\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Sommations finies

Indices

On rappel que pour tout $ a\leqslant b$ , on note $ \intEFF{a}{b}$ l'intervalle des nombres entiers entre $ a$ et $ b$ . Comme pour les nombres réels on adoptera les notations de bornes incluses ou non ($ \intEFO{a}{b}$ , $ \intEOF{a}{b}$ et $ \intEOO{a}{b}$ ) On rappel qu'une bijection de $ E$ sur $ F$ est la donnée d'une application $ \varphi : E\rightarrow F$ tel qu'il existe $ \psi : F\rightarrow E$ tel que pour
$ (i)$ .
$ \forall e\in E$ , $ \psi(\varphi(e))=e$ .

$ (ii)$ .
$ \forall f\in F$ , $ \varphi(\psi(f))=f$ .
On dit que $ \psi$ est la bijection réciproque.

Définition


Un sous-ensemble d'un référentiel quelconque qui peut être mis en bijection avec un sous-ensemble de $ \Z$ est un ensemble d'indice
Par exemple $ \{-1 ; 7; 9\}$ est un ensemble d'indice. Dans la pratique les ensembles d'indices sont les sous-ensembles de $ \Z$ de la forme $ \intEFF{a}{b}$ ou $ \intEFO{a}{b}$ lorsque $ b=+\infty$ .

Lemme


L'ensemble des entiers naturel $ \N$ est un ensemble d'indice.

Démonstration

On montre que les deux applications suivantes sont des bijections réciproques l'une de l'autre : \begin{eqnarray*} \varphi : \N&\longrightarrow&\Z\\ n&\longmapsto&\left\{ \begin{array}{ll} -\dfrac{n}{2}, &\text{si $ n$ est paire}\\ \dfrac{n+1}{2}, &\text{sinon} \end{array} \right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \psi : \Z&\longrightarrow&\N\\ x&\longmapsto&\left\{ \begin{array}{ll} -2x, &\text{si $ x\leqslant 0$ }\\ 2x-1, &\text{sinon} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

Proposition


L'union, l'intersection, le complémentaire et le produit cartésien (fini) d'ensembles d'indice est un ensemble d'indice.

Démonstration

L'union, l'intersection et le complémentaire de sous-ensembles de $ \Z$ est un sous-ensemble de $ \Z$ , ce qui permet de construire des bijections aisément pour arriver à la définition. D'après le lemme précédent, il suffit de montrer que $ \N\times \N$ est un ensemble d'indice ce qui permettra de prouver que tout sous-ensemble de $ \N\times \N$ est un ensemble d'indice donc tout sous-ensemble de $ \Z\times \Z$ et a fortiori les sous-ensembles de la forme $ I\times J$ . Pour cela on numérote les éléments de $ \N\times \N$ en diagonale ce qui permet d'associé à chaque point du réseau $ \N\times \N$ une valeur entière et réciproquement.
Image généré en TiKz adaptée par ataraXy

Définition


Soit $ I$ un ensemble d'indice. Une suite réelle $ u$ indexée par $ I$ est la donnée d'une application de $ I$ sur $ \R$ . Pour tout $ i\in I$ on appel $ i$ -ème terme de $ u$ , noté $ u_i$ l'image de $ i$ par $ u$ .
En d'autre terme, à chaque indice on associe une valeur réelle. Les suites indexées par $ \intEFO{0}{+\infty}$ sont les suites numériques classiques.

Définition


Soit $ u$ une suite indexée par un ensemble d'indice $ I$ . On note $$\sum_{i\in I}u_i$$ la sommation de tous les termes la suite $ u$ .
Par exemple si $ I=\intEFF{1}{3}$ et $ u=(2, -7, \pi)$ alors $ \dpl{\sum_{i\in I}u_i}=2+(-7)+\pi=-5+\pi$ .

Définition [Troncature]


Soient $ I$ un ensemble d'indice et $ J\subseteq I$ . On note $ u_{|J}$ la restriction de $ u$ à $ J$ . $$\forall j\in J,\ u_{|J}(j)=u(j)$$
Pour ne pas alourdir les notations et lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté on notera simplement $ u$ la restriction de $ u$ à $ J$ . Si par exemple $ I=\intEFF{0}{5}$ , $ u=(9, 6, 1, 0, 1, 7)$ et $ J=\{0; 2; 4\}$ alors $ u_{|J}=(9, 1, 1)$ .

Remarque

La variable de sommation est dites muette : elle n'intervient pas dans le résultat de la sommation mais dans sa formulation. Ainsi $ \dpl{\sum_{i\in I}\alpha_i=\sum_{j\in I}\alpha_j=\sum_{k\in I}\alpha_k=\sum_{truc\in I}\alpha_{truc}}$ .

