\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Voici les informations dont vous disposez sur un code secret composé de quatre chiffres :

    $ \rightarrow$
    La somme des chiffres qui composent ce code est $ 13$ .

    $ \rightarrow$
    Le chiffre des dizaines est le double de celui des milliers.

    $ \rightarrow$
    La différence entre les chiffres des centaines et celui des unités est $ 5$ .

    $ \rightarrow$
    $ 12$ fois le chiffre des centaines est $ 18$ fois celui des dizaines.
  1. Ecrire le système associé à ce problème. Justifier précisément votre réponse. Réécrire ce problème sous forme matricielle $ AX=B $ pour des matrices $ A $ , $ B $ et $ X $ que vous donnerez.
  2. Sans calculer les déterminants ci-dessous, comment justifier ces égalités ? Vous préciserez les opéarations élémentaires sur les lignes ou les colonnes qui ont pu être effectuées. $$\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 12 & -18 & 0\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 12\end{pmatrix}$$
  3. En déduire $ \det(A)$ .
  4. Quel est le code (vous utiliserez la méthode de votre choix, mais justifierez les calculs) ?
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. Notons ce code secret $ mcdu $ , les quatres variables représentants respectivement les milliers, les centaines, les dizaines et les unités du code. Les quatres informations données se traduisent alors comme suit :
    1. La somme des chiffres qui composent ce code est $ 13$ : $ m+c+d+u=13$ .
    2. Le chiffre des dizaines est le double de celui des milliers : $ d=2m $ .
    3. La différence entre les chiffres des centaines et celui des unités est $ 5$ : $ c-u = 5$ .
    4. $ 12$ fois le chiffre des centaines est $ 18$ fois celui des dizaines : $ 12c=18d$ .
    Soit le système $$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &m&+&c &+&d &+&u &=&13\\ &2m&&&-&d &&&=&0\\ &&&c&&&-&u &=&5\\ &&&12c&-&18d &&&=&0\\ \end{array} \right.$$ Son écriture matricielle $ AX=B $ pour $$ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}13 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X=\begin{pmatrix}m\\ c\\ d\\ u\end{pmatrix}$$
  2. La valeur d'un déterminant ne change pas lorsque l'on ajoute à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres. Ainsi l'opération $ L_2\leftarrow L_2-2L_1$ justifie la première égalité puis en développant par rapport à la première colonne, on justifie la seconde égalité. $$\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 12 & -18 & 0\end{pmatrix}$$ De même, l'opération $ C_3\leftarrow C_3+C_1$ justifie la première égalité ; le développement par rapport à la seconde ligne justifie la seconde. $$\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 12 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 12 & -18 & 12\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 12\end{pmatrix}$$
  3. D'après la question précédente $ \det(A)=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 12\end{pmatrix}$ . En appliquant la règle du gamma on en déduit $ \det(A)=-\left((-3)\times12-(-4)\times(-18)\right)=108$ .
  4. D'après la question précédente, puisque $ \det(A)\neq 0$ alors la matrice $ A $ est inversible et la solution $ X $ vérfie $ X=A^{-1}B$ . En appliquant la formule de l'inverse (par la transposée de la comatrice), on arrive à $$ X = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{9} & \dfrac{4}{9} & \dfrac{1}{9} & -\dfrac{1}{54} \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{36} \\ \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{36}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix}$$
Autre méthode en appliquant l'algorithme de Gauss (un oeil agueri retrouvera les opérations élémentaires appliquées à chaque itérations) : $$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &m&+&c &+&d &+&u &=&13\\ &2m&&&-&d &&&=&0\\ &&&c&&&-&u &=&5\\ &&&12c&-&18d &&&=&0\\ \end{array} \right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &m&+&c &+&d &+&u &=&13\\ &&&-2c&-&3d &-&2u &=&-26\\ &&&c&&&-&u &=&5\\ &&&12c&-&18d &&&=&0\\ \end{array} \right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &m&+&c &+&d &+&u &=&13\\ &&&c&&&-&u &=&5\\ &&&-2c&-&3d &-&2u &=&-26\\ &&&12c&-&18d &&&=&0\\ \end{array} \right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &m&+&c &+&d &+&u &=&13\\ &&&c&&&-&u &=&5\\ &&&&&-3d&-&4u &=&-16\\ &&&&&-18d&+&12u &=&-60\\ \end{array} \right.$$$$\left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &m&+&c &+&d &+&u &=&13\\ &&&c&&&-&u &=&5\\ &&&&&-3d&-&4u &=&-16\\ &&&&&&&-108u&=&-108\\ \end{array} \right.$$ Finalement le code est $ 2641$