\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & -2 & -2 \\ \dfrac{9}{2} & \dfrac{20}{3} & -1 & 2 & -5 \\ \dfrac{9}{2} & 3 & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5} \\ -\dfrac{10}{3} & -3 & -5 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{2} & -5 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (1, 2)\) et \( (1, 3)\) : \( \widehat{A}_{1, 2}=\) \( \widehat{A}_{1, 3}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & -2 & -2 \\ 0 & -\dfrac{41}{6} & -\dfrac{29}{2} & 11 & 4 \\ 0 & -\dfrac{21}{2} & -\dfrac{27}{2} & 9 & \dfrac{31}{5} \\ 0 & 7 & 5 & -\dfrac{8}{3} & -\dfrac{88}{15} \\ 0 & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{5}{2} & 4 & 1\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{1, 3}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&3y &+&3z &-&2t &-&2u &=&-5\\ &\dfrac{9}{2}x&+&\dfrac{20}{3}y &-&z &+&2t &-&5u &=&0\\ &\dfrac{9}{2}x&+&3y &&&&&-&\dfrac{14}{5}u &=&7\\ &-\dfrac{10}{3}x&-&3y &-&5z &+&4t &+&\dfrac{4}{5}u &=&2\\ &\dfrac{1}{2}x&-&5y &+&4z &+&3t &&&=&-7\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{11865}{39926}x&+&\dfrac{9}{19963}y &+&\dfrac{3291}{19963}z &-&\dfrac{6513}{39926}t &+&\dfrac{381}{19963}u &=&-5\\ &-\dfrac{22701}{79852}x&+&\dfrac{13161}{39926}y &-&\dfrac{18507}{39926}z &-&\dfrac{21789}{79852}t &-&\dfrac{1815}{39926}u &=&-\dfrac{47}{2}\\ &-\dfrac{3705}{79852}x&+&\dfrac{5757}{39926}y &-&\dfrac{10935}{39926}z &-&\dfrac{13845}{79852}t &+&\dfrac{4157}{39926}u &=&0\\ &-\dfrac{7235}{19963}x&+&\dfrac{7128}{19963}y &-&\dfrac{8681}{19963}z &-&\dfrac{3921}{19963}t &+&\dfrac{2307}{19963}u &=&-\dfrac{51}{7}\\ &-\dfrac{15615}{19963}x&+&\dfrac{7065}{19963}y &-&\dfrac{11755}{19963}z &-&\dfrac{11070}{19963}t &-&\dfrac{360}{19963}u &=&4\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{1, 2}=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{2} & -1 & 2 & -5 \\ \dfrac{9}{2} & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5} \\ -\dfrac{10}{3} & -5 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{2} & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{1, 3}=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{2} & \dfrac{20}{3} & 2 & -5 \\ \dfrac{9}{2} & 3 & 0 & -\dfrac{14}{5} \\ -\dfrac{10}{3} & -3 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{2} & -5 & 3 & 0\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(\dfrac{9}{2}\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(\dfrac{9}{2}\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-\dfrac{10}{3}\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(\dfrac{1}{2}\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & -2 & -2 \\ 0 & -\dfrac{41}{6} & -\dfrac{29}{2} & 11 & 4 \\ 0 & -\dfrac{21}{2} & -\dfrac{27}{2} & 9 & \dfrac{31}{5} \\ 0 & 7 & 5 & -\dfrac{8}{3} & -\dfrac{88}{15} \\ 0 & -\dfrac{13}{2} & \dfrac{5}{2} & 4 & 1\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-\dfrac{41}{6} & -\dfrac{29}{2} & 11 & 4 \\ -\dfrac{21}{2} & -\dfrac{27}{2} & 9 & \dfrac{31}{5} \\ 7 & 5 & -\dfrac{8}{3} & -\dfrac{88}{15} \\ -\dfrac{13}{2} & \dfrac{5}{2} & 4 & 1\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{39926}{45} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{39926}{45}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & -2 & -2 \\ \dfrac{9}{2} & \dfrac{20}{3} & -1 & 2 & -5 \\ \dfrac{9}{2} & 3 & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5} \\ -\dfrac{10}{3} & -3 & -5 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{2} & -5 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix} =-\dfrac{45}{39926}\begin{pmatrix}\dfrac{791}{3} & -\dfrac{2}{5} & -\dfrac{2194}{15} & \dfrac{2171}{15} & -\dfrac{254}{15} \\ \dfrac{7567}{30} & -\dfrac{4387}{15} & \dfrac{6169}{15} & \dfrac{2421}{10} & \dfrac{121}{3} \\ \dfrac{247}{6} & -\dfrac{1919}{15} & 243 & \dfrac{923}{6} & -\dfrac{4157}{45} \\ \dfrac{2894}{9} & -\dfrac{1584}{5} & \dfrac{17362}{45} & \dfrac{2614}{15} & -\dfrac{1538}{15} \\ 694 & -314 & \dfrac{4702}{9} & 492 & 16\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{11865}{39926} & \dfrac{9}{19963} & \dfrac{3291}{19963} & -\dfrac{6513}{39926} & \dfrac{381}{19963} \\ -\dfrac{22701}{79852} & \dfrac{13161}{39926} & -\dfrac{18507}{39926} & -\dfrac{21789}{79852} & -\dfrac{1815}{39926} \\ -\dfrac{3705}{79852} & \dfrac{5757}{39926} & -\dfrac{10935}{39926} & -\dfrac{13845}{79852} & \dfrac{4157}{39926} \\ -\dfrac{7235}{19963} & \dfrac{7128}{19963} & -\dfrac{8681}{19963} & -\dfrac{3921}{19963} & \dfrac{2307}{19963} \\ -\dfrac{15615}{19963} & \dfrac{7065}{19963} & -\dfrac{11755}{19963} & -\dfrac{11070}{19963} & -\dfrac{360}{19963}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{1, 3}=B_{1, 3}= \left(-\dfrac{39926}{45}\right)^{-1}Co(A)_{3, 1}= \left(-\dfrac{39926}{45}\right)^{-1}\times(-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix}3 & 3 & -2 & -2 \\ \dfrac{20}{3} & -1 & 2 & -5 \\ -3 & -5 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ -5 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}=\dfrac{3291}{19963}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & -2 & -2 \\ \dfrac{9}{2} & \dfrac{20}{3} & -1 & 2 & -5 \\ \dfrac{9}{2} & 3 & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5} \\ -\dfrac{10}{3} & -3 & -5 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{2} & -5 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&3y &+&3z &-&2t &-&2u &=&-5\\ &\dfrac{9}{2}x&+&\dfrac{20}{3}y &-&z &+&2t &-&5u &=&0\\ &\dfrac{9}{2}x&+&3y &&&&&-&\dfrac{14}{5}u &=&7\\ &-\dfrac{10}{3}x&-&3y &-&5z &+&4t &+&\dfrac{4}{5}u &=&2\\ &\dfrac{1}{2}x&-&5y &+&4z &+&3t &&&=&-7\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}-5 \\ 0 \\ 7 \\ 2 \\ -7\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}-\dfrac{11865}{39926} & \dfrac{9}{19963} & \dfrac{3291}{19963} & -\dfrac{6513}{39926} & \dfrac{381}{19963} \\ -\dfrac{22701}{79852} & \dfrac{13161}{39926} & -\dfrac{18507}{39926} & -\dfrac{21789}{79852} & -\dfrac{1815}{39926} \\ -\dfrac{3705}{79852} & \dfrac{5757}{39926} & -\dfrac{10935}{39926} & -\dfrac{13845}{79852} & \dfrac{4157}{39926} \\ -\dfrac{7235}{19963} & \dfrac{7128}{19963} & -\dfrac{8681}{19963} & -\dfrac{3921}{19963} & \dfrac{2307}{19963} \\ -\dfrac{15615}{19963} & \dfrac{7065}{19963} & -\dfrac{11755}{19963} & -\dfrac{11070}{19963} & -\dfrac{360}{19963}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-5 \\ 0 \\ 7 \\ 2 \\ -7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{87039}{39926} \\ -\dfrac{1.0422643637068E+19}{5082217009588293152} \\ -\dfrac{1.4030831869143E+19}{5082217009588293152} \\ -\dfrac{48583}{19963} \\ -\dfrac{23830}{19963}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{87039}{39926}\) , \( y=\dfrac{1.0422643637068E+19}{5082217009588293152}\) , \( z=\dfrac{1.4030831869143E+19}{5082217009588293152}\) , \( t=\dfrac{48583}{19963}\) et \( u=\dfrac{23830}{19963}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{11865}{39926}x&+&\dfrac{9}{19963}y &+&\dfrac{3291}{19963}z &-&\dfrac{6513}{39926}t &+&\dfrac{381}{19963}u &=&-5\\ &-\dfrac{22701}{79852}x&+&\dfrac{13161}{39926}y &-&\dfrac{18507}{39926}z &-&\dfrac{21789}{79852}t &-&\dfrac{1815}{39926}u &=&-\dfrac{47}{2}\\ &-\dfrac{3705}{79852}x&+&\dfrac{5757}{39926}y &-&\dfrac{10935}{39926}z &-&\dfrac{13845}{79852}t &+&\dfrac{4157}{39926}u &=&0\\ &-\dfrac{7235}{19963}x&+&\dfrac{7128}{19963}y &-&\dfrac{8681}{19963}z &-&\dfrac{3921}{19963}t &+&\dfrac{2307}{19963}u &=&-\dfrac{51}{7}\\ &-\dfrac{15615}{19963}x&+&\dfrac{7065}{19963}y &-&\dfrac{11755}{19963}z &-&\dfrac{11070}{19963}t &-&\dfrac{360}{19963}u &=&4\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-5 \\ -\dfrac{47}{2} \\ 0 \\ -\dfrac{51}{7} \\ 4\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & 3 & 3 & -2 & -2 \\ \dfrac{9}{2} & \dfrac{20}{3} & -1 & 2 & -5 \\ \dfrac{9}{2} & 3 & 0 & 0 & -\dfrac{14}{5} \\ -\dfrac{10}{3} & -3 & -5 & 4 & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{1}{2} & -5 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-5 \\ -\dfrac{47}{2} \\ 0 \\ -\dfrac{51}{7} \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{965}{14} \\ -\dfrac{8977}{42} \\ -\dfrac{521}{5} \\ \dfrac{12857}{210} \\ \dfrac{652}{7}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{965}{14}\) , \( y=\dfrac{8977}{42}\) , \( z=\dfrac{521}{5}\) , \( t=\dfrac{12857}{210}\) et \( u=\dfrac{652}{7}\)