\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ -\dfrac{7}{2} & 5 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 3 & -2 & \dfrac{7}{2} & -3 & \dfrac{2}{5} & -3 \\ \dfrac{15}{4} & -\dfrac{17}{2} & -1 & 0 & \dfrac{7}{2} & 0\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (5, 1)\) et \( (4, 2)\) : \( \widehat{A}_{5, 1}=\) \( \widehat{A}_{4, 2}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 0 & 10 & \dfrac{13}{3} & -3 & \dfrac{7}{3} & -6 \\ 0 & 17 & 13 & -15 & -3 & -10 \\ 0 & -\dfrac{25}{2} & -\dfrac{85}{6} & \dfrac{37}{2} & -\dfrac{7}{6} & \dfrac{31}{2} \\ 0 & 13 & \dfrac{33}{2} & -18 & \dfrac{7}{5} & -12 \\ 0 & \dfrac{41}{4} & \dfrac{61}{4} & -\dfrac{75}{4} & \dfrac{19}{4} & -\dfrac{45}{4}\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{5, 6}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{7}{cr}} &x&-&5y &-&\dfrac{13}{3}z &+&5t &-&\dfrac{1}{3}u &+&3v &=&8\\ &x&+&5y &&&+&2t &+&2u &-&3v &=&8\\ &3x&+&2y &&&&&-&4u &-&v &=&-\dfrac{47}{8}\\ &-\dfrac{7}{2}x&+&5y &+&z &+&t &&&+&5v &=&-6\\ &3x&-&2y &+&\dfrac{7}{2}z &-&3t &+&\dfrac{2}{5}u &-&3v &=&9\\ &\dfrac{15}{4}x&-&\dfrac{17}{2}y &-&z &&&+&\dfrac{7}{2}u &&&=&8\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{7}{cr}} &-\dfrac{72339}{717392}x&+&\dfrac{4021}{55184}y &+&\dfrac{177029}{717392}z &+&\dfrac{73429}{717392}t &-&\dfrac{7655}{89674}u &+&\dfrac{86279}{358696}v &=&-1\\ &-\dfrac{11463}{89674}x&+&\dfrac{495}{6898}y &+&\dfrac{10131}{89674}z &+&\dfrac{4845}{89674}t &-&\dfrac{6600}{44837}u &+&\dfrac{4159}{44837}v &=&5\\ &\dfrac{205209}{717392}x&+&\dfrac{1185}{55184}y &-&\dfrac{127503}{717392}z &+&\dfrac{89985}{717392}t &+&\dfrac{47785}{89674}u &-&\dfrac{89333}{358696}v &=&-8\\ &\dfrac{541599}{1434784}x&+&\dfrac{12247}{110368}y &-&\dfrac{245081}{1434784}z &+&\dfrac{49847}{1434784}t &+&\dfrac{68395}{179348}u &-&\dfrac{191011}{717392}v &=&5\\ &-\dfrac{173145}{1434784}x&+&\dfrac{11295}{110368}y &-&\dfrac{58545}{1434784}z &+&\dfrac{82335}{1434784}t &-&\dfrac{20405}{179348}u &+&\dfrac{130645}{717392}v &=&-\dfrac{23}{9}\\ &-\dfrac{54135}{717392}x&-&\dfrac{2607}{55184}y &+&\dfrac{92881}{717392}z &+&\dfrac{133137}{717392}t &-&\dfrac{8555}{89674}u &+&\dfrac{64091}{358696}v &=&-5\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{5, 1}=\begin{pmatrix}-5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 5 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ 5 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ -\dfrac{17}{2} & -1 & 0 & \dfrac{7}{2} & 0\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{4, 2}=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ 3 & \dfrac{7}{2} & -3 & \dfrac{2}{5} & -3 \\ \dfrac{15}{4} & -1 & 0 & \dfrac{7}{2} & 0\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(1\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(3\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-\dfrac{7}{2}\right)L_1\) , \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(3\right)L_1\) et \( L_{6}\leftarrow L_{6}-\left(\dfrac{15}{4}\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 0 & 10 & \dfrac{13}{3} & -3 & \dfrac{7}{3} & -6 \\ 0 & 17 & 13 & -15 & -3 & -10 \\ 0 & -\dfrac{25}{2} & -\dfrac{85}{6} & \dfrac{37}{2} & -\dfrac{7}{6} & \dfrac{31}{2} \\ 0 & 13 & \dfrac{33}{2} & -18 & \dfrac{7}{5} & -12 \\ 0 & \dfrac{41}{4} & \dfrac{61}{4} & -\dfrac{75}{4} & \dfrac{19}{4} & -\dfrac{45}{4}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}10 & \dfrac{13}{3} & -3 & \dfrac{7}{3} & -6 \\ 17 & 13 & -15 & -3 & -10 \\ -\dfrac{25}{2} & -\dfrac{85}{6} & \dfrac{37}{2} & -\dfrac{7}{6} & \dfrac{31}{2} \\ 