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Exercice
Un jeu de carte classique est composé de 52 cartes réparties en couleur, famille et valeur ou figure.
- Il y a 26 cartes pour chacune des deux couleurs : rouge et noire.
- Il y a 13 cartes pour chacune des 4 familles : cœur, carreau, trèfle et pique.
- Les cœurs et les carreaux sont rouges tandis que les trèfles et les piques sont noires.
- Parmi les 13 cartes d'une famille, 10 représentent une valeur (de 1 à 10 ; le 1 est appelé l'as), et trois représentent une figure : le valet, la dame et le roi.
- Dans cet exercice l'as ne sera pas considéré comme une figure.
On donnera les résultats sous forme de nombre à virgule arrondi au dix-millième.
Les parties sont indépendante les unes des autres et peuvent donc être traitées indépendamment.
- PARTIE A : Combinatoire.
-
On mélange un jeu de cartes et on tire au hasard \( 6\) cartes avec remise.
- Combien y a-t-il de tirage différent ?
- Combien de tirage différent ne sont composés que de figure ?
- Combien de tirage différent ne sont composés que de trèfle ?
- Combien de tirage différent ne sont composés que de noire ?
- Combien de tirage différent ne sont composés que de roi ou de 8 ?
- Combien de tirage différent sont composés d'exactement 2 dame ?
- Combien de tirage différent permettent d'obtenir le 7 de coeur ?
- PARTIE B : Une variable aléatoire.
- On mélange un jeu de cartes et on tire au hasard \( 6 \) cartes avec remise. On note \( X\) le nombre de carte étant des coeur.
- Quelle est la loi de \( X\) ?
- Donner l'espérance et l'écart-type de \( X\) .
- Déterminer la probabilité des évènements suivants :
- \( A\) ="On obtient exactement deux coeur".
- \( B\) ="On obtient au moins un coeur".
- \( C\) ="On obtient au plus un coeur".
- PARTIE C : Une inconnue.
- Dans un jeu de carte classique bien mélangé, on tire au hasard \( n\) cartes avec remise pour un certain entier \( n{>}0\) . Déterminer le nombre minimal de carte à tirer pour que la probabilité d'obtenir au moins un valet soit supérieur à \( 99\%\) .
- PARTIE D : Un jeu d'argent.
- On lance un dé à 8 faces parfaitement équilibré. Si le résultat est 1, on tire simultanément \( 6\) cartes dans un jeu classique mélangé, sinon on ne tire que \( 4\) cartes.
Pour chaque valet obtenue, on donne 15€ au joueur. On note \( Y\) la variable à aléatoire du gain de ce jeu.
- Donner la loi de \( Y\) .
- Calculer l'espérance de \( Y\) .
- Expliquez pourquoi le prix de la partie doit être supérieur ou égale à \( 4.91\) € pour que le jeu soit favorable à la banque (la banque s'oppose au joueur) ?
- On a gagné \( 0\) €. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu un 1 au lancé de dé ?
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Exercice
- PARTIE A : Combinatoire.
-
- Puisqu'il s'agit de tirer \( 6\) cartes avec remise dans un jeu qui en est composé de \( 52\) la réponse est \( 52^{6}=19770609664\)
- Il y a \( 3\) figures pour chacune des \( 4\) familles. Il y a donc, dans ce jeu de \( 52\) cartes, \( 3\times 4=12\) cartes représentants des figures. On s'intérèsse au nombre de tirage de \( 6\) figures parmis les \( 12\) avec remise. La réponse est \( 12^{6}=2985984\)
- Dans ce jeu, \( 13\) cartes sont des trèfle. Puisqu'il s'agit de tirer \( 6\) avec remise la réponse est \( {13}^{6}=4826809\)
- Dans ce jeu, \( 26\) cartes sont des noire. Puisqu'il s'agit d'en tirer \( 6\) avec remise la réponse est \( {26}^{6}=308915776\)
- Dans ce jeu, \( 4\) cartes sont des roi (une pour chacune des quatre familles). De même, \( 4\) cartes sont des 8. Il y a donc \( 8\) cartes qui sont soit des roi soit des 8. Puisqu'il s'agit d'en tirer \( 6\) avec remise la réponse est \( {8}^{6}=262144\)
- Si \( 2\) cartes doivent être des dame alors \( 4\) ne doivent pas en être. Quatre cartes sont des dame donc \( 52-4=48\) n'en sont pas. Le tirage étant avec remise, la réponse est \( C_{6}^{2} {4}^{2}\times {48}^{4}=1274019840\) . Dans ce tirage, l'ordre compte. La valeur \( {4}^{2}\times {48}^{4} \) représente le nombre de tirage de dame lors des \( 2\) premier tirage. Il faut alors considérer les autres combinaison possible, ce que mesure le coéfficient \( C_{6}^{2} \) .
