\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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En ville, la vitesse est limitée à $ 50km/h$ . Les autorités effectuent une enquête dans une zonne où il semble y avoir des exces de vitesse. Un dispositif est mis en place pour mesurer les dépassements de vitesse. Le tableau ci-dessous indique les résultats de cette enquête. $$ \begin{array}{|r|*{11}{|c}|} \hline \text{Dépassement de la vitesse autorisée en }km/h& 5& 6& 7& 8& 9& 12& 13& 14& 17& 19& 20\\\hline\text{Nombre de véhicule}& 11& 8& 11& 10& 13& 8& 18& 8& 14& 10& 14\\\hline\text{Effectifs cumulés croissants}& & & & & & & & & & & \\\hline \end{array} $$
    1. Complétez le tableau ci-dessus avec les effectifs cumulés croissants.
    2. Complétez le tableau ci-dessous en justifiant soigneusement. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Moyenne} & \text{Etendue} & \text{Premier quartile} & \text{Médiane} & \text{Troisième quartile}\\\hline & & & & \\\hline \end{array} $$
    3. Combien de mesure appartiennent à l'intervalle $ [7 ; 10]$ .
    4. Quelle est la fréquence des véhicules qui ont dépassé de $ 7 km/h$ la vitesse autorisée ? Vous arrondirez le résultat à $ 0.1\%$ près.
    5. Quelle est la fréquence des véhicules qui ont dépassé de $ 8 km/h$ ou moins la vitesse autorisée ? Vous arrondirez le résultat à $ 0.1\%$ près.
  1. Des aménagements urbains destinées à ralentir les véhicules et à prévenir les conducteurs sont mis en place. Quelques temps après, on effectue une nouvelle étude sur $ 200$ véhicules en excès de vitesse. On obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Minimum} & \text{Premier quartile} & \text{Médiane} & \text{Troisième quartile} & \text{Maximum}\\\hline 1&9& 11&13& 20\\\hline \end{array} $$ Utiliser ce tableau affin de déterminer, pour chacune des propositions suivantes, si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est attendue. $$ \begin{array}{|l|cc|} \hline \text{L'étendue des excès de vitesse relevés a été réduite grâce aux amènagement de sécurité.} & VRAI & FAUX\\\hline \text{Exactement le quart des automobilistes en excès de vitesse dépassent de plus de 11 km/h.} & VRAI & FAUX\\\hline \text{Au moins 75\% des excès de vitesse sont des dépassement inférieur ou égaux à 13 km/h.} & VRAI & FAUX\\\hline \text{Au moins 50\% des excès de vitesse sont des dépassement }d\text{ vérifiant }d\in [6 ; 10]. & VRAI & FAUX\\\hline \end{array} $$
  2. La moyenne des $ 200$ véhicules précédents en excès de vitesse s'élevait à $ 9.9km/h$ . Calculer la moyenne des dépassements de la vitesse autorisée sur l'ensemble des $ 325$ excès relevés.
Cliquer ici pour afficher la solution
    1. $$ \begin{array}{|r|*{11}{|c}|} \hline \text{Dépassement de la vitesse autorisée en }km/h& 5& 6& 7& 8& 9& 12& 13& 14& 17& 19& 20\\\hline\text{Nombre de véhicule}& 11& 8& 11& 10& 13& 8& 18& 8& 14& 10& 14\\\hline\text{Effectifs cumulés croissants}& 11& 19& 30& 40& 53& 61& 79& 87& 101& 111& 125\\\hline \end{array} $$
    2. Complétez le tableau ci-dessous en justifiant soigneusement. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Moyenne} & \text{Etendue} & \text{Premier quartile} & \text{Médiane} & \text{Troisième quartile}\\\hline 12.216 &15& 7 & 12 & 14 \\\hline \end{array} $$ En effet $ Moyenne=\dfrac{ 5\times11+6\times8+7\times11+8\times10+9\times13+12\times8+13\times18+14\times8+17\times14+19\times10+20\times14 }{125}=12.216 $ $ etendue=20-5=15$ . Le quart de l'effectif vaut $ 31.25$ donc le premier quartile correspond à la modalité $ 7$ . La moitié de de l'effectif vaut $ 62.5$ donc la médiane correspond à la modalité $ 12$ . Les trois quart de l'effectif vaut $ 93.75$ donc le troisième quartile correspond à la modalité $ 14$ .
    3. Il suffit d'additionner les effectifs des modalités entre $ 7$ et $ 10$ ce qui donne $ 34$ .
    4. La fréquence de la modalité $ 7$ est l'effectif de cette modalité divisé par l'effectif total soit $ \dfrac{11}{125}=0.088=8.8\%$ .
    5. C'est la même formule que précédemment mais en considérant l'effectif cumulé croissant : $ \dfrac{40}{125}=0.32=32\%$ .
  1. Des aménagements urbains destinées à ralentir les véhicules et à prévenir les conducteurs sont mis en place. Quelques temps après, on effectue une nouvelle étude sur $ 200$ véhicules en excès de vitesse. On obtient les résultats suivants : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Minimum} & \text{Premier quartile} & \text{Médiane} & \text{Troisième quartile} & \text{Maximum}\\\hline 1&9& 11&13& 20\\\hline \end{array} $$ Utiliser ce tableau affin de déterminer, pour chacune des propositions suivantes, si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est attendue. $$ \begin{array}{|l|cc|} \hline \text{L'étendue des excès de vitesse relevés a été réduite grâce aux amènagement de sécurité.} & VRAI & \fbox{FAUX}\\\hline \text{Exactement le quart des automobilistes en excès de vitesse dépassent de plus de 11 km/h.} & VRAI &\fbox{FAUX}\\\hline \text{Au moins 75\% des excès de vitesse sont des dépassement inférieur ou égaux à 13 km/h.} & \fbox{VRAI} & FAUX\\\hline \text{Au moins 50\% des excès de vitesse sont des dépassement }d\text{ vérifiant }d\in [6 ; 10]. & VRAI & \fbox{FAUX}\\\hline \end{array} $$
  2. Il ne s'agit pas d'une simple moyenne mais d'une moyenne pondérée par le nombre de véhicule : $$\dfrac{125\times12.216+200\times9.9}{325}=\dfrac{3507}{325}=10.790769230769$$ La moyenne des dépassements de la vitesse autorisée sur l'ensemble des $ 325$ excès relevés est $ 10.790769230769$