\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


Pour chacun des polynômes suivants, calculer son discriminant, déterminer ses racines éventuelles et donner sa forme factorisée.
  1. \( P(x)= x^{2} +10 x +25\)
  2. \( R(x)=-5 x^{2} +\dfrac{115}{2} x -\dfrac{325}{2}\)
  3. \( Q(x)=-2 x^{2} -8 x -26\)
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Exercice


  1. Le discriminant de \( P \) est \( \Delta = \left(10\right)^2-4\left(1\right)\left(25\right)=0\) . Il n'y a alors qu'une seule racine (double) \( x_0= \dfrac{-\left(10\right)}{2\times\left(1\right)}=\dfrac{-10}{2}=-5 \) . Finalement la factorisation donne : \[ P(x)= x^{2} +10 x +25=1\left(x+5\right)^2\]
  2. Le discriminant de \( R \) est \( \Delta = \left(\dfrac{115}{2}\right)^2-4\left(-5\right)\left(-\dfrac{325}{2}\right)=\dfrac{225}{4}{>}0\) . Il y a donc deux solutions : \begin{eqnarray*} \dfrac{-\left(\dfrac{115}{2}\right)-\sqrt{\dfrac{225}{4}}}{2\times\left(-5\right)} &=& \dfrac{-\left(\dfrac{115}{2}\right)-\dfrac{15}{2}}{2\times\left(-5\right)}\\ &=& \dfrac{-\dfrac{115}{2}-\dfrac{15}{2}}{2\times\left(-5\right)}\\ &=& \dfrac{-65}{-10}\\ &=&\dfrac{13}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \dfrac{-\left(\dfrac{115}{2}\right)+\sqrt{\dfrac{225}{4}}}{2\times\left(-5\right)} &=& \dfrac{-\left(\dfrac{115}{2}\right)+\dfrac{15}{2}}{2\times\left(-5\right)}\\ &=& \dfrac{-\dfrac{115}{2}+\dfrac{15}{2}}{2\times\left(-5\right)}\\ &=& \dfrac{-50}{-10}\\ &=&5 \end{eqnarray*} Finalement la factorisation donne : \[ R(x)=-5 x^{2} +\dfrac{115}{2} x -\dfrac{325}{2}=-5\left(x-5\right)\left(x-\dfrac{13}{2}\right)\]
  3. Le discriminant de \( Q \) est \( \Delta = \left(-8\right)^2-4\left(-2\right)\left(-26\right)=-144{<}0\) . Il n'y a donc aucune solution réel et \( Q \) ne se factorise pas en produit de polynôme réel.