Finalement, à y regarder de plus prêt, lorsque l'on réalise les opérations de Gauss, le fait d'avoir ordonné les colonnes suivant les variables, il n'est pas nécessaire de réécrire les variables à chaque fois.
Il peut paraitre plus commode, lorsque l'on cherche à résoudre le système \(
\left\{
\begin{array}{ccccccl}
x&+&y&+&z&=&3\\
&&y&-&z&=&0\\
x&+&y&-&z&=&1
\end{array}
\right.
\) de ne garder
en mémoire que les coefficients et de ne réaliser les opérations de Gauss que sur eux.
En algèbre linéaire, on appel
matrice augmenté, ces informations. Ainsi la matrice augmenté de ce système est
\[\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&3\\
0&1&-1&0\\
1&1&-1&1
\end{array}
\right)\]
Intéressons nous de plus près aux
matrices.
Définition
Soient \( m\) et \( n\) deux entiers strictement positifs. Une matrice à \( n\) lignes et \( m\) colonnes à coefficient réel est la donnée d'un tableau \( A\) à \( n\) ligne et \( m\) colonne. On note les éléments de cette matrice \( a_{i,j}\) . Le premier indice correspondant à celui de la ligne et le second à celui de la colonne.
\[A=\left(a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}} =
\begin{pmatrix}
a_{1,1}&&\cdots&&a_{1,m}\\
\vdots&&\ddots&&\vdots\\
a_{n,1}&&\cdots&&a_{n,m}
\end{pmatrix}
\]
On note \( \M_{n,m}(\R)\) l'ensemble des matrices à \( n\) lignes et \( m\) colonnes à coefficient réels.
Lorsque \( m=n\) , on note simplement \( \M_n(\R)\) .
Par exemple
\(
\begin{pmatrix}
0&1&-3&5&-1\\
3&0&11&2&0
\end{pmatrix}
\in \M_{2,5}(\R)
\)
Il faut imaginer qu'une matrice est
un nombre réel mais en dimension supérieur.
Nous allons voir en particulier les liens qui existe entre la résolution de système linéaire et le langage matriciel.
Par exemple, résoudre le système
\(
\mathcal{S} = \left\{
\begin{array}{rcrcrcr}
3x&-&y&&&=&4\\
x&+&y&-&2z&=&-4\\
-x&+&2y&+&3z&=&3
\end{array}
\right.
\)
le langage matricielle permettra de le réécrire \( A.X=B\) où
\[A=
\begin{pmatrix}
3&-1&0\\
1&1&-2\\
-1&2&3
\end{pmatrix}, \quad
X=
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix},\quad
B=
\begin{pmatrix}
4\\
-4\\
3
\end{pmatrix}
\]
L'avantage de cette notation permet de revenir à une équation plus
simple. En effet, classiquement (c'est à dire avec des nombres réelles) résoudre \( ax=b\) est très facile. La solution est \( x=\dfrac{b}{a}\) que l'on peut encore noter \( x=a^{-1}b\) (simplement parce que \( \frac{b}{a}=\frac{1}{a}\times b=a^{-1}b\) ). Nous savons d'ailleurs que pour pouvoir écrire cette égalité il faut (et il suffit) que \( a\neq 0\) . Lorsque l'on travaille avec les matrices nous avons, comme pour les nombres réels, la même égalité à savoir que la solution du système \( \mathcal{S}\) est la solution de l'équation matricielle \( AX=B\) qui est \( X=A^{-1}B\) . Sauf que la condition \( A\neq 0\) n'est pas suffisante pour pouvoir affirmer que la solution existe. Un outil va nous permettre de nous rapprocher de ce formalisme (le déterminant).
Plaçons nous dans l'univers de matrices,
aka des nombres réels en dimension supérieurs et essayons d'imiter ce que nous savions faire avec les nombres réels.
Définition
Soient \( m\) et \( n\) des entiers strictement positifs. On considère les deux opérations suivantes :
\begin{eqnarray*}
+ : \M_{n,m}(\R)\times\M_{n,m}(\R) &\longrightarrow & \M_{n,m}(\R)\\
\left(\left(a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}},\left(b_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}\right)&\longmapsto& \left(a_{i,j}+b_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\cdot : \R\times\\M_{n,m}(\R) &\longrightarrow & \M_{n,m}(\R)\\
\left(\lambda,\left(a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}\right)&\longmapsto& \left(\lambda a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}
\end{eqnarray*}
Définition
Soit \( n\in \N_{{>}0}\) .
- \( (i)\) .
- Les éléments de \( \R^n\) s'identifie à \( \M_{n,1}(\R)\) et sont appelés des vecteurs colonnes ou tout simplement vecteur.
- \( (ii)\) .
- Les éléments de \( \M_{1,n}(\R)\) sont appelés des vecteurs lignes.
- \( (iii)\) .
- Soit \( \overrightarrow{x}\in \R^n\) . On appelle \( i\) -ème coordonné de \( \overrightarrow{x}\) le nombre réel correspondant au coefficient, noté \( \overrightarrow{x}_i=\overrightarrow{x}_{i,1}\) , de \( \overrightarrow{x}\in \M_{n,1}(\R)\) de la \( i\) -ème ligne et première colonne.
