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Soit \( Y\) la loi normale \( \mathcal{N}(\mu,\sigma)\) telle que \( P(Y{<}7)\simeq0.6293\) et \( P(Y{<}5)\simeq0.3707\) . Déterminer une valeur approchée de \( \mu\) et \( \sigma\) .
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Soit \( X\sim\mathcal{N}(0, 1)\) . D'après le cours, \( Y=\sigma X+\mu\) .
La première condition de l'énoncé se traduit
\[0.6293\simeq P(Y{<}7)=P(\sigma X+\mu{<}7)=P\left(X{<}\dfrac{7-\mu}{\sigma}\right) \]
En analysant le tableau de la loi normale, on en déduit que \( \dfrac{7-\mu}{\sigma}\simeq 0.33\) soit encore
\[\boxed{\sigma 0.33+\mu\simeq 7}\]
On raisonne de la même manière pour la seconde donnée.
\[0.3707\simeq P(Y{<}5)=P(\sigma X+\mu{<}5)=P\left(X{<}\dfrac{5-\mu}{\sigma}\right) \]
Puisque \( 0.3707{<}0.5\) , on en déduit que \( \dfrac{5-\mu}{\sigma}{<}0\) . Or on sait que \( P(X{<}-t)=1-P(X\geqslant -t)=1-P(X\leqslant t)\) . Dans notre cas, on en déduit que \( P\left(X{<}-\dfrac{5-\mu}{\sigma}\right)=1-P\left(X{<}\dfrac{5-\mu}{\sigma}\right)\simeq0.6293\) .
En analysant le tableau de la loi normale, on en déduit que \( -\dfrac{5-\mu}{\sigma}\simeq 0.33\) soit encore
\[\boxed{\sigma 0.33-\mu\simeq -5}\]
En additionnant les deux équations trouvées et en factorisant par \( \sigma \) , on arrive à \( \sigma (0.33+ 0.33)\simeq 2\) soit encore \( \sigma\simeq 3\) . De la même manière, par combinaison entre les deux lignes, on trouve \( \mu\simeq6\) .
