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Exercice
Pour chacun des polynômes suivants, calculer son discriminant, déterminer ses racines éventuelles et donner sa forme factorisée.
- \( W(x)=2 x^{2} +12 x +18\)
- \( V(x)=\dfrac{16}{3} x^{2} +\dfrac{160}{3} x +\dfrac{656}{3}\)
- \( U(x)=3 x^{2} +6 x \)
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Exercice
- Le discriminant de \( W \) est \( \Delta = \left(12\right)^2-4\left(2\right)\left(18\right)=0\) . Il n'y a alors qu'une seule racine (double) \( x_0=
\dfrac{-\left(12\right)}{2\times\left(2\right)}=\dfrac{-12}{4}=-3
\) . Finalement la factorisation donne :
\[ W(x)=2 x^{2} +12 x +18=2\left(x+3\right)^2\]
- Le discriminant de \( V \) est \( \Delta = \left(\dfrac{160}{3}\right)^2-4\left(\dfrac{16}{3}\right)\left(\dfrac{656}{3}\right)=-\dfrac{16384}{9}{<}0\) . Il n'y a donc aucune solution réel et \( V \) ne se factorise pas en produit de polynôme réel.
- Le discriminant de \( U \) est \( \Delta = \left(6\right)^2-4\left(3\right)\left(0\right)=36{>}0\) .
Il y a donc deux solutions :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-\left(6\right)-\sqrt{36}}{2\times\left(3\right)}
&=&
\dfrac{-\left(6\right)-6}{2\times\left(3\right)}\\
&=&
\dfrac{-6-6}{2\times\left(3\right)}\\
&=&
\dfrac{-12}{6}\\
&=&-2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-\left(6\right)+\sqrt{36}}{2\times\left(3\right)}
&=&
\dfrac{-\left(6\right)+6}{2\times\left(3\right)}\\
&=&
\dfrac{-6+6}{2\times\left(3\right)}\\
&=&
\dfrac{0}{6}\\
&=&0
\end{eqnarray*}
Finalement la factorisation donne :
\[ U(x)=3 x^{2} +6 x =3\left(x+2\right)\left(x+0\right)\]