Suites arithmético-géométriques
Définition
On dira qu'une suite est arithmético-géométrique si
\[\forall n \in\N,\ u_{n+1}=au_n+b\]
pour des nombres réels \( a\) et \( b\) ne dépendant pas de \( n\) .
Dans ce cas le couple de nombre réel \( (a, b)\) est appelé la raison de la suite.
Dans le cas ou \( a=1\) on retrouve une suite arithmétique et si \( b=0\) on retrouve une suite géométrique.
Proposition
Soit \( u\) une suite arithmético-géométrique de raison \( (a,b)\) tel que \( a\neq1\) alors pour tout \( n\in \mathbb{N}\) , \[u_n=a^n\left(u_0-x\right)+x\]
où \( x\) est la solution de l'équation \( x=ax+b\) .
Démonstration
D'une part \( u_{n+1}=au_n\) et d'autre par \( x=ax+b\) . En faisant la différence des deux égalités on a \( (u_{n+1}-x)=a(u_n-x)\) . Soit en posant \( v_n=u_n-x\) , \( v_{n+1}=av_n\) et \( v_n\) est une suite géométrique. Sa forme explicite est donc \( v_n=a^nv_0\) soit encore \( u_n-x=a^n(u_0-x)\) .
Corollaire
Soit \( u\) une suite arithmético-géométrique de raison \( (a,b)\) . Si \( u_0=\dfrac{b}{1-a}\) alors la suite est constante. Sinon :
- Si \( |a|{<}1\)
- alors \( lim\ u_n=\dfrac{b}{1-a}\) .
- Si \( a\leqslant -1\)
- alors \( u\) n'admet pas de limite.
- Si \( a{>}1\)
- alors \( u\) tend vers l'infini, le signe étant déterminé par le signe de \( u_0-\dfrac{b}{1-a}\) .
- Si \( a=1\) et \( b{>}0\)
- alors \( u\) tend vers \( +\infty\) .
- Si \( a=1\) et \( b=0\)
- alors \( u\) tend vers \( u_0\) .
- Si \( a=1\) et \( b{<}0\)
- alors \( u\) tend vers \( -\infty\) .
Démonstration
Cela découle du théorème sur les limites des suites géométrique. Seul le cas \( a=1\) reste à démontrer. Mais si \( a=1\) alors la suite arithmético-géométrique est une suite arithmétique de raison \( b\) . La preuve de ce corollaire se déduit alors du théorème sur les limites des suites arithmétiques.
Remarque
Pour résumer : posons \( x=\dfrac{b}{1-a}\) alors si \( u_0=x\) alors \( u_n=x\) pour tout \( n\) . Sinon :
*Cst : Constante
En particulier dans l'exemple de l'introduction avec la suite \( u_{n+1}=2u_n+1\) . Puisque \( a=2{>}1\) on en déduit que la suite tend vers \( +\infty\) .
Considérons par exemple la suite définie par \( u_0=0\) et \( u_{n+1}=2u_n+1\) . C'est, par définition une suite arithmético-géométrique. La solution de l'équation \( x=2x+1\) est \( -1\) . D'après le théorème \( v_n=u_n-(-1)\) est une suite arithmétique. Sans appliquer machinalement les formules on observe :
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}
&=&u_{n+1}+1\\
&=&2u_n+1+1\\
&=&2u_n+2\\
&=&2(u_n+1)\\
&=&2v_n
\end{eqnarray*}
ce qui prouve bien que \( v_n\) est une suite géométrique de raison \( 2\) donc \( v_n=v_02^n\) où \( v_0=u_0+1=0+1=1\) . Soit \( v_n=2^n\) soit encore \( u_n+1=2^n\) et en conclusion \( u_n=2^n-1\) .