Propriétés de la sommation

A partir de maintenant et jusqu'à la fin du chapitre, les ensembles d'indices sont tous de cardinalité finie.

Proposition


Soient $ I$ et $ J$ des ensembles d'indices, $ \alpha$ une suite de nombres réelles indexées par $ I\cup J$ .
$ (i)$ .
Si $ I\cap J=\varnothing$ , $ \dpl{\sum_{k\in I\cup J}\alpha_k=\sum_{i\in I}\alpha_i+\sum_{j\in J}\alpha_j}$ .

$ (ii)$ .
$ \dpl{\sum_{k\in I\cup J}\alpha_k=\sum_{i\in I}\alpha_i+\sum_{j\in J}\alpha_j-\sum_{l\in I\cap J}\alpha_l}$ .

Démonstration

Notons $ I=\{i_1, \ldots, i_N\}$ et $ J=\{j_1,\ldots, j_M\}$ alors $ I\cup J=\{i_1, \ldots, i_N, j_1, \ldots, j_M\}$ dans ce cas $$\sum_{k\in I\cup J}\alpha_k=\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_N}+\alpha_{j_1}+\cdots+\alpha_{j_M}=\sum_{i\in I}\alpha_i+\sum_{j\in J}\alpha_j$$ Si $ I\cap J\neq \varnothing$ , notons $ I\cap J=\{k_1, \ldots, k_R\}$ alors $ I=\{i_1, \ldots, i_N, k_1,\ldots, k_R\}$ et $ J=\{j_1,\ldots, j_M, k_1, \ldots, k_R\}$ . Nous avons alors : \begin{eqnarray*} \sum_{i\in I}\alpha_i+\sum_{j\in J}\alpha_j-\sum_{l\in I\cap J}\alpha_l&=&\left(\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_N}+\alpha_{k_1}+\cdots+\alpha_{k_R}\right)\\ &&+ \left(\alpha_{j_1}+\cdots+\alpha_{j_M}+\alpha_{k_1}+\cdots+\alpha_{k_R}\right)\\ &&-\left(\alpha_{k_1}+\cdots+\alpha_{k_R}\right)\\ &=&\left(\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_N}\right)+\left(\alpha_{j_1}+\cdots+\alpha_{j_M}\right)+\left(\alpha_{k_1}+\cdots+\alpha_{k_R}\right)\\ &=&\sum_{l\in I\cup J}\alpha_l \end{eqnarray*}

Corollaire


Soit $ (\alpha_i)_{i\in I}$ une suite de nombres réelles indexées par un ensemble d'indice $ I$ . $$\sum_{i\in \varnothing}\alpha_i=0$$

Démonstration

D'après le point $ (i)$ du précédent résultat nous avons : $$\sum_{i\in I}\alpha_i=\sum_{i\in I\cup \varnothing}\alpha_i=\sum_{i\in I}\alpha_i+\sum_{i\in \varnothing}\alpha_i$$ d'où le résultat.

Théorème [Linéarité]


Soient $ I$ un ensemble d'indice, $ \alpha$ et $ \beta$ des suites de nombres réelles indexées par $ I$ et $ \lambda\in \R$ .
$ (i)$ - Commutativité.
$ \dpl{\sum_{i\in I}(\alpha_i+\beta_i)=\sum_{i\in I}\alpha_i+\sum_{i\in I}\beta_i}$ .

$ (ii)$ - Distributivité.
$ \dpl{\sum_{i\in I}\lambda\alpha_i=\lambda\sum_{i\in I}\alpha_i}$ .

Démonstration

Il s'agit d'un reformulation de la commutativité de l'addition ($ a+b=b+a$ ) et de la distributivité dans $ \R$ ($ \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b$ ).

Théorème [Fubini]


Soit $ \alpha$ une suite de nombre réelles indexées par un ensemble de la forme $ I\times J$ pour deux ensembles d'indices $ I$ et $ J$ .
$ (iii)$ - Associativité.
$ \dpl{\sum_{(i, j)\in I\times J}\alpha_{(i, j)}=\sum_{i\in I}\left(\sum_{j\in J}\alpha_{(i, j)}\right) =\sum_{j\in J}\left(\sum_{i\in I}\alpha_{(i, j)}\right)}$ .

Démonstration

Il s'agit de la reformulation de l'associativité de la l'addition ($ (a+b)+c=a+(b+c)$ ).

