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Exercice
Les relations ci-dessous sont données soit par leur matrice booléenne soit par leur représentation sagittale bi-partie.
- Pour chacune d'elles, donner la représentation manquante.
- \( \mathcal{R}_{1}\)
- \( \mathcal{R}_{2}\) \( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{3} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{4} & 0 & 0 & 1\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{3}\)
- \( \mathcal{R}_{4}\) \( \begin{array}{c|*{2}{|c}} & y_{1} & y_{2}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1\\\hline x_{2} & 0 & 1\\\hline x_{3} & 0 & 1\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{5}\)
- \( \mathcal{R}_{6}\)
Complétez le tableau suivant avec \( V \) (pour vrai) si la propriété indiquée en colonne est satisfaite par la relation définie en ligne. Mettre \( F \) (pour faux) dans le cas contraire.
\[
\begin{array}{|c|*{5}{|c}|}
\hline\hline
& Fonction & Application & Injection & Surjection & Bijection\\\hline\hline
\mathcal{R}_{1}&&&&& \\\hline
\mathcal{R}_{2}&&&&& \\\hline
\mathcal{R}_{3}&&&&& \\\hline
\mathcal{R}_{4}&&&&& \\\hline
\mathcal{R}_{5}&&&&& \\\hline
\mathcal{R}_{6}&&&&& \\\hline
\end{array}
\]
Justifiez vos résultats concernant la relation \( \mathcal{R}_{4} \) .
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Exercice
-
- \( \mathcal{R}_{1}\)
\( \begin{array}{c|*{2}{|c}} & y_{1} & y_{2}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1\\\hline x_{2} & 1 & 0\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{2}\) \( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{3} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{4} & 0 & 0 & 1\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{3}\)
\( \begin{array}{c|*{1}{|c}} & y_{1}\\\hline\hline x_{1} & 0\\\hline x_{2} & 1\\\hline x_{3} & 0\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{4}\) \( \begin{array}{c|*{2}{|c}} & y_{1} & y_{2}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1\\\hline x_{2} & 0 & 1\\\hline x_{3} & 0 & 1\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{5}\)
\( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 1\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 1\\\hline x_{3} & 0 & 1 & 1\end{array}\)
- \( \mathcal{R}_{6}\)
\( \begin{array}{c|*{5}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} & y_{5}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\)
\[
\begin{array}{|c|*{5}{|c}|}
\hline\hline
& Fonction & Application & Injection & Surjection & Bijection\\\hline\hline\mathcal{R}_{1}&V&V&V&V&V \\\hline\mathcal{R}_{2}&V&V&F&V&F \\\hline\mathcal{R}_{3}&V&F&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{4}&V&V&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{5}&F&F&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{6}&V&V&V&F&F \\\hline\end{array}
\]
- \( \rightarrow\)
- On observe que chaque élément de \( X \) possède au plus une image. La relation est donc une fonction.
- \( \rightarrow\)
- On observe que chaque élément de \( X \) possède exactement une unique image. La relation est donc une application.
- \( \rightarrow\)
- On observe que l'élément \( y_{2}\in Y \) possède plus d'un antécédent. L'application n'est donc pas injective.
- \( \rightarrow\)
- On observe que l'élément \( y_{1}\in Y \) ne possède pas d'antécédent. L'application n'est donc pas surjective.
- \( \rightarrow\)
- La relation n'étant ni une injection ni une surjection, elle n'est pas une bijection