Suites géométriques
Définition
On dira qu'une suite est géométrique si
\[\forall n \in \N,\ u_{n+1}=qu_n\]
où \( q\) est un nombre réel ne dépendant pas de \( n\) . On l'appelle la raison de la suite.
Remarque
En d'autre terme, une suite sera dite géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par un réel appelé raison
Dans ce cas particulier de suite, on peut passer de la forme récurrente à la forme explicite assez rapidement.
Proposition
Soit \( u\) une suite géométrique de raison \( q\) alors pour tout \( n\in \mathbb{N}\) , \[u_n=u_0q^n\]
Démonstration
On raisonne par récurrence le cas initial étant trivial.
Supposons que pour \( n\in\N\) , \( u_n=u_0q^n\) . Montrons que \( u_{n+1}=u_0q^{n+1}\) .
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}
&=&qu_n\\
&=&qu_0q^{n}\\
&=&u_0q^{n+1}
\end{eqnarray*}
Ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire
Soit \( u\) une suite géométrique de raison \( q\) .
- Si \( q{>}1\)
- alors la suite est strictement monotone et tend vers \( \infty\) ; le signe étant déterminé par le signe de \( u_0\) .
- Si \( q=1\)
- alors la suite est constante et tend donc vers sa valeur constante (n'importe lequel de ses termes).
- Si \( 0{<}q{<}1\)
- alors la suite est strictement décroissante et tend vers \( 0\) .
- Si \( q=0\)
- alors pour tout \( n{>}0\) , \( u_n=0\) qui est aussi la valeur de sa limite.
- Si \( -1{<}q{<}0\)
- alors la suite n'est ni croissante ni décroissante mais tend vers \( 0\) .
- Si \( q\leqslant -1\)
- alors la suite n'est ni croissante, ni décroissante et n'admet pas de limite.
Remarque
Pour résumer :
*Cst : Constante