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Exercice
Dans le tableau ci dessous on a représenter
- L'angle, en degrés, suivant l'axe des abscisses d'une roue de voiture en \( X\) .
- L'angle, en degrés, suivant l'axe des ordonnée d'une roue de voiture en \( Y\) .
Pour un caractère statistique \( Z\) on note \( \overline{Z}\) la moyenne.
Dans la dernière ligne, on a réalisé la somme des colonnes.
\[\begin{array}{|*{8}{r|}}\hline\# & X & X-\overline{X} & (X-\overline{X})^2 & Y & Y-\overline{Y} & (Y-\overline{Y})^2 & (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\\\hline
1&12&14.28&203.92&-1&0.48&0.23&6.85\\\hline
2&-41&-38.72&1499.24&7&8.48&71.91&-328.35\\\hline
3&-14&-11.72&137.36&1&2.48&6.15&-29.07\\\hline
4&-5&-2.72&7.4&0&1.48&2.19&-4.03\\\hline
5&28&30.28&916.88&-8&-6.52&42.51&-197.43\\\hline
6&17&19.28&371.72&-8&-6.52&42.51&-125.71\\\hline
7&-5&-2.72&7.4&2&3.48&12.11&-9.47\\\hline
8&-42&-39.72&1577.68&4&5.48&30.03&-217.67\\\hline
9&41&43.28&1873.16&-13&-11.52&132.71&-498.59\\\hline
10&-31&-28.72&824.84&4&5.48&30.03&-157.39\\\hline
11&36&38.28&1465.36&-8&-6.52&42.51&-249.59\\\hline
12&-34&-31.72&1006.16&11&12.48&155.75&-395.87\\\hline
13&-13&-10.72&114.92&-1&0.48&0.23&-5.15\\\hline
14&-27&-24.72&611.08&2&3.48&12.11&-86.03\\\hline
15&-19&-16.72&279.56&3&4.48&20.07&-74.91\\\hline
16&16&18.28&334.16&-5&-3.52&12.39&-64.35\\\hline
17&-31&-28.72&824.84&3&4.48&20.07&-128.67\\\hline
18&-41&-38.72&1499.24&2&3.48&12.11&-134.75\\\hline
19&21&23.28&541.96&-10&-8.52&72.59&-198.35\\\hline
20&4&6.28&39.44&-2&-0.52&0.27&-3.27\\\hline
21&-27&-24.72&611.08&7&8.48&71.91&-209.63\\\hline
22&30&32.28&1042&-11&-9.52&90.63&-307.31\\\hline
23&6&8.28&68.56&-3&-1.52&2.31&-12.59\\\hline
24&37&39.28&1542.92&-10&-8.52&72.59&-334.67\\\hline
25&25&27.28&744.2&-3&-1.52&2.31&-41.47\\\hline
\Sigma&-57&0&18145.08&-37&0&958.23&-3807.47\\\hline
\end{array}\]
- Réaliser le nuage de points de ces données.
- Déterminer la moyenne des \( X\) .
- Déterminer l'écart-type des \( Y\) .
- Déterminer la droite de régression linéaire.
- La régression linéaire est-elle justifiée ?
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Exercice
-
- La moyenne des \( X\) est la sommes des valeurs divisé par le nombre de note, ici \( 25\) . Ainsi \( \overline{X}\simeq\dfrac{-57}{25}\simeq -2.28\) .
- L'écart-type des \( Y\) est la racine carré de la somme des \( (Y-\overline{Y})^2\) divisé par le nombre de note, ici \( 25\) . Ainsi \( \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{958.23}{25}}\simeq 6.19\) .
- Déterminons les coefficients \( \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}\) et \( \hat{b}=\overline{Y}-\hat{a}\overline{X}\) .
A cette fin, il faut calculer la covariance, la variance de \( X\) et la moyenne des \( Y\) . La covariance est la somme des \( (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\) sur l'effectif, cela donne donc \( cov(X, Y)\simeq\dfrac{-3807.47}{25}\simeq -152.29\) . De la même manière on trouve \( \overline{Y}\simeq\dfrac{-37}{25}\simeq-1.48\) et \( \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{18145.08}{25}}\simeq 26.94\)
Dans ce cas \( \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}\simeq\dfrac{-152.29}{725.7636}\simeq-0.21\) . Et pour \( \hat{b}\simeq\dfrac{-37}{25}-\left(-0.21\times\dfrac{-57}{25}\right)\simeq-1.96\) .
- Déterminons le coefficient de corrélation linéaire simple. \( corr(X, Y)=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\simeq\dfrac{-152.29}{26.94\times 6.19}\simeq -0.91\) . Puisque le coefficient de corrélation est, en valeur absolue, suffisamment proche de 1, on en déduit que la régression linéaire est justifiée.