13 & \dfrac{33}{2} & -18 & \dfrac{7}{5} & -12 \\ \dfrac{41}{4} & \dfrac{61}{4} & -\dfrac{75}{4} & \dfrac{19}{4} & -\dfrac{45}{4}\end{pmatrix}\\ &=&\dfrac{179348}{15} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(\dfrac{179348}{15}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ -\dfrac{7}{2} & 5 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 3 & -2 & \dfrac{7}{2} & -3 & \dfrac{2}{5} & -3 \\ \dfrac{15}{4} & -\dfrac{17}{2} & -1 & 0 & \dfrac{7}{2} & 0\end{pmatrix} =\dfrac{15}{179348}\begin{pmatrix}-\dfrac{12973854972}{10760880} & \dfrac{52273}{60} & \dfrac{31749797092}{10760880} & \dfrac{13169344292}{10760880} & -\dfrac{3062}{3} & \dfrac{15473966092}{5380440} \\ -\dfrac{7642}{5} & 858 & \dfrac{6754}{5} & 646 & -1760 & \dfrac{16636}{15} \\ \dfrac{36803823732}{10760880} & \dfrac{1027}{4} & -\dfrac{22867408044}{10760880} & \dfrac{16138629780}{10760880} & \dfrac{8570144180}{1345110} & -\dfrac{16021694884}{5380440} \\ \dfrac{97134697452}{21521760} & \dfrac{2196474956}{1655520} & -\dfrac{43954787188}{21521760} & \dfrac{8939959756}{21521760} & \dfrac{12266506460}{2690220} & -\dfrac{34257440828}{10760880} \\ -\dfrac{31053209460}{21521760} & \dfrac{9789}{8} & -\dfrac{10499928660}{21521760} & \dfrac{14766617580}{21521760} & -\dfrac{3659595940}{2690220} & \dfrac{23430919460}{10760880} \\ -\dfrac{9709003980}{10760880} & -\dfrac{11297}{20} & \dfrac{16658021588}{10760880} & \dfrac{23877854676}{10760880} & -\dfrac{3422}{3} & \dfrac{11494592668}{5380440}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{72339}{717392} & \dfrac{4021}{55184} & \dfrac{177029}{717392} & \dfrac{73429}{717392} & -\dfrac{7655}{89674} & \dfrac{86279}{358696} \\ -\dfrac{11463}{89674} & \dfrac{495}{6898} & \dfrac{10131}{89674} & \dfrac{4845}{89674} & -\dfrac{6600}{44837} & \dfrac{4159}{44837} \\ \dfrac{205209}{717392} & \dfrac{1185}{55184} & -\dfrac{127503}{717392} & \dfrac{89985}{717392} & \dfrac{47785}{89674} & -\dfrac{89333}{358696} \\ \dfrac{541599}{1434784} & \dfrac{12247}{110368} & -\dfrac{245081}{1434784} & \dfrac{49847}{1434784} & \dfrac{68395}{179348} & -\dfrac{191011}{717392} \\ -\dfrac{173145}{1434784} & \dfrac{11295}{110368} & -\dfrac{58545}{1434784} & \dfrac{82335}{1434784} & -\dfrac{20405}{179348} & \dfrac{130645}{717392} \\ -\dfrac{54135}{717392} & -\dfrac{2607}{55184} & \dfrac{92881}{717392} & \dfrac{133137}{717392} & -\dfrac{8555}{89674} & \dfrac{64091}{358696}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{5, 6}=B_{5, 6}= \left(\dfrac{179348}{15}\right)^{-1}Co(A)_{6, 5}= \left(\dfrac{179348}{15}\right)^{-1}\times(-1)^{6+5}\det\begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ -\dfrac{7}{2} & 5 & 1 & 1 & 5 \\ 3 & -2 & \dfrac{7}{2} & -3 & -3\end{pmatrix}=\dfrac{130645}{717392}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ -\dfrac{7}{2} & 5 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 3 & -2 & \dfrac{7}{2} & -3 & \dfrac{2}{5} & -3 \\ \dfrac{15}{4} & -\dfrac{17}{2} & -1 & 0 & \dfrac{7}{2} & 0\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{7}{cr}} &x&-&5y &-&\dfrac{13}{3}z &+&5t &-&\dfrac{1}{3}u &+&3v &=&8\\ &x&+&5y &&&+&2t &+&2u &-&3v &=&8\\ &3x&+&2y &&&&&-&4u &-&v &=&-\dfrac{47}{8}\\ &-\dfrac{7}{2}x&+&5y &+&z &+&t &&&+&5v &=&-6\\ &3x&-&2y &+&\dfrac{7}{2}z &-&3t &+&\dfrac{2}{5}u &-&3v &=&9\\ &\dfrac{15}{4}x&-&\dfrac{17}{2}y &-&z &&&+&\dfrac{7}{2}u &&&=&8\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}8 \\ 8 \\ -\dfrac{47}{8} \\ -6 \\ 9 \\ 8\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}-\dfrac{72339}{717392} & \dfrac{4021}{55184} & \dfrac{177029}{717392} & \dfrac{73429}{717392} & -\dfrac{7655}{89674} & \dfrac{86279}{358696} \\ -\dfrac{11463}{89674} & \dfrac{495}{6898} & \dfrac{10131}{89674} & \dfrac{4845}{89674} & -\dfrac{6600}{44837} & \dfrac{4159}{44837} \\ \dfrac{205209}{717392} & \dfrac{1185}{55184} & -\dfrac{127503}{717392} & \dfrac{89985}{717392} & \dfrac{47785}{89674} & -\dfrac{89333}{358696} \\ \dfrac{541599}{1434784} & \dfrac{12247}{110368} & -\dfrac{245081}{1434784} & \dfrac{49847}{1434784} & \dfrac{68395}{179348} & -\dfrac{191011}{717392} \\ -\dfrac{173145}{1434784} & \dfrac{11295}{110368} & -\dfrac{58545}{1434784} & \dfrac{82335}{1434784} & -\dfrac{20405}{179348} & \dfrac{130645}{717392} \\ -\dfrac{54135}{717392} & -\dfrac{2607}{55184} & \dfrac{92881}{717392} & \dfrac{133137}{717392} & -\dfrac{8555}{89674} & \dfrac{64091}{358696}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}8 \\ 8 \\ -\dfrac{47}{8} \\ -6 \\ 9 \\ 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{4.1997980477972E+26}{3.7111856965087E+26} \\ -\dfrac{5.8543916921658E+24}{2.8993638253974E+24} \\ \dfrac{2.0616472346174E+27}{3.7111856965087E+26} \\ \dfrac{1.9676165015253E+33}{3.2767691436182E+32} \\ \dfrac{5.9520995365986E+31}{3.2767691436182E+32} \\ -\dfrac{8.479899750312E+26}{3.7111856965087E+26}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{4.1997980477972E+26}{3.7111856965087E+26}\) , \( y=\dfrac{5.8543916921658E+24}{2.8993638253974E+24}\) , \( z=\dfrac{2.0616472346174E+27}{3.7111856965087E+26}\) , \( t=\dfrac{1.9676165015253E+33}{3.2767691436182E+32}\) , \( u=\dfrac{5.9520995365986E+31}{3.2767691436182E+32}\) et \( v=\dfrac{8.479899750312E+26}{3.7111856965087E+26}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{7}{cr}} &-\dfrac{72339}{717392}x&+&\dfrac{4021}{55184}y &+&\dfrac{177029}{717392}z &+&\dfrac{73429}{717392}t &-&\dfrac{7655}{89674}u &+&\dfrac{86279}{358696}v &=&-1\\ &-\dfrac{11463}{89674}x&+&\dfrac{495}{6898}y &+&\dfrac{10131}{89674}z &+&\dfrac{4845}{89674}t &-&\dfrac{6600}{44837}u &+&\dfrac{4159}{44837}v &=&5\\ &\dfrac{205209}{717392}x&+&\dfrac{1185}{55184}y &-&\dfrac{127503}{717392}z &+&\dfrac{89985}{717392}t &+&\dfrac{47785}{89674}u &-&\dfrac{89333}{358696}v &=&-8\\ &\dfrac{541599}{1434784}x&+&\dfrac{12247}{110368}y &-&\dfrac{245081}{1434784}z &+&\dfrac{49847}{1434784}t &+&\dfrac{68395}{179348}u &-&\dfrac{191011}{717392}v &=&5\\ &-\dfrac{173145}{1434784}x&+&\dfrac{11295}{110368}y &-&\dfrac{58545}{1434784}z &+&\dfrac{82335}{1434784}t &-&\dfrac{20405}{179348}u &+&\dfrac{130645}{717392}v &=&-\dfrac{23}{9}\\ &-\dfrac{54135}{717392}x&-&\dfrac{2607}{55184}y &+&\dfrac{92881}{717392}z &+&\dfrac{133137}{717392}t &-&\dfrac{8555}{89674}u &+&\dfrac{64091}{358696}v &=&-5\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -8 \\ 5 \\ -\dfrac{23}{9} \\ -5\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & -5 & -\dfrac{13}{3} & 5 & -\dfrac{1}{3} & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ -\dfrac{7}{2} & 5 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 3 & -2 & \dfrac{7}{2} & -3 & \dfrac{2}{5} & -3 \\ \dfrac{15}{4} & -\dfrac{17}{2} & -1 & 0 & \dfrac{7}{2} & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \\ -8 \\ 5 \\ -\dfrac{23}{9} \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{527}{27} \\ \dfrac{395}{9} \\ \dfrac{200}{9} \\ \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1891}{45} \\ -\dfrac{1699}{36}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{527}{27}\) , \( y=\dfrac{395}{9}\) , \( z=\dfrac{200}{9}\) , \( t=\dfrac{1}{2}\) , \( u=\dfrac{1891}{45}\) et \( v=\dfrac{1699}{36}\)