- Une seule carte est le 7 de coeur et donc \( 51\) cartes ne le sont pas. Il faut donc que \( 5\) cartes fasse parties des \( 51\) autres possibilitées. La réponse est \( C_{6}^{1} {1}^{1}\times {51}^{5}=2070151506\) . Dans ce tirage, l'ordre compte. La valeur \( {1}^{1}\times {51}^{5} \) représente le nombre de tirage de 7 de coeur au premier tirage. Il faut alors considérer les autres combinaison possible, ce que mesure le coéfficient \( C_{6}^{1} \) .
- PARTIE B : Une variable aléatoire.
-
- Pour chacune des \( 6\) cartes, on se questionne sur le succès (être un coeur) où l'échec (ne pas être un coeur).
Il s'agit d'une expérience aléatoire de \( n\) succès-échec. La loi de \( X\) est donc une loi binomiale \( X\sim\mathcal{B}(n, p)\) où \( n=6\) est le nombre de succès-echec à mesurer et \( p=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\) est la probabilité d'un succès : \( 13\) cartes sont des coeur sur les \( 52\) cartes qui composent le jeu.
- D'après le cours, si \( X\sim\mathcal{B}(n, p)\) alors \( E(X)=np\) , ce qui donne ici :
\[ E(X)=6\dfrac{1}{4}=1.5\]
De même l'écart-type est donné par \( \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\) ce qui donne ici :
\[ \sigma(X)=\sqrt{6\dfrac{1}{4}\dfrac{3}{4}}\simeq1.0607\]
- L'énoncé se traduit par déterminer \( P(X=2)\) . D'après le cours, \( P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\) . Dans notre cas nous avons donc
\[ P(X=2) = C_{6}^2\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-2}\simeq0.2966\]
- Passons par l'évènement contraire \( \overline{B}\) qui est de n'obtenir aucun coeur qui se traduit par l'évènement \( X=0\) . Alors, en appliquant la même formule précédement rappelé, on a :
\[
P(B)=1-P(\overline{B})=1-P(X=0)=1-C_{6}^0\left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-0}\simeq0.822\]
- L'évènement \( C\) se traduit par \( X=0\) ou \( X=1\) . Ces deux évènements étant incompatible (ils ne peuvent se réaliser en même temps) on a
\[
P(C)=P(X=0)+P(X=1)=C_{6}^0\left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-0}+C_{6}^1\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6-1}\simeq 0.5339\]
- PARTIE C : Une inconnue.
-
Dans un premier temps exprimons en fonction de \( n\) la probabilité \( p_n\) , d'obtenir au moins un valet. L'évènement contraire est de n'obtenir aucun valet. Sur les \( 52\) cartes qui composent le jeu, \( 48\) ne sont pas de telles cartes donc \( p_n=1-\left(\dfrac{48}{52}\right)^n\) .
L'énoncé reviens à trouver le plus petit entier \( n\) tel que \( p_n{>}0.99\) . Ainsi
\begin{eqnarray*}
p_n{>}0.99
&\Rightarrow& 1-p_n{<}1-0.99\\
&\Rightarrow& \left(\dfrac{48}{52}\right)^n{<}0.01\\
&\Rightarrow& ln\left(\left(\dfrac{48}{52}\right)^n\right){<}ln(0.01)\\
&\Rightarrow& n\times ln\left(\dfrac{48}{52}\right){<}ln(0.01)\\
&\Rightarrow& n{>}\dfrac{ln(0.01)}{ln\left(\dfrac{48}{52}\right)}\\
&\Rightarrow& n{>}57.5339
\end{eqnarray*}
Il faut tirer au moins \( 58\) cartes pour que la probabilité de tirer au moins un valet soit supérieur à \( 99\%\)
- PARTIE D : Un jeu d'argent.
-
-
Le support de \( Y\) , c'est à dire les valeurs avec une probabilité (a priori) non nulle, est \( \{0, 15, 30,45,60\}\) . Représentons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\[
\xymatrix@R=0.919cm@C=2.19cm{
&&Y=0\\
&&Y=15\\
&{1}
%P(Y=0)
\ar[ruu]^{0.6028}
%P(Y=15)
\ar[ru]^{0.3364}
%P(Y=30)
\ar[r]^{0.0573}
%P(Y=45)
\ar[rd]_{0.0034}
%P(Y=60)
\ar[rdd]_{0.0001}
&Y=30\\
&&Y=45\\
&&Y=60\\
\bullet\ar[ruuu]^{0.875}\ar[rddd]_{0.125}&&\\
&&Y=0\\
&&Y=15\\
&{\overline{1}}
%P(Y=0)
\ar[ruu]^{0.7187}
%P(Y=15)
\ar[ru]^{0.2556}
%P(Y=30)
\ar[r]^{0.025}
%P(Y=45)
\ar[rd]_{0.0007}
%P(Y=60)
\ar[rdd]_{0}
&Y=30\\
&&Y=45\\
&&Y=60
}
\]
Les valeurs sur les branches de l'arbre sont calculées de la manière suivantes (certaines sont détaillées, les autres étant obtenues par le même protocole de calcul).
