\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


Vous recevez un message de la part de votre prof de math :
J'ai utilisé ta clef publique \( (4399, 4177)\) du protocole RSA. Voici le message que je te transmets :
2455-2686
Quel est le message claire ? Vous détaillerez toutes les étapes de votre raisonnement et de vos calculs. Les éléments de réponse donnés sans justification seront considérées comme fausses.
Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice


Commençons par déterminer deux entiers \( p\) et \( q\) tel que \( p\times q=4399\) . La racine carré de ce nombre est, arrondi inférieurement, \( 66\) . En cherchant à diviser par tous les nombres premiers jusqu'à cette valeur, on trouve rapidement que \( 4399\) est divisible par \( 53\) , précisément \( 4399=53\times83\) . Cela signifie que \( \varphi=(p-1)(q-1)=4264\) . Nous pouvons donc déterminer la clef privé en cherchant l'inverse de \( e=4177\) modulo \( \varphi=4264\) . \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 4264 & 4177 & 87 & 1&-48 & 49 \\ \hline 4177 & 87 & 1 & 48&1 & -48 \\ \hline 87 & 1 & 0 & 87&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] En conclusion, la clef privée est \( (4399, 49)\) . Pour déchiffrer ce message, il suffit d'appliquer l'algorithme d'exponentiation modulaire rapide pour calculer \( x^{49} \) modulo \( n=4399\) . L'écriture binaire de \( d=49\) est \( 110001\) . Dans les tableaux nous encadrons alors les valeurs considérées. \[ \begin{array}{r|*{6}{|c}} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\hline2455^{2^k} & 2455 & 6027025 & 156025 & 4243600 & 8785296 & 243049\\mod\ 4399 & \fbox{2455} & 395 & 2060 & 2964 & \fbox{493} & \fbox{1104} \end{array} \] Et on trouve que \( 2455^{49}\equiv_{4399}308\) Ce qui correspond aux caractères \( DI\) . \[ \begin{array}{r|*{6}{|c}} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\hline2686^{2^k} & 2686 & 7214596 & 55696 & 8456464 & 2515396 & 12723489\\mod\ 4399 & \fbox{2686} & 236 & 2908 & 1586 & \fbox{3567} & \fbox{1581} \end{array} \] Et on trouve que \( 2686^{49}\equiv_{4399}1918\) Ce qui correspond aux caractères \( TS\) . En conclusion, le message claire est \( DITS\)