\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Les relations ci-dessous sont données soit par leur matrice booléenne soit par leur représentation sagittale bi-partie.
  1. Pour chacune d'elles, donner la représentation manquante.
    1. $ \mathcal{R}_{1}$
    2. $ \mathcal{R}_{2}$
    3. $ \mathcal{R}_{3}$
    4. $ \mathcal{R}_{4}$ $ \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 1\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 1\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 1\end{array}$
    5. $ \mathcal{R}_{5}$ $ \begin{array}{c|*{5}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} & y_{5}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\\hline x_{2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$
    6. $ \mathcal{R}_{6}$
  2. Complétez le tableau suivant avec $ V $ (pour vrai) si la propriété indiquée en colonne est satisfaite par la relation définie en ligne. Mettre $ F $ (pour faux) dans le cas contraire. $$ \begin{array}{|c|*{5}{|c}|} \hline\hline & Fonction & Application & Injection & Surjection & Bijection\\\hline\hline \mathcal{R}_{1}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{2}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{3}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{4}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{5}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{6}&&&&& \\\hline \end{array} $$
  3. Justifiez vos résultats concernant la relation $ \mathcal{R}_{2} $ .
Cliquer ici pour afficher la solution
    1. $ \mathcal{R}_{1}$ $ \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{2} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 0\end{array}$
    2. $ \mathcal{R}_{2}$ $ \begin{array}{c|*{4}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 1 & 0 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 0 & 1\\\hline x_{4} & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$
    3. $ \mathcal{R}_{3}$ $ \begin{array}{c|*{4}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 0 & 1\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}$
    4. $ \mathcal{R}_{4}$ $ \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 1\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 1\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 1\end{array}$
    5. $ \mathcal{R}_{5}$ $ \begin{array}{c|*{5}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} & y_{5}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\\hline x_{2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$
    6. $ \mathcal{R}_{6}$ $ \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 1\\\hline x_{3} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{4} & 0 & 0 & 1\end{array}$
  1. $$ \begin{array}{|c|*{5}{|c}|} \hline\hline & Fonction & Application & Injection & Surjection & Bijection\\\hline\hline\mathcal{R}_{1}&V&F&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{2}&V&V&V&V&V \\\hline\mathcal{R}_{3}&V&V&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{4}&F&F&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{5}&V&V&V&F&F \\\hline\mathcal{R}_{6}&V&V&F&V&F \\\hline\end{array} $$
  2. $ \rightarrow$
    On observe que chaque élément de $ X $ possède au plus une image. La relation est donc une fonction.

    $ \rightarrow$
    On observe que chaque élément de $ X $ possède exactement une unique image. La relation est donc une application.

    $ \rightarrow$
    On observe que chaque élément de $ Y $ possède au plus un antécédent. L'application est donc injective.

    $ \rightarrow$
    On observe que chaque élément de $ Y $ possède exactement un antécédent. L'application est donc surjective.

    $ \rightarrow$
    Comme la relation est une injection et une surjection elle est une bijection.