\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


Notons \( r \) , \( H \) , \( \Pi\) et \( \Lambda\) les signaux respectifs rampe, Heavyside, porte et triangle. Les signaux ci-dessous sont données soit par leur représentation cartésienne soit par leur expréssion algébrique.
    1. Le signal \( s_{1} \) ci-dessous est une transformation du signal triangle. Représentez ce signal dans le repère ci-contre \[ s_{1}(t)=2\Lambda\left(\dfrac{1}{2}\left(t-1\right)\right)-1\]
    2. Le signal \( s_{2} \) ci-contre est une transformation du signal heavyside. Donner son expression algébrique :
    3. Le signal \( s_{3} \) ci-contre est une transformation du signal heavyside. Donner son expression algébrique :
    4. Le signal \( s_{4} \) ci-contre est une transformation du signal heavyside. Donner son expression algébrique :
    5. Le signal \( s_{5} \) ci-dessous est une transformation du signal triangle. Représentez ce signal dans le repère ci-contre \[ s_{5}(t)=2\Lambda(t)+2\]
  1. Quelles transformations le signal porte. a-t-il subies pour obtenir les signaux ci-dessous ? Compléter le tableau comme dans la première ligne. \[ \begin{array}{|l|*{4}{|c}|} \hline \text{Pour obtenir \( u_i \) le} & \text{Avancé (A)}& \text{Amplifié (Am)} & \text{Dilaté (D)} & \text{Offset}\\ \text{signal porte a été} & \text{Retardé (R)}& \text{Atténué (Att)} & \text{Compréssé (C)} & \\\hline\hline u_{1}(t) = 2\Pi\left(t+1\right)-2 & (A)\ 1 & (Am)\ 2 & \times & -2\\\hline u_{2}(t) = 3\Pi\left(\dfrac{1}{2}\left(t-1\right)\right)+2 & & & &\\\hline u_{3}(t) = \Pi\left(t-2\right)+1 & & & &\\\hline u_{4}(t) = \Pi\left(\dfrac{1}{2}t-1\right)+1 & & & &\\\hline u_{5}(t) = 2\Pi\left(t+1\right) & & & &\\\hline u_{6}(t) = \dfrac{1}{2}\Pi\left(\dfrac{1}{3}t+\frac{2}{3}\right)+1 & & & &\\\hline \end{array} \]
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Exercice


    1. Le signal \( s_{1} \) ci-dessous est une transformation du signal triangle. Représentez ce signal dans le repère ci-contre \[ s_{1}(t)=2\Lambda\left(\dfrac{1}{2}\left(t-1\right)\right)-1\]
    2. Le signal \( s_{2} \) ci-contre est une transformation du signal heavyside. Donner son expression algébrique : \[ s_{2}(t)=3H\left(t-2\right)-2\]
    3. Le signal \( s_{3} \) ci-contre est une transformation du signal heavyside. Donner son expression algébrique : \[ s_{3}(t)=2H\left(t-2\right)+1\]
    4. Le signal \( s_{4} \) ci-contre est une transformation du signal heavyside. Donner son expression algébrique : \[ s_{4}(t)=2H\left(t-1\right)-2\]
    5. Le signal \( s_{5} \) ci-dessous est une transformation du signal triangle. Représentez ce signal dans le repère ci-contre \[ s_{5}(t)=2\Lambda(t)+2\]
  1. \[ \begin{array}{|l|*{4}{|c}|} \hline \text{Pour obtenir \( u_i \) le} & \text{Avancé (A)}& \text{Amplifié (Am)} & \text{Dilaté (D)} & \text{Offset}\\ \text{signal porte a été} & \text{Retardé (R)}& \text{Atténué (Att)} & \text{Compréssé (C)} & \\\hline\hline u_{1}(t) = 2\Pi\left(t+1\right)-2 & (A)\ 1 & (Am)\ 2 & \times & -2\\\hline u_{2}(t) = 3\Pi\left(\dfrac{1}{2}\left(t-1\right)\right)+2 & (R)\ 1 & (Am)\ 3 & (D)\ 2 & 2\\\hline u_{3}(t) = \Pi\left(t-2\right)+1 & (R)\ 2 & \times & \times & 1\\\hline u_{4}(t) = \Pi\left(\dfrac{1}{2}t-1\right)+1 & (R)\ 2 & \times & (D)\ 2 & 1\\\hline u_{5}(t) = 2\Pi\left(t+1\right) & (A)\ 1 & (Am)\ 2 & \times & 0\\\hline u_{6}(t) = \dfrac{1}{2}\Pi\left(\dfrac{1}{3}t+\frac{2}{3}\right)+1 & (A)\ 2 & (Att)\ 2 & (D)\ 3 & 1\\\hline \end{array} \]