\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)
Exercice

L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.


Exercice


Les relations ci-dessous sont données soit par leur matrice booléenne soit par leur représentation sagittale bi-partie.
  1. Pour chacune d'elles, donner la représentation manquante.
    1. \( \mathcal{R}_{1}\)
    2. \( \mathcal{R}_{2}\)
    3. \( \mathcal{R}_{3}\)
    4. \( \mathcal{R}_{4}\)
    5. \( \mathcal{R}_{5}\) \( \begin{array}{c|*{4}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\)
    6. \( \mathcal{R}_{6}\) \( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 1\\\hline x_{4} & 1 & 0 & 0\end{array}\)
  2. Complétez le tableau suivant avec \( V \) (pour vrai) si la propriété indiquée en colonne est satisfaite par la relation définie en ligne. Mettre \( F \) (pour faux) dans le cas contraire. \[ \begin{array}{|c|*{5}{|c}|} \hline\hline & Fonction & Application & Injection & Surjection & Bijection\\\hline\hline \mathcal{R}_{1}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{2}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{3}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{4}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{5}&&&&& \\\hline \mathcal{R}_{6}&&&&& \\\hline \end{array} \]
  3. Justifiez vos résultats concernant la relation \( \mathcal{R}_{4} \) .
Cliquer ici pour afficher la solution

Exercice


    1. \( \mathcal{R}_{1}\) \( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{3} & 1 & 0 & 0\end{array}\)
    2. \( \mathcal{R}_{2}\) \( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 1\end{array}\)
    3. \( \mathcal{R}_{3}\) \( \begin{array}{c|*{1}{|c}} & y_{1}\\\hline\hline x_{1} & 0\\\hline x_{2} & 0\\\hline x_{3} & 1\end{array}\)
    4. \( \mathcal{R}_{4}\) \( \begin{array}{c|*{2}{|c}} & y_{1} & y_{2}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1\\\hline x_{2} & 1 & 0\end{array}\)
    5. \( \mathcal{R}_{5}\) \( \begin{array}{c|*{4}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4}\\\hline\hline x_{1} & 0 & 1 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\)
    6. \( \mathcal{R}_{6}\) \( \begin{array}{c|*{3}{|c}} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\\hline\hline x_{1} & 1 & 0 & 0\\\hline x_{2} & 0 & 1 & 0\\\hline x_{3} & 0 & 0 & 1\\\hline x_{4} & 1 & 0 & 0\end{array}\)
  1. \[ \begin{array}{|c|*{5}{|c}|} \hline\hline & Fonction & Application & Injection & Surjection & Bijection\\\hline\hline\mathcal{R}_{1}&V&V&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{2}&F&F&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{3}&V&F&F&F&F \\\hline\mathcal{R}_{4}&V&V&V&V&V \\\hline\mathcal{R}_{5}&V&V&V&F&F \\\hline\mathcal{R}_{6}&V&V&F&V&F \\\hline\end{array} \]
  2. \( \rightarrow\)
    On observe que chaque élément de \( X \) possède au plus une image. La relation est donc une fonction.

    \( \rightarrow\)
    On observe que chaque élément de \( X \) possède exactement une unique image. La relation est donc une application.

    \( \rightarrow\)
    On observe que chaque élément de \( Y \) possède au plus un antécédent. L'application est donc injective.

    \( \rightarrow\)
    On observe que chaque élément de \( Y \) possède exactement un antécédent. L'application est donc surjective.

    \( \rightarrow\)
    Comme la relation est une injection et une surjection elle est une bijection.