Suites récurrentes fonctionnelles
Définition
On dira qu'une suite \( u\) définie sur un domaine \( D\) , est récurrente fonctionnelle si il existe une fonction \( f : D\rightarrow\R\) tel que \( u_{n+1}=f(u_n)\) .
Les suites récurrentes fonctionnelles sont un cas particulier des suites définies de manière récurrente. Par exemple \( u_{n+1}=u_n^2+1\) est une suite récurrente fonctionnelle avec \( f(x)=x^2+1\) . La suite \( v_{n+1}=v_n^n+1\) est une suite récurrente mais n'est pas fonctionnelle car on ne peut pas trouver de fonction telle que \( v_{n+1}=f(v_n)\) (la fonction \( f\) définissant les suites récurrentes fonctionnelles ne doivent pas dépendre de \( n\) ).
Prenons pour exemple la fonction \( f(x)=-x^2+2x\) et la suite \( u\) récurrente fonctionnelle de fonction \( f\) où \( u_0=0,1\) .
Pour "voir" \( u_1\) il faut calculer l'image de \( u_0\) . Pour voir \( u_2\) il faut calculer l'image de \( u_1\) . Pour cela on va se servir de la droite \( y=x\) qui permet de projeter la valeur de \( u_1\) sur l'axe des abscisses. On continue ainsi de proche en proche pour construire cette représentation en escalier.
Lorsque la fonction \( f\) est décroissante on va plutôt avoir une représentation en escargot.
Quelque soit la configuration on observe assez rapidement que la limite, si elle existe, se rapproche du point d'intersection entre la courbe et la droite \( y=x\) .
Théorème
Soit \( u\) une suite récurrente fonctionnelle de fonction \( f\) continue. Si \( u\) admet une limite, cette limite est nécessairement une solution de l'équation \( x=f(x)\) .
Démonstration
Soit \( l\) la limite de \( u\) . Naturellement \( \lim\ u_n=l\) et \( \lim\ u_{n+1}=l\) et puisque \( f\) est continue en passant à la limite dans l'égalité \( u_{n+1}=f(u_n)\) on arrive à \( l=f(l)\) .
L'
inconvénient de ce théorème est qu'il permet de trouver la limite lorsque l'on a prouvé qu'elle existe. Ce résultat ne prouve en aucun cas que la limite existe.
Définition
Soient \( I=[a ; b]\subset \R\) un intervalle et \( f:I\rightarrow I\) une fonction. On dira que \( f\) est \( k\) -lipschitzienne s'il existe \( k\in \R^+_*\) tel que
\[\forall x, y \in I,\ |f(x)-f(y)|\leqslant k|x-y|\]
Par exemple la fonction \( f(x)=\dfrac{1}{x}\) définie sur l'intervalle \( \left[\dfrac{1}{2} ; 2\right]\) est \( 4\) -lipschitzienne. En effet
\begin{eqnarray*}
\left|f(x)-f(y)\right|
&=&\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|\\
&=&\left|\dfrac{y-x}{xy}\right|\\
&=&\dfrac{1}{|xy|}\left|x-y\right|\\
&\leqslant&4\left|x-y\right|
\end{eqnarray*}
Puisque \( x\geqslant \dfrac{1}{2}\) et \( y\geqslant \dfrac{1}{2}\) donc \( xy \geqslant \dfrac{1}{4}\) .
Théorème [Point fixe (Banach Picard - cas réel)]
Toute fonction \( k\) -lipschitzienne pour \( k\in]0 ; 1[\) admet un unique point fixe.
De plus toute suite récurrente fonctionnelle définie à partir de \( f\) admet ce point fixe pour limite.
Démonstration
Pour fixer les idées prenons \( I=[a ; b]\) pour \( a{<}b \in \R\) et \( f : I\rightarrow I\) .
Puisque \( f\) est définie de \( I\) sur \( I\) on a \( f(a)\in [a ; b]\) donc \( a\leqslant f(a)\leqslant b\) .