Théorème [Changement de variable]


Soit $ \varphi:J\rightarrow I$ une bijection entre deux ensembles d'indices et $ \alpha$ une suite de nombres réelles indexées par $ I$ . $$\dpl{\sum_{i\in I}\alpha_i}=\sum_{j\in J}\alpha_{\varphi(j)}$$

Démonstration

Numérotons les éléments de $ I$ et de $ J$ à l'aide de $ \varphi$ . Précisément, notons $ I=\left\{i_1, \ldots, i_N\right\}$ et $ J=\left\{j_1, \ldots, j_N\right\}$ (ils sont nécessairement de même cardinalité $ N$ car en bijection) de telle sorte que $ \varphi(j_k)=i_k$ . Alors \begin{eqnarray*} \sum_{j\in J}\alpha_{\varphi(j)}&=& \alpha_{\varphi(j_1)}+\cdots+\alpha_{\varphi(j_N)}\\ &=&\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_N}\\ &=&\sum_{i\in I} \alpha_i \end{eqnarray*}

Corollaire [Formule du produit]


Soient $ \alpha$ et $ \beta$ deux suites de nombres réelles respectivement indexées par $ I$ et $ J$ des ensembles d'indices. Si $ i\not\in I$ on convient que $ \alpha_i=0$ . De même si $ j\not\in J$ , $ \beta_j=0$ .
$ (iv).$
$ \dpl{\left(\sum_{i\in I}\alpha_{i}\right)\times\left(\sum_{j\in J}\beta_{j}\right)=\sum_{(i, j)\in I\times J}\gamma_{(i, j)}}$ où $ \gamma_{(i, j)}=\alpha_i\beta_j$ .

$ (v)$ .
Dans le cas où $ I=\intEFF{a}{n}$ et $ J=\intEFF{b}{m}$ pour des entiers $ a\leqslant n$ et $ b\leqslant m$ , $$\left(\sum_{i=a}^n\alpha_i\right)\times \left(\sum_{j=b}^m\beta_j\right)=\sum_{k=a+b}^{n+m}\gamma_k$$ où $ \dpl{\gamma_k=\sum_{i=a}^{k-b}\alpha_i\beta_{k-i}=\sum_{j=b}^{k-a}\alpha_{k-j}\beta_{j}}$ .

Démonstration

La première égalité est la réécriture de la somme. Seul le dernier point nécessite quelques détails. On a $ \intEFF{a}{n}\times\intEFF{b}{m}=X_{a+b}\cup X_{a+b+1}\cup X_{a+b+2}\cup\cdots X_{n+m}$ , où $ X_k=\{(i, j)\in \intEFF{a}{n}\times\intEFF{b}{m}| i+j=k\}$ . Naturellement si $ k\neq k'$ alors $ X_k\cap X_{k'}=\varnothing$ ; il ne peut, en effet, exister de couple $ (i,j)$ tel que $ i+j=k$ et $ i+j=k'$ lorsque $ k\neq k'$ . Ainsi : \begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=a}^n\alpha_i\right)\times \left(\sum_{j=b}^m\beta_j\right) &=&\sum_{(i, j)\in \intEFF{a}{n}\times\intEFF{b}{m}}\alpha_i\beta_j\\ &=&\sum_{(i, j)\in X_{a+b}}\alpha_i\beta_j+\sum_{(i, j)\in X_{a+b+1}}\alpha_i\beta_j+\cdots+\sum_{(i, j)\in X_{n+m}}\alpha_i\beta_j\\ &=&\sum_{k=a+b}^{n+m}\sum_{(i, j)\in X_{k}}\alpha_i\beta_j \end{eqnarray*} Or $ \varphi_k:\intEFF{a}{b-k}\rightarrow X_k$ , $ i\mapsto(i, k-i)$ est une bijection de sorte qu'en appliquant ce changement de variable on a $ \dpl{\sum_{(i, j)\in X_{k}}\alpha_i\beta_j=\sum_{i\in \intEFF{a}{b-k}}\alpha_i\beta_{k-i}}$ . De la même manière, la bijection $ \psi : \intEFF{b}{k-a}\rightarrow X_k$ prouve la seconde égalité.

Sommations classiques

Proposition


Somme de Gauss.
Soit $ n\in \N$ , $$\sum_{k=0}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}$$

Somme quadratique de Gauss.
Soit $ n\in \N$ , $$\sum_{k=0}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Somme des termes d'une suite géométrique.
Soient $ q\in \R-\{1\}$ et $ n\in \N$ , $$\sum_{k=0}^nq^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Binôme de Newton.
Soient $ a$ et $ b$ des nombres réels et $ n\in \N$ . $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$$ où $ C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomiale.

Démonstration

Ces résultats se démontrent par récurrence, ce que nous aborderons ultérieurement.