\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Dans le tableau ci dessous on a représenter
  • Le nombre d'élève en terminale génarale qui prennent l'option "mathématiques expertes" par lycée en $ X$ .
  • Le taux de réussite à l'épreuve du baccalauréat par lycée en $ Y$ .
Pour un caractère statistique $ Z$ on note $ \overline{Z}$ la moyenne.
Dans la dernière ligne, on a réalisé la somme des colonnes. $$\begin{array}{|*{8}{r|}}\hline\# & X & X-\overline{X} & (X-\overline{X})^2 & Y & Y-\overline{Y} & (Y-\overline{Y})^2 & (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\\\hline 1&17&-223.08&49764.69&60.2&-14.42&207.936&3216.814\\\hline 2&460&219.92&48364.81&96.7&22.08&487.526&4855.834\\\hline 3&215&-25.08&629.01&88.3&13.68&187.142&-343.094\\\hline 4&211&-29.08&845.65&69.4&-5.22&27.248&151.798\\\hline 5&308&67.92&4613.13&73.3&-1.32&1.742&-89.654\\\hline 6&95&-145.08&21048.21&75.1&0.48&0.23&-69.638\\\hline 7&288&47.92&2296.33&66.7&-7.92&62.726&-379.526\\\hline 8&296&55.92&3127.05&72.7&-1.92&3.686&-107.366\\\hline 9&107&-133.08&17710.29&78&3.38&11.424&-449.81\\\hline 10&53&-187.08&34998.93&62.9&-11.72&137.358&2192.578\\\hline 11&168&-72.08&5195.53&73.8&-0.82&0.672&59.106\\\hline 12&138&-102.08&10420.33&75.5&0.88&0.774&-89.83\\\hline 13&124&-116.08&13474.57&67.3&-7.32&53.582&849.706\\\hline 14&316&75.92&5763.85&62.3&-12.32&151.782&-935.334\\\hline 15&416&175.92&30947.85&66.8&-7.82&61.152&-1375.694\\\hline 16&172&-68.08&4634.89&79.6&4.98&24.8&-339.038\\\hline 17&269&28.92&836.37&78&3.38&11.424&97.75\\\hline 18&456&215.92&46621.45&73.6&-1.02&1.04&-220.238\\\hline 19&341&100.92&10184.85&84.2&9.58&91.776&966.814\\\hline 20&125&-115.08&13243.41&78.1&3.48&12.11&-400.478\\\hline 21&368&127.92&16363.53&70.7&-3.92&15.366&-501.446\\\hline 22&217&-23.08&532.69&73.3&-1.32&1.742&30.466\\\hline 23&0&-240.08&57638.41&71&-3.62&13.104&869.09\\\hline 24&402&161.92&26218.09&81.5&6.88&47.334&1114.01\\\hline 25&440&199.92&39968.01&86.5&11.88&141.134&2375.05\\\hline \Sigma&6002&0&465441.93&1865.5&0&1754.81&11477.87\\\hline \end{array}$$
  1. Réaliser le nuage de points de ces données.
  2. Déterminer la moyenne des $ X$ .
  3. Déterminer l'écart-type des $ Y$ .
  4. Déterminer la droite de régression linéaire.
  5. La régression linéaire est-elle justifiée ?
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  1. La moyenne des $ X$ est la sommes des valeurs divisé par le nombre de note, ici $ 25$ . Ainsi $ \overline{X}\simeq\dfrac{6002}{25}\simeq 240.08$ .
  2. L'écart-type des $ Y$ est la racine carré de la somme des $ (Y-\overline{Y})^2$ divisé par le nombre de note, ici $ 25$ . Ainsi $ \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{1754.81}{25}}\simeq 8.378$ .
  3. Déterminons les coefficients $ \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}$ et $ \hat{b}=\overline{Y}-\hat{a}\overline{X}$ . A cette fin, il faut calculer la covariance, la variance de $ X$ et la moyenne des $ Y$ . La covariance est la somme des $ (X-\overline{X})(Y-\overline{Y})$ sur l'effectif, cela donne donc $ cov(X, Y)\simeq\dfrac{11477.87}{25}\simeq 459.114$ . De la même manière on trouve $ \overline{Y}\simeq\dfrac{1865.5}{25}\simeq74.62$ et $ \sigma_X\simeq\sqrt{\dfrac{465441.93}{25}}\simeq 136.45$ Dans ce cas $ \hat{a}=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X^2}\simeq\dfrac{459.114}{18618.6025}\simeq0.025$ . Et pour $ \hat{b}\simeq\dfrac{1865.5}{25}-\left(0.025\times\dfrac{6002}{25}\right)\simeq68.7$ .
  4. Déterminons le coefficient de corrélation linéaire simple. $ corr(X, Y)=\dfrac{cov(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\simeq\dfrac{459.114}{136.45\times 8.378}\simeq 0.402$ . Puisque le coefficient de corrélation est, en valeur absolue, assez loin de 1, on en déduit que la régression linéaire n'est pas justifiée.