\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


Dans le tableau ci dessous on a représenter
  • Le nombre d'élève en terminale génarale qui prennent l'option "mathématiques expertes" par lycée en \( X\) .
  • Le taux de réussite à l'épreuve du baccalauréat par lycée en \( Y\) .
Pour un caractère statistique \( Z\) on note \( \overline{Z}\) la moyenne.
Dans la dernière ligne, on a réalisé la somme des colonnes. \[\begin{array}{|*{8}{r|}}\hline\# & X & X-\overline{X} & (X-\overline{X})^2 & Y & Y-\overline{Y} & (Y-\overline{Y})^2 & (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\\\hline 1&401&179.72&32299.28&79.5&0.144&0.021&25.88\\\hline 2&83&-138.28&19121.36&79.3&-0.056&0.003&7.744\\\hline 3&172&-49.28&2428.52&68.4&-10.956&120.034&539.912\\\hline 4&259&37.72&1422.8&81.7&2.344&5.494&88.416\\\hline 5&401&179.72&32299.28&89.7&10.344&106.998&1859.024\\\hline 6&342&120.72&14573.32&67.9&-11.456&131.24&-1382.968\\\hline 7&172&-49.28&2428.52&76.8&-2.556&6.533&125.96\\\hline 8&131&-90.28&8150.48&67.3&-12.056&145.347&1088.416\\\hline 9&132&-89.28&7970.92&78.8&-0.556&0.309&49.64\\\hline 10&370&148.72&22117.64&79.1&-0.256&0.066&-38.072\\\hline 11&296&74.72&5583.08&87.4&8.044&64.706&601.048\\\hline 12&29&-192.28&36971.6&84.7&5.344&28.558&-1027.544\\\hline 13&69&-152.28&23189.2&76.6&-2.756&7.596&419.684\\\hline 14&68&-153.28&23494.76&63.4&-15.956&254.594&2445.736\\\hline 15&408&186.72&34864.36&95.3&15.944&254.211&2977.064\\\hline 16&234&12.72&161.8&82.5&3.144&9.885&39.992\\\hline 17&116&-105.28&11083.88&83.1&3.744&14.018&-394.168\\\hline 18&239&17.72&314&92.1&12.744&162.41&225.824\\\hline 19&63&-158.28&25052.56&76.6&-2.756&7.596&436.22\\\hline 20&418&196.72&38698.76&77.8&-1.556&2.421&-306.096\\\hline 21&11&-210.28&44217.68&68.9&-10.456&109.328&2198.688\\\hline 22&219&-2.28&5.2&83.9&4.544&20.648&-10.36\\\hline 23&406&184.72&34121.48&83.4&4.044&16.354&747.008\\\hline 24&124&-97.28&9463.4&72.6&-6.756&45.644&657.224\\\hline 25&369&147.72&21821.2&87.1&7.744&59.97&1143.944\\\hline \Sigma&5532&0&451855.08&1983.9&0&1573.984&12518.216\\\hline \end{array}\]
  1. Réaliser le nuage de points de ces données.
  2. Déterminer la moyenne des \( X\) .
  3. Déterminer l'écart-type des \( Y\) .
  4. Déterminer la droite de régression linéaire.
  5. La régression linéaire est-elle justifiée ?
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Exercice


  1. La moyenne des \( X\) est la sommes des valeurs divisé par le nombre de note, ici \( 25\) . Ainsi \( \overline{X}\simeq\dfrac{5532}{25}\simeq 221.28\) .
  2. L'écart-type des \( Y\) est la racine carré de la somme des \( (Y-\overline{Y})^2\) divisé par le nombre de note, ici \( 25\) . Ainsi \( \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{1573.984}{25}}\simeq 7.935\) .
  3. Déterminons les coefficients \( \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}\) et \( \hat{b}=\overline{Y}-\hat{a}\overline{X}\) . A cette fin, il faut calculer la covariance, la variance de \( X\) et la moyenne des \( Y\) . La covariance est la somme des \( (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\) sur l'effectif, cela donne donc \( cov(X, Y)\simeq\dfrac{12518.216}{25}\simeq 500.728\) . De la même manière on trouve \( \overline{Y}\simeq\dfrac{1983.9}{25}\simeq79.356\) et \( \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{451855.08}{25}}\simeq 134.44\) Dans ce cas \( \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}\simeq\dfrac{500.728}{18074.1136}\simeq0.028\) . Et pour \( \hat{b}\simeq\dfrac{1983.9}{25}-\left(0.028\times\dfrac{5532}{25}\right)\simeq73.226\) .
  4. Déterminons le coefficient de corrélation linéaire simple. \( corr(X, Y)=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\simeq\dfrac{500.728}{134.44\times 7.935}\simeq 0.469\) . Puisque le coefficient de corrélation est, en valeur absolue, assez loin de 1, on en déduit que la régression linéaire n'est pas justifiée.