, a, b ) : h=(b-a)/n res=[] m=a for i in range(n-1) : M=m+h res.append((h/6)*(f(m) +6*f((m+M)/2)+f(M))) m=M return res \endlisting

Construction des tables

Table de la loi normale.

Si \( X\sim\mathcal{N}(\mu, \sigma)\) alors \( X=\sigma Z+\mu\) où \( Z\sim\mathcal{N}(0, 1)\) est la loi normale centrée réduite. Il suffit donc de déterminer les valeurs de \( \Proba(Z\leqslant t)\) pour différente valeur de \( t\) . On observe que \( Z\) est symétrique, c'est à dire qu'il ne suffit de déterminer \( \Proba(Z\leqslant t)\) que pour des valeurs positives de \( t\) . En effet, si \( t\) est négatif on a \begin{eqnarray*} \Proba(Z\leqslant t) &=&\Proba(Z\geqslant -t)\\ &=&1-\Proba(Z\leqslant -t)\\ \end{eqnarray*} On rappel que la densité de \( Z\) est\( p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\) . Le principe de l'algorithme est le suivant : on fixe une borne a représentant l'infini (on prendra \( 4\) car \( \Proba(Z{>}4){<}0.1\%\) il n'y a donc (presque) plus d'aire après \( 4\) ). On approche l'intégrale entre sur \( [0 ; \texttt{a}]\) par la méthode des trapèzes. On ajoute case par case les approximations retournées par la fonction ApproxIntTrapeze jusqu'à ce que l'on atteingne la valeur \( t_1\) en commençant à 0.5 (car \( \Proba(Z\leqslant 0)=0.5\) ). La fonction de répartition étant croissante il suffit d'ajouter les valeurs suivantes de la liste jusqu'à la valeur suivante \( t_2\) . Le paramètre pa, de précision d'approximation, indique le nombre de décimale que l'on souhaite voir apparaitre. \beginlisting1 def normale(x) : return (1/sqrt(2*pi))*exp(-x**2/2) def TableNormale(a, n, pa) : X=ApproxIntTrapeze(normale, 0 , a, n) case=dict() pos=0 for i in range(a*10) : case[i]=dict() for j in range(10) : if(i==0 and j==0) : case[i][j]=0.5 else : if(j==0) : case[i][j] = case[i-1][9] else : case[i][j] = case[i][j-1] while(pos/n*a

Table du \( \chi^2\) .

Dans les cas pratiques d'utilisation des lois de \( \chi^2_n\) , à \( n\) degrés de liberté, on s'intéresse à trouver \( t\) tel que \( \Proba(X\leqslant t)\simeq 0.9725\) ou \( 0.99\) . On peut démontrer via le théorème de la limite centrale que pour \( n\) suffisamment grand \( \chi^2_n\) s'approchent bien par \( \mathcal{N}(n,\sqrt{2n})\) de sorte qu'il n'est pas nécessaire d'effectuer le calcul pour de trop grande valeur de \( n\) . On choisi de ne pas aller plus loin que \( 100\) . La fonction de répartition de la loi du \( \chi^2_n\) est \( \dpl{\gamma_n(x)=c_n\int_{0}^{\frac{x}{2}}t^{\frac{n}{2}-1}e^{-t}\ dt}\) où \( c_n\) est la constante \( \dpl{\dfrac{1}{\int_0^{+\infty}t^{\frac{n}{2}-1}e^{-t}\ dt}}\) . Le principe de l'algorithme est le suivant : pour chaque de degrés de liberté deg fixés et chaque valeur val, on approche l'intégrale et on cherche la valeur de \( t\) satisfaisant \( \Proba(X\leqslant t)\simeq val\) \beginlisting1 def gamma(xmax, deg, n=10**(6)) : def f(t) : return t**(n-1) *exp(-t) return ApproxIntSimpson(f, 10**(-10), xmax, n) def TableChi2DEG(deg, VAL, n=10**(6)) : gam=gamma(150, deg/2, n) gamTOT=sum(gam) res=dict() pos=0 som=0 t=0 for val in VAL : while(som

Table de Student.

C'est le même principe que la loi du \( \chi^2_n\) sachant que la densité est \( p(x)=c_n\left(1+\dfrac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\) où la constante \( c_n\) fait de \( p\) une fonction de densité. De même, comme pour la loi normale centrée réduite, les lois de Student sont symétriques : \( \Proba(X\leqslant -t)=1-\Proba(X\leqslant t)\) . Enfin pour \( n\) suffisamment grand la loi de Student à \( n\) degrés de liberté est approché par \( \mathcal{N}\left(n, \sqrt{\dfrac{n}{n-2}}\right)\) . \beginlisting1 def TableStudentDEG(deg, VAL, n=10**(6)) : def f(x) : return (1+x**2/deg)**(-(deg+1)/2) X=ApproxIntSimpson(f, 0 , 100, n) studentTOT=2*sum(X) student=[s/studentTOT for s in X] res=dict() pos=0 som=0.5 t=0 for val in VAL : while(som