- Naturellement \( P(1)=\dfrac{1}{8}\simeq0.125\) et \( P(\overline{1})=1-\dfrac{1}{8}\simeq0.875\) puisque le dé a 8 faces.
- Le nombre \( P(Y=0|1)\) est la probabilité de n'obtenir aucun valet sachant que l'on a obtenu un 1 lors du lancé de dé, c'est à dire, tirer 6 cartes. Quarante huit cartes ne sont pas des valet, ainsi \( P(Y=0|1)=\dfrac{C_{48}^{6}}{C_{52}^6}\simeq0.6028\) .
- Le nombre \( P(Y=30|1)\) est la probabilité d'obtenir deux valet lors d'un tirage simultané de \( 6\) cartes.
\[ P(Y=30|1)=\dfrac{C_{4}^2C_{48}^{4}}{C_{52}^5}\simeq 0.0573\]
- Pour \( P(Y=60|1)\) on prend valeur qui complète la somme des probabilités à 1.
- Le nombre \( P(Y=15|\overline{1})\) est la probabilité d'obtenir un valet lors d'un tirage simultané de \( 4\) cartes : \[ P(Y=15|\overline{1})=\dfrac{C_{4}^1C_{48}^{3}}{C_{52}^{4}}\simeq 0.2556\]
- etc.
En appliquant la formule de probabilité totale on détermine les différentes probabilités de \( Y\) .
Par exemple \( P(Y=0)=P(Y=0|1)P(1)+P(Y=0|\overline{1})P(\overline{1})
\simeq 0.6028\times0.125 + 0.7187\times0.875
\simeq
0.7042\) .
Finalement nous obtenons la loi de \( Y\) (les probabilités étant arrondies au dix-millièmes comme l'ordonne l'énoncé) :
\[
\begin{array}{r||c|c|c|c|c}
x&0&15&30&45&60\\\hline
P(Y=x)
&\dfrac{1}{8}\dfrac{C_{4}^{0}C_{48}^{6}}{C_{52}^{6}} + \dfrac{7}{8}\dfrac{C_{4}^{0}C_{48}^{4}}{C_{52}^{4}}
&\dfrac{1}{8}\dfrac{C_{4}^{1}C_{48}^{5}}{C_{52}^{6}} + \dfrac{7}{8}\dfrac{C_{4}^{1}C_{48}^{3}}{C_{52}^{4}}
&\dfrac{1}{8}\dfrac{C_{4}^{2}C_{48}^{4}}{C_{52}^{6}} + \dfrac{7}{8}\dfrac{C_{4}^{2}C_{48}^{2}}{C_{52}^{4}}
&\dfrac{1}{8}\dfrac{C_{4}^{3}C_{48}^{3}}{C_{52}^{6}} + \dfrac{7}{8}\dfrac{C_{4}^{3}C_{48}^{1}}{C_{52}^{4}}
&\dfrac{1}{8}\dfrac{C_{4}^{4}C_{48}^{2}}{C_{52}^{6}} + \dfrac{7}{8}\dfrac{C_{4}^{4}C_{48}^{0}}{C_{52}^{4}}
\\\hline
\simeq
&0.7042
&0.2657
&0.029
&0.001
&0
\end{array}
\]
- D'après le cours, on a
\[
E(Y)\simeq
0\times0.7042
+15\times0.2657
+30\times0.029
+45\times0.001
+60\times0
\simeq
4.9038
\]
- D'après la question précédente, le joueur gagne en moyenne \( 4.9038\) €. Humainement cela se rapproche de \( 4.9\) . Pour que le jeu soit favorable à la banque, il faut donc que le prix de la partie soit strictement supérieur à cette moyenne. Le plus petit prix est donc d'un centime supérieur à cette moyenne. C'est bien \( 4.91\) .
-
La question se traduit par le calcul de \( P(1 | Y=0)\) . On a
\begin{eqnarray*}
P(1 | Y=0)
&=&\dfrac{P(1\cap Y=0)}{P(Y=0)}\\
&\simeq&
\dfrac{
0.125
\times
0.6028
}{
0.7042
}\\
&\simeq&
0.107
\end{eqnarray*}
Il y a \( 10.7\%\) de chance d'avoir obtenu un 1 au lancer de dè si nous avons obtenu \( 0\) valet au tirage de carte.
En appliquant les formules, on trouve plus précisément :
\[
P(1 | Y=0) = \dfrac{
\dfrac{1}{8}\times\dfrac{C_{4}^{0}C_{48}^{6}}{C_{52}^{6}}
}{
\dfrac{1}{8}\times\dfrac{C_{4}^{0}C_{48}^{6}}{C_{52}^{6}}
+\dfrac{7}{8}\times\dfrac{C_{4}^{0}C_{48}^{4}}{C_{52}^{4}}
}
\simeq0.107
\]