Définition
Soient \( m\) , \( n\) et \( p\) des entiers strictement positifs et \( A\in \M_{n,m}(\R)\) et \( B\in \M_{m,p}(\R)\) . On définit le produit de \( A B\) par
\[
A B =\left(\sum_{k=1}^ma_{i,k}b_{k,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;p]\!]}}
\]
Par exemple si
\( A=\begin{pmatrix}
0&1&-1\\
1&1&-1
\end{pmatrix}
\) et
\( B=\begin{pmatrix}
0&1&-1&0\\
1&1&-1&-3\\
1&0&2&0
\end{pmatrix}
\) alors
\(
A\cdot B =
\begin{pmatrix}
0&1&-3&-3\\
0&2&-4&-3
\end{pmatrix}
\)
Remarque
Dans \( \M_n(\R)\) le produit des matrices n'est pas usuelle. Pour commencer il n'est pas commutatif, c'est à dire qu'il est plutôt rare d'avoir \( AB=BA\) . De plus il n'est pas intègre, c'est à dire que \( AB=0\) sans que \( A=0\) ni \( B=0\) . On pourra se convaincre de ces deux fait en choisissant \( A=\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}\) et
\(
B=\begin{pmatrix}
1&1\\
-1&-1
\end{pmatrix}
\)
Exercice
Considérons les quatre matrices suivantes. Parmi les opérations proposées, réaliser celles qui sont possibles. Marquer
IMPOSSIBLE lorsque l'opération n'est pas définie. Aucune justification n'est attendue.
\[ A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad, B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 2 & 2\end{pmatrix}\qquad, C=\begin{pmatrix}-2 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0\end{pmatrix}\qquad, D=\begin{pmatrix}0 & 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\qquad\]
- \( CDA \)
- \( A+C \)
- \( BDA \)
- \( ADC \)
- \( DC \)
- \( BDC \)
Définition
On appel matrice identité de \( \M_n(\R)\) , notée \( Id_n\) , la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux sur la diagonale qui valent 1.
\[
Id_n =\begin{pmatrix}
1&0&&\cdots&&0\\
0&1&0&\cdots&&0\\
&&&&&\\
\vdots&&&\ddots&0&\vdots\\
&&&0&1&0\\
0&\cdots&&&0&1
\end{pmatrix}
\]
Proposition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) , \( A\) , \( B\) et \( C\) des matrices de \( \M_n(\R)\) et \( \lambda\in \R\) .
- \( (i)\) .
- \( AId_n=Id_nA=A\)
- \( (ii)\) .
- \( A(BC)=(AB)C\)
- \( (iii)\) .
- \( A(B+C)=AB+AC\)
- \( (iv)\) .
- \( (A+B)C=AC+BC\)
- \( (v)\) .
- \( \lambda A B=A\lambda B\)
Démonstration
Triviale.
Exercice
Reprenez l'exemple de l'introduction. Notons \( U_n=\begin{pmatrix}
L_n\\R_n
\end{pmatrix}\) . Déterminez une matrice \( A\) tel que \( U_{n+1}=AU_n\) .
Calculez \( A^2\) , \( A^3\) et essayer de trouver une formule pour l'expression de \( A^n\) pour tout \( n\in \N\) .
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) . On appelle transposée de \( A\) , la matrice noté \( {}^tA\) et définie par
\[\forall i, j \in [\![1;n]\!], \quad {\vphantom{A}}^{t}{A}_{i,j}=A_{j,i}\]
En définitive la transposé d'une matrice est la même matrice où les lignes et les colonnes sont inversées.
Par exemple \(
{\vphantom{
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
9&0&4\\
-1&1&1
\end{pmatrix}
}}^{t}{
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
9&0&4\\
-1&1&1
\end{pmatrix}
}
=
\begin{pmatrix}
1&9&-1\\
2&0&1\\
3&4&1
\end{pmatrix}
\)
Proposition
\[{\vphantom{(AB)}}^{t}{(AB)}={\vphantom{B}}^{t}{B}{\vphantom{A}}^{t}{A}\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
{\vphantom{(AB)}}^{t}{(AB)}_{i, j}
&=&(AB)_{j, i}\\
&=&\sum_{k=1}^n A_{j, k}B_{k, i}\\
&=&\sum_{k=1}^n {\vphantom{A}}^{t}{A}_{k, j}{\vphantom{B}}^{t}{B}_{i, k}\\
&=&\sum_{k=1}^n {\vphantom{B}}^{t}{B}_{i, k}{\vphantom{A}}^{t}{A}_{k, j}\\
&=&({\vphantom{B}}^{t}{B}{\vphantom{A}}^{t}{A})_{i, j}
\end{eqnarray*}
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\) une matrice de \( \M_n(\R)\) . On dira que \( A\) est inversible si il existe \( B\in \M_n(\R)\) tel que
\[AB=BA=Id_n\]
Cette définition ne garantie pas qu'un inverse existe. Il s'agit simplement d'une définition. Nous verrons, par l'intermédiaire du
déterminant, un critère nécessaire et suffisant pour déterminer un inverse matricielle.
Proposition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\) une matrice de \( \M_n(\R)\) . Si \( A\) est inversible alors l'inverse est unique.
Démonstration
Soit \( B_1\) et \( B_2\) deux inverses alors
\[B_1=B_1Id_n=B_1(AB_2)=(B_1A)B_2=Id_nB_2=B_2\]
Proposition
\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]
Démonstration
On a
\[
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}Id_nB=B^{-1}B=Id_n
\]
Ainsi par unicité de l'inverse
\( (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
Proposition
Si \( A\) est inversible alors \( {\vphantom{A}}^{t}{A}\) aussi. De plus
\[({\vphantom{A}}^{t}{A})^{-1}={\vphantom{A^{-1}}}^{t}{A^{-1}}\]
Démonstration
\[
Id_n
={\vphantom{Id_n}}^{t}{Id_n}
={\vphantom{AA^{-1}}}^{t}{AA^{-1}}
={\vphantom{A^{-1}}}^{t}{A^{-1}}{\vphantom{A}}^{t}{A}
\]
Par unicité de l'inverse on a donc \( {\vphantom{(A^{-1})}}^{t}{(A^{-1})}={\vphantom{A}}^{t}{A}^{-1}\)
