\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\text{\Large$\varepsilon\!\!\varepsilon$}} \newcommand{\supere}{\text{\Large$e\!\!e$}} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\dpl{\left\langle #1\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)
Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.


Dans le tableau ci dessous on a représenter
  • Les notes en probabilités en $ X$ .
  • Les notes en statistiques en $ Y$ .
  • Dans la colonne $ Red$ on a représenté si l'étudiant a redoublé au cours de sa scolarité ou non..
Pour un caractère statistique $ Z$ on note $ \overline{Z}$ la moyenne.
Dans la dernière ligne, on a réalisé la somme des colonnes. $$\begin{array}{|*{9}{r|}}\hline\# & Red& X & X-\overline{X} & (X-\overline{X})^2 & Y & Y-\overline{Y} & (Y-\overline{Y})^2 & (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\\\hline 1&non&2.9&-4.46&19.892&3.1&-4.504&20.286&20.088\\\hline 2&non&10.1&2.74&7.508&13.5&5.896&34.763&16.155\\\hline 3&non&1.4&-5.96&35.522&2.1&-5.504&30.294&32.804\\\hline 4&non&7.6&0.24&0.058&8&0.396&0.157&0.095\\\hline 5&oui&9.5&2.14&4.58&12.2&4.596&21.123&9.835\\\hline 6&non&12.2&4.84&23.426&10.3&2.696&7.268&13.049\\\hline 7&oui&14.8&7.44&55.354&17.2&9.596&92.083&71.394\\\hline 8&non&4.7&-2.66&7.076&3.5&-4.104&16.843&10.917\\\hline 9&non&2.3&-5.06&25.604&1&-6.604&43.613&33.416\\\hline 10&oui&6.5&-0.86&0.74&5.2&-2.404&5.779&2.067\\\hline 11&non&2&-5.36&28.73&2.3&-5.304&28.132&28.429\\\hline 12&oui&14.4&7.04&49.562&8.6&0.996&0.992&7.012\\\hline 13&non&15.4&8.04&64.642&14.2&6.596&43.507&53.032\\\hline 14&oui&5.8&-1.56&2.434&7.9&0.296&0.088&-0.462\\\hline 15&oui&10.7&3.34&11.156&7.4&-0.204&0.042&-0.681\\\hline 16&oui&13.9&6.54&42.772&16.9&9.296&86.416&60.796\\\hline 17&non&14.8&7.44&55.354&6.9&-0.704&0.496&-5.238\\\hline 18&non&4.7&-2.66&7.076&4.7&-2.904&8.433&7.725\\\hline 19&non&0.2&-7.16&51.266&2.6&-5.004&25.04&35.829\\\hline 20&non&1.2&-6.16&37.946&-0&-7.604&57.821&46.841\\\hline 21&non&2.7&-4.66&21.716&0.5&-7.104&50.467&33.105\\\hline 22&oui&7&-0.36&0.13&9.2&1.596&2.547&-0.575\\\hline 23&non&3.5&-3.86&14.9&1.8&-5.804&33.686&22.403\\\hline 24&oui&8.6&1.24&1.538&19.7&12.096&146.313&14.999\\\hline 25&oui&7.1&-0.26&0.068&11.3&3.696&13.66&-0.961\\\hline \Sigma&&184&0&569.05&190.1&0&769.849&512.074\\\hline \end{array}$$
  1. Réaliser le nuage de points de ces données.
  2. Déterminer la moyenne des $ X$ .
  3. Déterminer l'écart-type des $ Y$ .
  4. Déterminer la droite de régression linéaire.
  5. La régression linéaire est-elle justifiée ?
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. La moyenne des $ X$ est la sommes des valeurs divisé par le nombre de note, ici $ 25$ . Ainsi $ \overline{X}\simeq\dfrac{184}{25}\simeq 7.36$ .
  2. L'écart-type des $ Y$ est la racine carré de la somme des $ (Y-\overline{Y})^2$ divisé par le nombre de note, ici $ 25$ . Ainsi $ \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{769.849}{25}}\simeq 5.549$ .
  3. Déterminons les coefficients $ \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}$ et $ \hat{b}=\overline{Y}-\hat{a}\overline{X}$ . A cette fin, il faut calculer la covariance, la variance de $ X$ et la moyenne des $ Y$ . La covariance est la somme des $ (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})$ sur l'effectif, cela donne donc $ cov(X, Y)\simeq\dfrac{512.074}{25}\simeq 20.483$ . De la même manière on trouve $ \overline{Y}\simeq\dfrac{190.1}{25}\simeq7.604$ et $ \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{569.05}{25}}\simeq 4.771$ Dans ce cas $ \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}\simeq\dfrac{20.483}{22.762441}\simeq0.9$ . Et pour $ \hat{b}\simeq\dfrac{190.1}{25}-\left(0.9\times\dfrac{184}{25}\right)\simeq0.981$ .
  4. Déterminons le coefficient de corrélation linéaire simple. $ corr(X, Y)=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\simeq\dfrac{20.483}{4.771\times 5.549}\simeq 0.774$ . Puisque le coefficient de corrélation est, en valeur absolue, suffisamment proche de 1, on en déduit que la régression linéaire est justifiée.