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Soit $ p(x)=\alpha x^{2}\Un_{[0, 3]}(x)$ pour un certain réel $ \alpha{>}0$ et $ X$ une variable aléatoire réelle de densité $ p$ .
- Déterminer $ \alpha$ pour que $ p$ soit une fonction de densité.
- Déterminer, pour tout réel $ t$ , la fonction de répartition de $ X$ , $ F_X(t)$ .
- Calculer $ E(X)$ , l'espérance de $ X$ .
- Calculer $ E(X^2)$ , l'espérance de $ X^2$ .
- En déduire $ \sigma(X)$ l'écart-type de $ X$ .
- Soit $ Y=X^{3}$ .
- Déterminer, pour tout réel $ t$ , la fonction de répartition de $ Y$ , $ F_Y(t)$ .
- En déduire $ q$ la fonction de densité de $ Y$ . On ademettra qu'elle existe.
- En déduire la loi de $ Y$ .
- Calculer $ E(Y)$ , l'espérance de $ Y$ .
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- Pour que $ p$ soit une fonction de densité, il faut que
la fonction $ p$ soit positive ce qui est trivialement le cas,
que la fonction $ p$ soit intégrable ce qui est également le cas puisqu'elle est continue par morceau
et que $ \dpl{\int_\R p(x)\ dx}=1$ . Cette dernière condition se traduit de la manière suivante :
\begin{eqnarray*}
1
&=& \int_\R p(x)\ dx\\
&=& \int_0^{3}\alpha x^{2}\ dx\\
&=& \alpha \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}\\
&=& \alpha \dfrac{3^{3}}{3}\\
&=& \alpha \dfrac{27}{3}\\
\end{eqnarray*}
En conslusion, pour que $ p$ soit une fonction de densité, il faut et il suffit que $ \alpha= \dfrac{3}{27}$
- Soit $ t\in[0; 3]$ alors :
\begin{eqnarray*}
F_X(t)
&=& P(X{<}t)\\
&=& \int_{-\infty}^t p(x)\ dx\\
&=& \int_0^{t}\dfrac{3}{27} x^{2}\ dx\\
&=& \dfrac{3}{27} \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{t}\\
&=& \dfrac{3}{27} \dfrac{t^{3}}{3}\\
&=& \dfrac{t^{3}}{27}
\end{eqnarray*}
En conclusion :
$$
F_X(t)=
\left\{
\begin{array}{rl}
0&\text{si } t{<}0\\
\dfrac{t^{3}}{27} &\text{si } t\in[0 ; 3]\\
1&\text{si } t{>}3
\end{array}
\right.
$$
-
\begin{eqnarray*}
E(X)
&=& \int_\R x p(x)\ dx\\
&=& \int_0^{3}\dfrac{3}{27} x^{3}\ dx\\
&=& \dfrac{3}{27} \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{3}\\
&=& \dfrac{3}{27} \dfrac{3^{4}}{4}\\
&=& \dfrac{3}{4}3
\end{eqnarray*}
-
\begin{eqnarray*}
E(X^2)
&=& \int_\R x^2 p(x)\ dx\\
&=& \int_0^{3}\dfrac{3}{27} x^{4}\ dx\\
&=& \dfrac{3}{27} \left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{3}\\
&=& \dfrac{3}{27} \dfrac{3^{5}}{5}\\
&=& \dfrac{3}{5}9
\end{eqnarray*}
- D'après la formule de Koëning, $ V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ où $ V(X)$ est la variance de $ X$ carré de l'écart-type.
\begin{eqnarray*}
V(X)
&=& E(X^2)-E(X)^2\\
&=& \dfrac{3}{5}9-\left(\dfrac{3}{4}3\right)\\
&=& \dfrac{27}{80}
\end{eqnarray*}
Finalement $ \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{27}{80}}$
- Soit $ Y=X^{3}$ .
- Par définition $ F_Y(t)=P(Y{<}t)=P(X^{3}{<}t)=P(X{<}t^{\frac{1}{3}})$ qui n'est définie que lorsque $ t\geqslant 0$ . Finalement
$$
F_Y(t)=F_X\left(t^{\frac{1}{3}}\right)=
\left\{
\begin{array}{rl}
0&\text{si } t^{\frac{1}{3}}{<}0\\
\dfrac{\left(t^{\frac{1}{3}}\right)^{3}}{27} &\text{si } t^{\frac{1}{3}}\in[0 ; 3]\\
1&\text{si } t^{\frac{1}{3}}{>}3
\end{array}
\right\}
=
\left\{
\begin{array}{rl}
0&\text{si } t{<}0\\
\dfrac{t}{27} &\text{si } t\in[0 ; 3^{3}]\\
1&\text{si } t{>}3^{3}
\end{array}
\right.
$$
- La fonction $ q$ , densité de $ Y$ , est la dérivé de $ F_Y$ . On trouve,
$$
q(x)= \dfrac{1}{27} \Un_{[0, 27]}(x)
$$
- On observe que $ Y$ suit la loi uniforme sur $ [0 ; 27]$ .
$$
Y\sim \mathcal{U}_{[0 ; 27]}
$$
- L'espérance de la loi uniforme est le milieu de l'intervale. Sans plus de calcul,
$$
E(Y)= \dfrac{27}{2}
$$
