Proposition [Pythagore]
Quelque soit \( x\in \R\) , \[cos^2(x)+sin^2(x)=1\]
Démonstration
On a \( AC^2+BC^2=AB^2\) (théorème de Pythagore) soit encore \( cos^2(x)+sin^2(x)=1\)
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos(-x)=cos(x)\]
\[sin(-x)=-sin(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=sin(x)\]
\[sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=cos(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-sin(x)\]
\[sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=cos(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos(\pi-x)=-cos(x)\]
\[sin(\pi-x)=sin(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos(\pi+x)=-cos(x)\]
\[sin(\pi+x)=-sin(x)\]
De cette dernière formule on peut observer que \( cos(x+2\pi)=cos((x+\pi)+\pi)=-cos(x+\pi)=cos(x)\) ; de même pour le sinus. On savait cependant déjà que \( cos(x+2\pi)=cos(x)\) puisque \( x\modpi x+2\pi\) .
Proposition
\[
\begin{array}{|l|*{5}{|c}|}
\hline
x\ \text{rad} &0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}\\\hline\hline
cos(x)&1&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0\\\hline
sin(x)&0&\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&1\\\hline
\end{array}
\]
Démonstration
Par de petits jeu géométrique on peut déterminer ces valeurs. Ce n'est pas très difficile mais pas vraiment pertinent.
En jumelant ces derniers résultats avec les précédents, on peut déterminer le cosinus et le sinus de bien plus de valeurs.
Formules de duplication
Vous pensiez avoir tranquillement survécu à ces quelques formules de trigonométrie ? Que nenni !
Théorème
Soient \( x\in\R\) et \( y\in \R\) .
\[cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\]
\[sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)\]
Démonstration
On considère \( OBC\) et \( OCD\) des triangles rectangles respectivement en \( B\) et \( C\) tel que \( \widehat{BOC}=x\) et \( \widehat{COD}=y\) . On projette le point \( D\) sur la droite \( (OB)\) que l'on nomme \( A\) et on projette le point \( C\) sur la droite \( (AD)\) que l'on nomme \( E\) . Un résultat bien connu sur les triangles semblables permet de justifier que \( \widehat{CDE}=x\) . Sur un dessin tout devrait s'éclairer.
Faisons de la trigonométrie dans cette figure :
- Dans le triangle \( OBC\) :
-
\( cos(x)=\dfrac{OB}{OC}\) et \( sin(x)=\dfrac{BC}{OC}\) .
- Dans le triangle \( DEC\) :
-
\( cos(x)=\dfrac{DE}{DC}\) et \( sin(x)=\dfrac{EC}{DC}\)
- Dans le triangle \( OCD\) :
-
\( cos(y)=\dfrac{OC}{OD}\) et \( sin(y)=\dfrac{DC}{OD}\)
- Dans le rectangle \( ABCE\) :
-
\( EC=AB\) et \( EA=BC\)
\begin{eqnarray*}
cos(x+y)
&=&\dfrac{OA}{OD}\\
&=&\dfrac{OB-AB}{OD}\\
&=&\dfrac{OB-EC}{OD}\\
&=&\dfrac{OB}{OD}-\dfrac{EC}{OD}\\
&=&\dfrac{OB}{OC}\times \dfrac{OC}{OD}-\dfrac{EC}{DC}\times\dfrac{DC}{OD}\\
&=&cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
sin(x+y)
&=&\dfrac{AD}{OD}\\
&=&\dfrac{AE+ED}{OD}\\
&=&\dfrac{BC+ED}{OD}\\
&=&\dfrac{BC}{OD}+\dfrac{ED}{OD}\\
&=&\dfrac{BC}{OC}\times\dfrac{OC}{OD}+\dfrac{ED}{DC}\times \dfrac{DC}{OD}\\
&=&sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
\end{eqnarray*}
Corollaire
\[sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)\]
\[cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)\]
\[sin(2x)=2sin(x)cos(x)\]
\[cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)\]
\[sin^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}\]
\[cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}\]
\[cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}\left(cos(x-y)+cos(x+y)\right)\]
\[sin(x)sin(y)=\frac{1}{2}\left(cos(x-y)-cos(x+y)\right)\]
\[cos(x)sin(y)=\frac{1}{2}\left(sin(x+y)-sin(x-y)\right)\]
\[cos(x)+cos(y)=2cos\left(\frac{x+y}{2}\right)cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
\[cos(x)-cos(y)=-2sin\left(\frac{x+y}{2}\right)sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
\[sin(x)+sin(y)=2sin\left(\frac{x+y}{2}\right)cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
\[sin(x)-sin(y)=2cos\left(\frac{x+y}{2}\right)sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
Démonstration
On ne va pas toutes les démontrer. Elles se déduisent des formules précédentes. Par exemple puisque \( cos(-y)=cos(y)\) et \( sin(-y)=-sin(y)\) alors en remplaçant \( X\) par \( x\) et \( Y\) par \( -y\) dans la formule \( sin(X+Y)=sin(X)cos(Y)+cos(X)sin(Y)\) on trouve \( sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)\) .
Autre exemple, en prenant \( x=y\) dans la formule \( cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\) on obtient \( cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)\) . Sachant que \( cos^2(x)+sin^2(x)=1\) on en déduit que \( sin^2(x)=1-cos^2(x)\) ; ce qui donne \( cos(2x)=cos^2(x)-(1-cos^2(x))=2cos^2(x)-1\) soit encore \( cos^2(x)=\dfrac{1+cos(2x)}{2}\) .
Dans la vie de tous les jours, on n'apprend pas toutes ces formules ! Il faut savoir que ces formules existent, sans forcement connaitre par cœur la formule.
