\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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On considère la matrice $$ A= \begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} & 5 \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -4 & -\dfrac{9}{2} \\ -4 & 3 & \dfrac{13}{4} & -\dfrac{9}{5} & -3 \\ 5 & \dfrac{8}{3} & -1 & 4 & -\dfrac{8}{3} \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -5 & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}$$
  1. Donner les mineurs d'ordre $ (3, 5)$ et $ (1, 5)$ : $ \widehat{A}_{3, 5}=$ $ \widehat{A}_{1, 5}=$
  2. Expliquer pourquoi $ \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} & 5 \\ 0 & -\dfrac{37}{3} & -\dfrac{19}{3} & -\dfrac{23}{2} & \dfrac{23}{6} \\ 0 & -11 & -\dfrac{19}{4} & -\dfrac{99}{5} & 17 \\ 0 & \dfrac{121}{6} & 9 & \dfrac{53}{2} & -\dfrac{83}{3} \\ 0 & \dfrac{5}{4} & -6 & -\dfrac{29}{4} & \dfrac{17}{10}\end{pmatrix} $
  3. Calculer $ \det(A)$ .
  4. Pourquoi la matrice $ A $ est inversible.
  5. Donner $ B=A^{-1}$ l'inverse de la matrice $ A $ , en ne détaillant que le calcul de $ A^{-1}_{4, 4}$ .
  6. Donner $ B^{-1}$ l'inverse de la matrice $ B$ . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. $ \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&\dfrac{7}{2}y &-&2z &-&\dfrac{9}{2}t &+&5u &=&3\\ &-\dfrac{5}{3}x&-&\dfrac{13}{2}y &-&3z &-&4t &-&\dfrac{9}{2}u &=&-5\\ &-4x&+&3y &+&\dfrac{13}{4}z &-&\dfrac{9}{5}t &-&3u &=&-4\\ &5x&+&\dfrac{8}{3}y &-&z &+&4t &-&\dfrac{8}{3}u &=&-1\\ &-\dfrac{1}{2}x&+&3y &-&5z &-&5t &-&\dfrac{4}{5}u &=&-5\\ \end{array} \right. $
  8. Résoudre le système suivant. $ \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{85228}{360273}x&+&\dfrac{2296}{120091}y &+&\dfrac{364880}{2521911}z &+&\dfrac{225490}{840637}t &-&\dfrac{7890}{120091}u &=&7\\ &-\dfrac{37495}{2161638}x&-&\dfrac{27914}{360273}y &+&\dfrac{699535}{15131466}z &+&\dfrac{454427}{20175288}t &+&\dfrac{37935}{480364}u &=&-\dfrac{77}{8}\\ &\dfrac{69190}{360273}x&-&\dfrac{368}{120091}y &+&\dfrac{86690}{360273}z &+&\dfrac{33251}{240182}t &-&\dfrac{17565}{120091}u &=&-6\\ &-\dfrac{492965}{2161638}x&-&\dfrac{11290}{360273}y &-&\dfrac{3218095}{15131466}z &-&\dfrac{2725595}{20175288}t &-&\dfrac{575}{480364}u &=&-7\\ &\dfrac{26195}{2161638}x&-&\dfrac{31520}{360273}y &-&\dfrac{1388075}{15131466}z &-&\dfrac{2100055}{20175288}t &+&\dfrac{4245}{480364}u &=&-1\\ \end{array} \right. $
Cliquer ici pour afficher la solution
  1. $ \widehat{A}_{3, 5}=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -4 \\ 5 & \dfrac{8}{3} & -1 & 4 \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -5\end{pmatrix}$ $ \widehat{A}_{1, 5}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -4 \\ -4 & 3 & \dfrac{13}{4} & -\dfrac{9}{5} \\ 5 & \dfrac{8}{3} & -1 & 4 \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -5\end{pmatrix}$
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice $ A$ et on a fait : $ L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(-\dfrac{5}{3}\right)L_1$ , $ L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-4\right)L_1$ , $ L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(5\right)L_1$ et $ L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)L_1$
