\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Soit $ p(x)=\alpha x^{4}\Un_{[0, 3]}(x)$ pour un certain réel $ \alpha{>}0$ et $ X$ une variable aléatoire réelle de densité $ p$ .
  1. Déterminer $ \alpha$ pour que $ p$ soit une fonction de densité.
  2. Déterminer, pour tout réel $ t$ , la fonction de répartition de $ X$ , $ F_X(t)$ .
  3. Calculer $ E(X)$ , l'espérance de $ X$ .
  4. Calculer $ E(X^2)$ , l'espérance de $ X^2$ .
  5. En déduire $ \sigma(X)$ l'écart-type de $ X$ .
  6. Soit $ Y=X^{5}$ .
    1. Déterminer, pour tout réel $ t$ , la fonction de répartition de $ Y$ , $ F_Y(t)$ .
    2. En déduire $ q$ la fonction de densité de $ Y$ . On ademettra qu'elle existe.
    3. En déduire la loi de $ Y$ .
    4. Calculer $ E(Y)$ , l'espérance de $ Y$ .
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. Pour que $ p$ soit une fonction de densité, il faut que la fonction $ p$ soit positive ce qui est trivialement le cas, que la fonction $ p$ soit intégrable ce qui est également le cas puisqu'elle est continue par morceau et que $ \dpl{\int_\R p(x)\ dx}=1$ . Cette dernière condition se traduit de la manière suivante : \begin{eqnarray*} 1 &=& \int_\R p(x)\ dx\\ &=& \int_0^{3}\alpha x^{4}\ dx\\ &=& \alpha \left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{3}\\ &=& \alpha \dfrac{3^{5}}{5}\\ &=& \alpha \dfrac{243}{5}\\ \end{eqnarray*} En conslusion, pour que $ p$ soit une fonction de densité, il faut et il suffit que $ \alpha= \dfrac{5}{243}$
  2. Soit $ t\in[0; 3]$ alors : \begin{eqnarray*} F_X(t) &=& P(X{<}t)\\ &=& \int_{-\infty}^t p(x)\ dx\\ &=& \int_0^{t}\dfrac{5}{243} x^{4}\ dx\\ &=& \dfrac{5}{243} \left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{t}\\ &=& \dfrac{5}{243} \dfrac{t^{5}}{5}\\ &=& \dfrac{t^{5}}{243} \end{eqnarray*} En conclusion : $$ F_X(t)= \left\{ \begin{array}{rl} 0&\text{si } t{<}0\\ \dfrac{t^{5}}{243} &\text{si } t\in[0 ; 3]\\ 1&\text{si } t{>}3 \end{array} \right. $$
  3. \begin{eqnarray*} E(X) &=& \int_\R x p(x)\ dx\\ &=& \int_0^{3}\dfrac{5}{243} x^{5}\ dx\\ &=& \dfrac{5}{243} \left[\dfrac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{3}\\ &=& \dfrac{5}{243} \dfrac{3^{6}}{6}\\ &=& \dfrac{5}{6}3 \end{eqnarray*}
  4. \begin{eqnarray*} E(X^2) &=& \int_\R x^2 p(x)\ dx\\ &=& \int_0^{3}\dfrac{5}{243} x^{6}\ dx\\ &=& \dfrac{5}{243} \left[\dfrac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{3}\\ &=& \dfrac{5}{243} \dfrac{3^{7}}{7}\\ &=& \dfrac{5}{7}9 \end{eqnarray*}
  5. D'après la formule de Koëning, $ V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ où $ V(X)$ est la variance de $ X$ carré de l'écart-type. \begin{eqnarray*} V(X) &=& E(X^2)-E(X)^2\\ &=& \dfrac{5}{7}9-\left(\dfrac{5}{6}3\right)\\ &=& \dfrac{45}{252} \end{eqnarray*} Finalement $ \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{45}{252}}$
  6. Soit $ Y=X^{5}$ .
    1. Par définition $ F_Y(t)=P(Y{<}t)=P(X^{5}{<}t)=P(X{<}t^{\frac{1}{5}})$ qui n'est définie que lorsque $ t\geqslant 0$ . Finalement $$ F_Y(t)=F_X\left(t^{\frac{1}{5}}\right)= \left\{ \begin{array}{rl} 0&\text{si } t^{\frac{1}{5}}{<}0\\ \dfrac{\left(t^{\frac{1}{5}}\right)^{5}}{243} &\text{si } t^{\frac{1}{5}}\in[0 ; 3]\\ 1&\text{si } t^{\frac{1}{5}}{>}3 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{rl} 0&\text{si } t{<}0\\ \dfrac{t}{243} &\text{si } t\in[0 ; 3^{5}]\\ 1&\text{si } t{>}3^{5} \end{array} \right. $$
    2. La fonction $ q$ , densité de $ Y$ , est la dérivé de $ F_Y$ . On trouve, $$ q(x)= \dfrac{1}{243} \Un_{[0, 243]}(x) $$
    3. On observe que $ Y$ suit la loi uniforme sur $ [0 ; 243]$ . $$ Y\sim \mathcal{U}_{[0 ; 243]} $$
    4. L'espérance de la loi uniforme est le milieu de l'intervale. Sans plus de calcul, $$ E(Y)= \dfrac{243}{2} $$