\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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On considère un triacontakaitetragone. C'est un polygone à 34 cotés. Notons $ u_n $ la longueur de son $ n $ -ième coté pour $ n\in\{1,..., 34\}$ .
  1. La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmétique de raison positive. Le plus grand des cotés mesure $ 71$ centimètres et le plus petit $ 5$ . Que vaut la raison de cette suite ?
  2. La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmétique de raison $ 2$ . Le plus grand des cotés mesure $ 69$ centimètres. Quelle est la longueur du plus petit des cotés ?
  3. La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmétique de raison positive. On sait que $ u_{22}=72$ et que le plus grand des cotés mesure $ 108$ centimètres. Que vaut le plus petit de ses cotés ?
  4. La longueur de chacun des cotés suit une progression géométrique de raison positive. On sait que l'un de ses cotés mesure $ 27$ centimètres et que le suivant messure $ 81$ centimètres. Quelle est la raison de cette suite ?
  5. La longueur de chacun des cotés suit une progression géométrique de raison positive. On sait que $ u_{3}=54$ et que le plus petit des cotés mesure $ 6$ centimètres. Quelle est la longueur de son $ 29$ -ième coté ?
  6. La longueur de chacun des cotés suit une progression arithmético-géométrique où les coefficients de la raison sont tout deux positifs. Le plus petit des cotés mesure $ 4$ centimètres. On sait de plus que trois cotés consécutifs mesurent respectivement $ 40$ , $ 121$ et $ 364$ centimètres. Quel coté mesure $ 40$ centimètres ?
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  1. Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression arithmétique, on sait que $ u_n=u_1+(n-1)r$ où $ r$ désigne sa raison. En particulier, les données de l'énoncé se traduisent par, d'une part $ u_1=5 $ et d'autre part $ 71=u_{34}=u_1+33r=5+33r$ . Ainsi $ 33r=66$ de sorte que $ r=2$ .
  2. Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression arithmétique, on sait que $ u_n=u_1+(n-1)r=u_1+(n-1)2$ . En particulier, les données de l'énoncé se traduisent alors par $ 69=u_{34}=u_1+33\times2=u_1+66$ . Ainsi $ u_1=3$ qui est donc la longueur du plus petit des cotés.
  3. Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression arithmétique, on sait que $ u_n=u_1+(n-1)r=u_1+(n-1)3$ . En particulier, les données de l'énoncé se traduisent alors par d'une part par $ 72=u_{22}=u_1+21r$ et d'autre par $ 108=u_{34}=u_1+33r$ . En effectuant la différence entre ces deux égalités on arrive à $ 36=12r$ de sorte que $ r=3 $ . En substituant cette valeur on trouve $ 72=u_1+21r=u_1+21\times 3$ et donc $ u_1=9$ est la longueur du plus petit des cotés.
  4. Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression géométrique, on sait que $ u_{n+1}=u_nq $ . On a donc $ 81=27q$ . Trivialement $ q=3$ .
  5. Puisque les longueurs, c'est à dire les nombres $ u_n$ , suivent une progression géométrique, on sait que $ u_n=u_1q^{n-1} $ . L'énoncé indique $ u_1=6$ et de plus $ 54=u_{3}=6q^{2}$ de sorte que $ q^{2} = 9$ . Il y a deux solutions à cette équation. Soit $ q= 3$ soit $ q=-3$ . S'agissant de longueur, la progression géométrique est nécessairement de raison positive. Ainsi, nécessairement $ q=3$ . On applique alors la formule $ u_{29}=6\times 3^{28}=137260754729766$ .
  6. La progression étant arithmético-géométrique, on a $ u_{n+1}=au_n+b$ . On a alors $ 121=40a+b$ et $ 364=121a+b$ . Ce système se résout assez facilement et on obtient $ a=3$ et $ b=1$ . Dans ce cas, d'après le cours on sait que la suite $ v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}=u_n+\dfrac{1}{2}$ . est une suite géométrique de raison $ 3$ de sorte que $ v_n=3^{n-1}v_1=3^{n-1}\left(u_1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{2}\times3^{n-1}$ . Ainsi $ u_n=\dfrac{9}{2}\times3^{n-1}-\dfrac{1}{2}$ . Il s'agit à présent de déterminer $ n$ tel que $ u_n=40$ c'est à dire, résoudre $ 40=\dfrac{9}{2}\times3^{n-1}-\dfrac{1}{2}$ , soit $ \dfrac{9}{2}\times3^{n-1}=40+\dfrac{1}{2}=\dfrac{81}{2}$ . Ceci implique que $ 3^{n-1}=9$ ce qui donne naturellement $ n-1 =2$ et donc $ n=3$ .