Exercice
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Notons ce code secret \( mcdu \) , les quatres variables représentants respectivement les milliers, les centaines, les dizaines et les unités du code. Les quatres informations données se traduisent alors comme suit :
- La somme des chiffres qui composent ce code est \( 18\) : \( m+c+d+u=18\) .
- Le chiffre des dizaines est le double de celui des milliers : \( d=2m \) .
- La différence entre les chiffres des centaines et celui des unités est \( 1\) : \( c-u = 1\) .
- \( 6\) fois le chiffre des centaines est \( 24\) fois celui des dizaines : \( 6c=24d\) .
Soit le système \[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&18\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&1\\
&&&6c&-&24d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]
Son écriture matricielle \( AX=B \) pour
\[ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & -24 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X=\begin{pmatrix}m\\ c\\ d\\ u\end{pmatrix}\]
La valeur d'un déterminant ne change pas lorsque l'on ajoute à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres. Ainsi l'opération \( L_2\leftarrow L_2-2L_1\) justifie la première égalité puis en développant par rapport à la première colonne, on justifie la seconde égalité.
\[\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & -24 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & -24 & 0\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 6 & -24 & 0\end{pmatrix}\]
De même, l'opération \( C_3\leftarrow C_3+C_1\) justifie la première égalité ; le développement par rapport à la seconde ligne justifie la seconde.
\[\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 6 & -24 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 6 & -24 & 6\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -24 & 6\end{pmatrix}\]
D'après la question précédente \( \det(A)=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -24 & 6\end{pmatrix}\) . En appliquant la règle du gamma on en déduit \( \det(A)=-\left((-3)\times6-(-4)\times(-24)\right)=114\) .
D'après la question précédente, puisque \( \det(A)\neq 0\) alors la matrice \( A \) est inversible et la solution \( X \) vérfie \( X=A^{-1}B\) . En appliquant la formule de l'inverse (par la transposée de la comatrice), on arrive à
\[ X = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{19} & \dfrac{9}{19} & \dfrac{1}{19} & -\dfrac{1}{57} \\ \dfrac{8}{19} & -\dfrac{4}{19} & \dfrac{8}{19} & \dfrac{1}{38} \\ \dfrac{2}{19} & -\dfrac{1}{19} & \dfrac{2}{19} & -\dfrac{2}{57} \\ \dfrac{8}{19} & -\dfrac{4}{19} & -\dfrac{11}{19} & \dfrac{1}{38}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}18 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 8 \\ 2 \\ 7\end{pmatrix}\]
Autre méthode en appliquant l'algorithme de Gauss (un oeil agueri retrouvera les opérations élémentaires appliquées à chaque itérations) :
\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&18\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&1\\
&&&6c&-&24d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&18\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-36\\
&&&c&&&-&u &=&1\\
&&&6c&-&24d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&18\\
&&&c&&&-&u &=&1\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-36\\
&&&6c&-&24d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&18\\
&&&c&&&-&u &=&1\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-34\\
&&&&&-24d&+&6u &=&-6\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&18\\
&&&c&&&-&u &=&1\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-34\\
&&&&&&&-114u&=&-798\\
\end{array}
\right.\]
Finalement le code est \( 1827\)