- Montrons qu'il existe un point fixe.
- Pour cela considérons \( g(x)=f(x)-x\) . Alors \( g(a)=f(a)-a\geqslant 0\) . Puisque \( f\) est \( k\) -lipschitzienne on a en particulier \( f(x)-f(a)\leqslant k(x-a)\) soit \( f(x)\leqslant k(x-a)+f(a)\) . De même \( f(x)-f(a)\geqslant -k(x-a)\) soit \( f(x)\geqslant -k(x-a)+f(a)\)
\begin{eqnarray*}
g(b)
&=&f(b)-b\\
&\leqslant &k(b-a)+f(a)-b\\
&\leqslant &\underbrace{(k-1)b}_{{<}0}\underbrace{-ka+f(a)}_{\leqslant 0}\\
\end{eqnarray*}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \( l\) tel que \( g(l)=0\) soit \( f(l)=l\) .
- Montrons l'unicité du point fixe.
- Soit \( l_1\) et \( l_2\) deux points fixe alors \( |l_1-l_2|=|f(l_1)-f(l_2)|\leqslant k |l_1-l_2|\) . Or \( k\in ]0 ; 1[\) donc nécessairement \( |l_1-l_2|=0\) et \( l_1=l_2\) .
- Montrons que \( u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers le point fixe \( l\)
- . Pour cela nous allons démontrer par récurrence que \( |u_n-l|\leqslant k^n|u_0-l|\) le cas initial étant trivial.
\begin{eqnarray*}
|u_{n+1}-l|
&=&|f(u_n)-f(l)|\\
&\leqslant & k |u_n-l|\\
&\leqslant & k k^n|u_0-l|\\
&\leqslant & k^{n+1}|u_0-l|
\end{eqnarray*}
Ce qu'il fallait démontrer.
Si l'on passe à la limite dans cette inégalité, on trouve, puisque \( |k|{<}1\) , \( |u_n-l|\rightarrow 0\) et \( u_n\) tend vers \( l\) .
Théorème [Accroissements finis]
Soit \( f\) une fonction définie, continue, dérivable et à dérivé continue sur \( I\) . Les conditions suivantes sont équivalentes.
- \( (i)\)
- La fonction \( f\) est \( k\) -lipschitzienne.
- \( (ii)\)
- \( \forall x \in I, \ |f'(x)|\leqslant k\)
Démonstration
D'après le théorème des accroissements finis, quelque soit \( x\) et \( y\) réels de \( I\) , il existe \( c\in I\) tel que \( \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(c)\) .
Si \( f'(c)\leqslant k\) alors la fonction est \( k\) -lipschitzienne.
Si \( f\) est \( k\) -lipschitzienne alors \( f'(c)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\leqslant \dfrac{k(x-y)}{x-y}=k\) .
Par exemple considérons la suite \( u\) définie par \( u_0=0\) et \( u_{n+1}=\dfrac{cos(u_n)}{2}\) . Il s'agit d'une suite récurrente fonctionnelle pour \( f(x)=\dfrac{cos(x)}{2}\) définie sur \( \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) . Sur cet intervalle \( |f'(x)|=\left|\dfrac{-sin(x)}{2}\right|\leqslant \dfrac{1}{2}\) . La fonction est donc \( \dfrac{1}{2}\) -lipschitzienne. Elle converge vers l'unique point fixe solution de \( l=cos(l)\) (dont la valeur ne se prospecte qu'avec un ordinateur).
Application : suites arithmético-géométrique
Une suite arithmético-géométrique est une suite récurrente fonctionnelle pour \( f(x)=ax+b\) .
Supposons que \( |a|{<}1\) alors puisque \( f'(x)=a\) la fonction est \( k\) -lipschitzienne pour \( k{<}1\) et admet donc un unique point fixe solution de l'équation \( ax+b=x\) soit \( x=\dfrac{b}{1-a}\) . On retrouve donc ce que nous avons déjà établie sur les suites arithmético-géométrique.