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} & 5 \\ 0 & -\dfrac{37}{3} & -\dfrac{19}{3} & -\dfrac{23}{2} & \dfrac{23}{6} \\ 0 & -11 & -\dfrac{19}{4} & -\dfrac{99}{5} & 17 \\ 0 & \dfrac{121}{6} & 9 & \dfrac{53}{2} & -\dfrac{83}{3} \\ 0 & \dfrac{5}{4} & -6 & -\dfrac{29}{4} & \dfrac{17}{10}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-\dfrac{37}{3} & -\dfrac{19}{3} & -\dfrac{23}{2} & \dfrac{23}{6} \\ -11 & -\dfrac{19}{4} & -\dfrac{99}{5} & 17 \\ \dfrac{121}{6} & 9 & \dfrac{53}{2} & -\dfrac{83}{3} \\ \dfrac{5}{4} & -6 & -\dfrac{29}{4} & \dfrac{17}{10}\end{pmatrix}\\ &=&\dfrac{840637}{100} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de $ A$ est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours $ B=A^{-1}=\left(\dfrac{840637}{100}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} & 5 \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -4 & -\dfrac{9}{2} \\ -4 & 3 & \dfrac{13}{4} & -\dfrac{9}{5} & -3 \\ 5 & \dfrac{8}{3} & -1 & 4 & -\dfrac{8}{3} \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -5 & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix} =\dfrac{100}{840637}\begin{pmatrix}\dfrac{71645810236}{36027300} & \dfrac{4018}{25} & \dfrac{306731628560}{252191100} & \dfrac{189555237130}{84063700} & -\dfrac{6632625930}{12009100} \\ -\dfrac{31519684315}{216163800} & -\dfrac{23465541218}{36027300} & \dfrac{588055003795}{1513146600} & \dfrac{382008149999}{2017528800} & \dfrac{31889564595}{48036400} \\ \dfrac{58163674030}{36027300} & -\dfrac{644}{25} & \dfrac{72874821530}{36027300} & \dfrac{27952020887}{24018200} & -\dfrac{14765788905}{12009100} \\ -\dfrac{414404618705}{216163800} & -\dfrac{9490791730}{36027300} & -\dfrac{2705249726515}{1513146600} & -\dfrac{2291236004015}{2017528800} & -\dfrac{161}{16} \\ \dfrac{22020486215}{216163800} & -\dfrac{26496878240}{36027300} & -\dfrac{1166867203775}{1513146600} & -\dfrac{1765383935035}{2017528800} & \dfrac{3568504065}{48036400}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{85228}{360273} & \dfrac{2296}{120091} & \dfrac{364880}{2521911} & \dfrac{225490}{840637} & -\dfrac{7890}{120091} \\ -\dfrac{37495}{2161638} & -\dfrac{27914}{360273} & \dfrac{699535}{15131466} & \dfrac{454427}{20175288} & \dfrac{37935}{480364} \\ \dfrac{69190}{360273} & -\dfrac{368}{120091} & \dfrac{86690}{360273} & \dfrac{33251}{240182} & -\dfrac{17565}{120091} \\ -\dfrac{492965}{2161638} & -\dfrac{11290}{360273} & -\dfrac{3218095}{15131466} & -\dfrac{2725595}{20175288} & -\dfrac{575}{480364} \\ \dfrac{26195}{2161638} & -\dfrac{31520}{360273} & -\dfrac{1388075}{15131466} & -\dfrac{2100055}{20175288} & \dfrac{4245}{480364}\end{pmatrix}$ . Précisément on a calculé $ A^{-1}_{4, 4}=B_{4, 4}= \left(\dfrac{840637}{100}\right)^{-1}Co(A)_{4, 4}= \left(\dfrac{840637}{100}\right)^{-1}\times(-1)^{4+4}\det\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & 5 \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -\dfrac{9}{2} \\ -4 & 3 & \dfrac{13}{4} & -3 \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}=-\dfrac{2725595}{20175288}$ .
