\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Soit $ Y$ la loi normale $ \mathcal{N}(\mu,\sigma)$ telle que $ P(Y{<}-7)\simeq0.69146$ et $ P(Y{<}-10)\simeq0.15866$ . Déterminer une valeur approchée de $ \mu$ et $ \sigma$ .
Cliquer ici pour afficher la solution
Soit $ X\sim\mathcal{N}(0, 1)$ . D'après le cours, $ Y=\sigma X+\mu$ . La première condition de l'énoncé se traduit $$0.69146\simeq P(Y{<}-7)=P(\sigma X+\mu{<}-7)=P\left(X{<}\dfrac{-7-\mu}{\sigma}\right) $$ En analysant le tableau de la loi normale, on en déduit que $ \dfrac{-7-\mu}{\sigma}\simeq 0.5$ soit encore $$\boxed{\sigma 0.5+\mu\simeq -7}$$ On raisonne de la même manière pour la seconde donnée. $$0.15866\simeq P(Y{<}-10)=P(\sigma X+\mu{<}-10)=P\left(X{<}\dfrac{-10-\mu}{\sigma}\right) $$ Puisque $ 0.15866{<}0.5$ , on en déduit que $ \dfrac{-10-\mu}{\sigma}{<}0$ . Or on sait que $ P(X{<}-t)=1-P(X\geqslant -t)=1-P(X\leqslant t)$ . Dans notre cas, on en déduit que $ P\left(X{<}-\dfrac{-10-\mu}{\sigma}\right)=1-P\left(X{<}\dfrac{-10-\mu}{\sigma}\right)\simeq0.84134$ . En analysant le tableau de la loi normale, on en déduit que $ -\dfrac{-10-\mu}{\sigma}\simeq 1$ soit encore $$\boxed{\sigma 1-\mu\simeq 10}$$ En additionnant les deux équations trouvées et en factorisant par $ \sigma $ , on arrive à $ \sigma (0.5+ 1)\simeq 3$ soit encore $ \sigma\simeq 2$ . De la même manière, par combinaison entre les deux lignes, on trouve $ \mu\simeq-8$ .