Théorème [Dirichlet]
Soient \( f\) une fonction \( 2\pi\) -périodique et dérivable par morceau et \( S_F(f)\) sa série de Fourier.
- \( (i)\)
- Si \( f\) est continue en \( a\in \R\) alors \( S_F(f)(a)=f(a)\)
- \( (ii)\)
- Si \( f\) n'est pas continue en \( a\) , notons \( f(a^+)\) la limite à droite de \( f\) en \( a\) et \( f(a^-)\) la limite à gauche. Alors \( S_F(f)(a)=\dfrac{f(a^+)+f(a^-)}{2}\) .
Avec notre exemple, nous pouvons affirmer par exemple que pour tout \( t\) réel qui n'est pas multiple entier de \( \pi\) , \( s=S_F(s)\) . Puisque \( s(t)=0\) pour tout \( t\in ]-\pi ; 0[\) nous avons l'élégante formule
\[\forall t\in ]-\pi ; 0[, \ \dfrac{1}{2}+\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{2}{(2k+1)\pi}sin((2k+1)t) = 0\]
De la même manière puisque \( s(t)=1\) sur \( ]0 ; \pi[\) ,
\[\forall t\in ]0 ; \pi[, \ \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{2}{(2k+1)\pi}sin((2k+1)t)=\dfrac{1}{2}\]
Théorème [Parseval]
Soient \( f\) une fonction \( 2\pi\) -périodique et continue par morceaux et \( \alpha_n\) , \( \beta_n\) ses coefficients de Fourier réels et \( \gamma_n\) les coefficients de Fourier complexe.
\[\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(t)|^2\ dt = \alpha_0^2+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\alpha_n^2+\beta_n^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\gamma_n|^2\]
Avec notre exemple nous avons d'une part
\[
\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |s(t)|^2\ dt
=
\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^\pi 1\ dt
=\dfrac{1}{2}
\]
et d'autre part
\[\alpha_0^2+\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\alpha_n^2+\beta_n^2
=\dfrac{1}{4}+\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\]
Grâce à l'égalité de Parseval on a
\( \dpl{\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{4}{(2k+1)^2\pi^2}}\) soit encore par quelques manipulations algébriques \( \dpl{\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8}}\)