-
Notons ce code secret $ mcdu $ , les quatres variables représentants respectivement les milliers, les centaines, les dizaines et les unités du code. Les quatres informations données se traduisent alors comme suit :
- La somme des chiffres qui composent ce code est $ 26$ : $ m+c+d+u=26$ .
- Le chiffre des dizaines est le double de celui des milliers : $ d=2m $ .
- La différence entre les chiffres des centaines et celui des unités est $ -2$ : $ c-u = -2$ .
- $ 24$ fois le chiffre des centaines est $ 18$ fois celui des dizaines : $ 24c=18d$ .
Soit le système $$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&26\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&24c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.$$
Son écriture matricielle $ AX=B $ pour
$$ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 24 & -18 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}26 \\ 0 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X=\begin{pmatrix}m\\ c\\ d\\ u\end{pmatrix}$$
La valeur d'un déterminant ne change pas lorsque l'on ajoute à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres. Ainsi l'opération $ L_2\leftarrow L_2-2L_1$ justifie la première égalité puis en développant par rapport à la première colonne, on justifie la seconde égalité.
$$\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 24 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 24 & -18 & 0\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 24 & -18 & 0\end{pmatrix}$$
De même, l'opération $ C_3\leftarrow C_3+C_1$ justifie la première égalité ; le développement par rapport à la seconde ligne justifie la seconde.
$$\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 24 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 24 & -18 & 24\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 24\end{pmatrix}$$
D'après la question précédente $ \det(A)=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 24\end{pmatrix}$ . En appliquant la règle du gamma on en déduit $ \det(A)=-\left((-3)\times24-(-4)\times(-18)\right)=144$ .
D'après la question précédente, puisque $ \det(A)\neq 0$ alors la matrice $ A $ est inversible et la solution $ X $ vérfie $ X=A^{-1}B$ . En appliquant la formule de l'inverse (par la transposée de la comatrice), on arrive à
$$ X = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{72} \\ \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{48} \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{36} \\ \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} & -\dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{48}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}26 \\ 0 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 8 \\ 8\end{pmatrix}$$
Autre méthode en appliquant l'algorithme de Gauss (un oeil agueri retrouvera les opérations élémentaires appliquées à chaque itérations) :
$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&26\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&24c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&26\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-52\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&24c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&26\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-52\\
&&&24c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&26\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-56\\
&&&&&-18d&+&24u &=&48\\
\end{array}
\right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&26\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-56\\
&&&&&&&-144u&=&-1152\\
\end{array}
\right.$$
Finalement le code est $ 4688$