Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)

Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.

Exercice

On considère un icosikaidigone. C'est un polygone à 22 cotés. Notons $ u_n $ la longueur de son $ n $ -ième coté pour $ n\in\{1,..., 22\}$ .

La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmétique de raison positive. Le plus grand des cotés mesure $ 28$ centimètres et le plus petit $ 7$ . Que vaut la raison de cette suite ?
La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmétique de raison $ 1$ . Le plus grand des cotés mesure $ 24$ centimètres. Quelle est la longueur du plus petit des cotés ?
La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmétique de raison positive. On sait que $ u_{5}=7$ et que le plus grand des cotés mesure $ 24$ centimètres. Que vaut le plus petit de ses cotés ?
La longueur de chacun des cotés suit une progression géométrique de raison positive. On sait que l'un de ses cotés mesure $ 27$ centimètres et que le suivant messure $ 81$ centimètres. Quelle est la raison de cette suite ?
La longueur de chacun des cotés suit une progression géométrique de raison positive. On sait que $ u_{5}=80$ et que le plus petit des cotés mesure $ 5$ centimètres. Quelle est la longueur de son $ 12$ -ième coté ?
La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmético-géométrique où les coefficients de la raison sont tout deux positifs. Le plus petit des cotés mesure $ 3$ centimètres. On sait de plus que trois cotés consécutifs mesurent respectivement $ 51$ , $ 159$ et $ 483$ centimètres. Quel coté mesure $ 51$ centimètres ?

Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice

Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression arithmétique, on sait que $ u_n=u_1+(n-1)r$ où $ r$ désigne sa raison. En particulier, les données de l'énoncé se traduisent par, d'une part $ u_1=7 $ et d'autre part $ 28=u_{22}=u_1+21r=7+21r$ . Ainsi $ 21r=21$ de sorte que $ r=1$ .
Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression arithmétique, on sait que $ u_n=u_1+(n-1)r=u_1+(n-1)1$ . En particulier, les données de l'énoncé se traduisent alors par $ 24=u_{22}=u_1+21\times1=u_1+21$ . Ainsi $ u_1=3$ qui est donc la longueur du plus petit des cotés.
Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression arithmétique, on sait que $ u_n=u_1+(n-1)r=u_1+(n-1)1$ . En particulier, les données de l'énoncé se traduisent alors par d'une part par $ 7=u_{5}=u_1+4r$ et d'autre par $ 24=u_{22}=u_1+21r$ . En effectuant la différence entre ces deux égalités on arrive à $ 17=17r$ de sorte que $ r=1 $ . En substituant cette valeur on trouve $ 7=u_1+4r=u_1+4\times 1$ et donc $ u_1=3$ est la longueur du plus petit des cotés.
Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression géométrique, on sait que $ u_{n+1}=u_nq $ . On a donc $ 81=27q$ . Trivialement $ q=3$ .
Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression géométrique, on sait que $ u_n=u_1q^{n-1} $ . L'énoncé indique $ u_1=5$ et de plus $ 80=u_{5}=5q^{4}$ de sorte que $ q^{4} = 16$ . Il y a deux solutions à cette équation. Soit $ q= 2$ soit $ q=-2$ . S'agissant de longueur, la progression géométrique est nécessairement de raison positive. Ainsi, nécessairement $ q=2$ . On applique alors la formule $ u_{12}=5\times 2^{11}=10240$ .
La progression étant arithmético-géométrique, on a $ u_{n+1}=au_n+b$ . On a alors $ 159=51a+b$ et $ 483=159a+b$ . Ce système se résout assez facilement et on obtient $ a=3$ et $ b=6$ . Dans ce cas, d'après le cours on sait que la suite $ v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}=u_n+3$ . est une suite géométrique de raison $ 3$ de sorte que $ v_n=3^{n-1}v_1=3^{n-1}\left(u_1+3\right)=6\times3^{n-1}$ . Ainsi $ u_n=6\times3^{n-1}-3$ . Il s'agit à présent de déterminer $ n$ tel que $ u_n=51$ c'est à dire, résoudre $ 51=6\times3^{n-1}-3$ , soit $ 6\times3^{n-1}=51+3=54$ . Ceci implique que $ 3^{n-1}=9$ ce qui donne naturellement $ n-1 =2$ et donc $ n=3$ .