  6. On observe que $ B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ . Trivialement, et sans calcul, $$ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} & 5 \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -4 & -\dfrac{9}{2} \\ -4 & 3 & \dfrac{13}{4} & -\dfrac{9}{5} & -3 \\ 5 & \dfrac{8}{3} & -1 & 4 & -\dfrac{8}{3} \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -5 & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}$$
  7. Le système $ \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&\dfrac{7}{2}y &-&2z &-&\dfrac{9}{2}t &+&5u &=&3\\ &-\dfrac{5}{3}x&-&\dfrac{13}{2}y &-&3z &-&4t &-&\dfrac{9}{2}u &=&-5\\ &-4x&+&3y &+&\dfrac{13}{4}z &-&\dfrac{9}{5}t &-&3u &=&-4\\ &5x&+&\dfrac{8}{3}y &-&z &+&4t &-&\dfrac{8}{3}u &=&-1\\ &-\dfrac{1}{2}x&+&3y &-&5z &-&5t &-&\dfrac{4}{5}u &=&-5\\ \end{array} \right.$ est équivalent à l'équation $ AX=a$ où la matrice $ A$ est celle de l'énoncé, $ X$ la matrice colonne des indéterminés et $ a=\begin{pmatrix}3 \\ -5 \\ -4 \\ -1 \\ -5\end{pmatrix}$ de sorte que la solution est $ X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{85228}{360273} & \dfrac{2296}{120091} & \dfrac{364880}{2521911} & \dfrac{225490}{840637} & -\dfrac{7890}{120091} \\ -\dfrac{37495}{2161638} & -\dfrac{27914}{360273} & \dfrac{699535}{15131466} & \dfrac{454427}{20175288} & \dfrac{37935}{480364} \\ \dfrac{69190}{360273} & -\dfrac{368}{120091} & \dfrac{86690}{360273} & \dfrac{33251}{240182} & -\dfrac{17565}{120091} \\ -\dfrac{492965}{2161638} & -\dfrac{11290}{360273} & -\dfrac{3218095}{15131466} & -\dfrac{2725595}{20175288} & -\dfrac{575}{480364} \\ \dfrac{26195}{2161638} & -\dfrac{31520}{360273} & -\dfrac{1388075}{15131466} & -\dfrac{2100055}{20175288} & \dfrac{4245}{480364}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3 \\ -5 \\ -4 \\ -1 \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{3.5112323302281E+26}{3.6717207246226E+27} \\ -\dfrac{5.080969556029E+30}{1.9034200236444E+31} \\ \dfrac{3.3248610726208E+25}{1.4986615202541E+26} \\ \dfrac{8.8378736319038E+30}{1.9034200236444E+31} \\ \dfrac{1.7143018973807E+31}{1.9034200236444E+31}\end{pmatrix}$ . Ainsi $ x=\dfrac{3.5112323302281E+26}{3.6717207246226E+27}$ , $ y=\dfrac{5.080969556029E+30}{1.9034200236444E+31}$ , $ z=\dfrac{3.3248610726208E+25}{1.4986615202541E+26}$ , $ t=\dfrac{8.8378736319038E+30}{1.9034200236444E+31}$ et $ u=\dfrac{1.7143018973807E+31}{1.9034200236444E+31}$
  8. Le système $ \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{85228}{360273}x&+&\dfrac{2296}{120091}y &+&\dfrac{364880}{2521911}z &+&\dfrac{225490}{840637}t &-&\dfrac{7890}{120091}u &=&7\\ &-\dfrac{37495}{2161638}x&-&\dfrac{27914}{360273}y &+&\dfrac{699535}{15131466}z &+&\dfrac{454427}{20175288}t &+&\dfrac{37935}{480364}u &=&-\dfrac{77}{8}\\ &\dfrac{69190}{360273}x&-&\dfrac{368}{120091}y &+&\dfrac{86690}{360273}z &+&\dfrac{33251}{240182}t &-&\dfrac{17565}{120091}u &=&-6\\ &-\dfrac{492965}{2161638}x&-&\dfrac{11290}{360273}y &-&\dfrac{3218095}{15131466}z &-&\dfrac{2725595}{20175288}t &-&\dfrac{575}{480364}u &=&-7\\ &\dfrac{26195}{2161638}x&-&\dfrac{31520}{360273}y &-&\dfrac{1388075}{15131466}z &-&\dfrac{2100055}{20175288}t &+&\dfrac{4245}{480364}u &=&-1\\ \end{array} \right.$ est équivalent à l'équation $ BX=b$ où la matrice $ B=A^{-1}$ déterminée précédement, $ X$ la matrice colonne des indéterminés et $ b=\begin{pmatrix}7 \\ -\dfrac{77}{8} \\ -6 \\ -7 \\ -1\end{pmatrix}$ de sorte que la solution est $ X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{7}{2} & -2 & -\dfrac{9}{2} & 5 \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{13}{2} & -3 & -4 & -\dfrac{9}{2} \\ -4 & 3 & \dfrac{13}{4} & -\dfrac{9}{5} & -3 \\ 5 & \dfrac{8}{3} & -1 & 4 & -\dfrac{8}{3} \\ -\dfrac{1}{2} & 3 & -5 & -5 & -\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7 \\ -\dfrac{77}{8} \\ -6 \\ -7 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1267}{16} \\ \dfrac{4867}{48} \\ -\dfrac{2431}{40} \\ -10 \\ \dfrac{1337}{40}\end{pmatrix}$ . Ainsi $ x=\dfrac{1267}{16}$ , $ y=\dfrac{4867}{48}$ , $ z=\dfrac{2431}{40}$ , $ t=10$ et $ u=\dfrac{1337}{40}$