Exercice
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Notons ce code secret \( mcdu \) , les quatres variables représentants respectivement les milliers, les centaines, les dizaines et les unités du code. Les quatres informations données se traduisent alors comme suit :
- La somme des chiffres qui composent ce code est \( 13\) : \( m+c+d+u=13\) .
- Le chiffre des dizaines est le double de celui des milliers : \( d=2m \) .
- La différence entre les chiffres des centaines et celui des unités est \( -2\) : \( c-u = -2\) .
- \( 6\) fois le chiffre des centaines est \( 12\) fois celui des dizaines : \( 6c=12d\) .
Soit le système \[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&13\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&6c&-&12d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]
Son écriture matricielle \( AX=B \) pour
\[ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & -12 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}13 \\ 0 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X=\begin{pmatrix}m\\ c\\ d\\ u\end{pmatrix}\]
La valeur d'un déterminant ne change pas lorsque l'on ajoute à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres. Ainsi l'opération \( L_2\leftarrow L_2-2L_1\) justifie la première égalité puis en développant par rapport à la première colonne, on justifie la seconde égalité.
\[\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & -12 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & -12 & 0\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 6 & -12 & 0\end{pmatrix}\]
De même, l'opération \( C_3\leftarrow C_3+C_1\) justifie la première égalité ; le développement par rapport à la seconde ligne justifie la seconde.
\[\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 6 & -12 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 6 & -12 & 6\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -12 & 6\end{pmatrix}\]
D'après la question précédente \( \det(A)=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -12 & 6\end{pmatrix}\) . En appliquant la règle du gamma on en déduit \( \det(A)=-\left((-3)\times6-(-4)\times(-12)\right)=66\) .
D'après la question précédente, puisque \( \det(A)\neq 0\) alors la matrice \( A \) est inversible et la solution \( X \) vérfie \( X=A^{-1}B\) . En appliquant la formule de l'inverse (par la transposée de la comatrice), on arrive à
\[ X = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{11} & \dfrac{5}{11} & \dfrac{1}{11} & -\dfrac{1}{33} \\ \dfrac{4}{11} & -\dfrac{2}{11} & \dfrac{4}{11} & \dfrac{1}{22} \\ \dfrac{2}{11} & -\dfrac{1}{11} & \dfrac{2}{11} & -\dfrac{2}{33} \\ \dfrac{4}{11} & -\dfrac{2}{11} & -\dfrac{7}{11} & \dfrac{1}{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13 \\ 0 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 2 \\ 6\end{pmatrix}\]
Autre méthode en appliquant l'algorithme de Gauss (un oeil agueri retrouvera les opérations élémentaires appliquées à chaque itérations) :
\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&13\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&6c&-&12d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&13\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-26\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&6c&-&12d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&13\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-26\\
&&&6c&-&12d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&13\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-30\\
&&&&&-12d&+&6u &=&12\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&13\\
&&&c&&&-&u &=&-2\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-30\\
&&&&&&&-66u&=&-396\\
\end{array}
\right.\]
Finalement le code est \( 1426\)