\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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On considère la matrice $$ A= \begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & \dfrac{19}{5} \\ -5 & -5 & -2 & -2 \\ -\dfrac{1}{3} & -4 & -5 & 2 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4 & \dfrac{7}{5}\end{pmatrix}$$
  1. Donner les mineurs d'ordre $ (1, 4)$ et $ (3, 4)$ : $ \widehat{A}_{1, 4}=$ $ \widehat{A}_{3, 4}=$
  2. Expliquer pourquoi $ \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & \dfrac{19}{5} \\ 0 & 20 & -7 & 17 \\ 0 & -\dfrac{7}{3} & -\dfrac{16}{3} & \dfrac{49}{15} \\ 0 & \dfrac{45}{2} & -1 & \dfrac{102}{5}\end{pmatrix} $
  3. Calculer $ \det(A)$ .
  4. Pourquoi la matrice $ A $ est inversible.
  5. Donner $ B=A^{-1}$ l'inverse de la matrice $ A $ , en ne détaillant que le calcul de $ A^{-1}_{4, 2}$ .
  6. Donner $ B^{-1}$ l'inverse de la matrice $ B$ . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. $ \left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &x&+&5y &-&z &+&\dfrac{19}{5}t &=&7\\ &-5x&-&5y &-&2z &-&2t &=&7\\ &-\dfrac{1}{3}x&-&4y &-&5z &+&2t &=&-1\\ &-5x&-&\dfrac{5}{2}y &+&4z &+&\dfrac{7}{5}t &=&-\dfrac{29}{7}\\ \end{array} \right. $
  8. Résoudre le système suivant. $ \left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &-\dfrac{436}{2929}x&-&\dfrac{613}{2929}y &+&\dfrac{270}{2929}z &-&\dfrac{78}{2929}t &=&-3\\ &\dfrac{4402}{26361}x&+&\dfrac{3166}{26361}y &-&\dfrac{1258}{8787}z &-&\dfrac{226}{2929}t &=&-3\\ &-\dfrac{890}{8787}x&-&\dfrac{1211}{8787}y &-&\dfrac{85}{2929}z &+&\dfrac{350}{2929}t &=&2\\ &\dfrac{1475}{26361}x&-&\dfrac{3670}{26361}y &+&\dfrac{1375}{8787}z &+&\dfrac{410}{2929}t &=&1\\ \end{array} \right. $
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  1. $ \widehat{A}_{1, 4}=\begin{pmatrix}-5 & -5 & -2 \\ -\dfrac{1}{3} & -4 & -5 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4\end{pmatrix}$ $ \widehat{A}_{3, 4}=\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 \\ -5 & -5 & -2 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4\end{pmatrix}$
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice $ A$ et on a fait : $ L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(-5\right)L_1$ , $ L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)L_1$ et $ L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-5\right)L_1$
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & \dfrac{19}{5} \\ 0 & 20 & -7 & 17 \\ 0 & -\dfrac{7}{3} & -\dfrac{16}{3} & \dfrac{49}{15} \\ 0 & \dfrac{45}{2} & -1 & \dfrac{102}{5}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}20 & -7 & 17 \\ -\dfrac{7}{3} & -\dfrac{16}{3} & \dfrac{49}{15} \\ \dfrac{45}{2} & -1 & \dfrac{102}{5}\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{8787}{10} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de $ A$ est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours $ B=A^{-1}=\left(-\dfrac{8787}{10}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & \dfrac{19}{5} \\ -5 & -5 & -2 & -2 \\ -\dfrac{1}{3} & -4 & -5 & 2 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4 & \dfrac{7}{5}\end{pmatrix} =-\dfrac{10}{8787}\begin{pmatrix}\dfrac{654}{5} & \dfrac{1839}{10} & -81 & \dfrac{117}{5} \\ -\dfrac{2201}{15} & -\dfrac{1583}{15} & \dfrac{629}{5} & \dfrac{339}{5} \\ 89 & \dfrac{1211}{10} & \dfrac{51}{2} & -105 \\ -\dfrac{295}{6} & \dfrac{367}{3} & -\dfrac{275}{2} & -123\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{436}{2929} & -\dfrac{613}{2929} & \dfrac{270}{2929} & -\dfrac{78}{2929} \\ \dfrac{4402}{26361} & \dfrac{3166}{26361} & -\dfrac{1258}{8787} & -\dfrac{226}{2929} \\ -\dfrac{890}{8787} & -\dfrac{1211}{8787} & -\dfrac{85}{2929} & \dfrac{350}{2929} \\ \dfrac{1475}{26361} & -\dfrac{3670}{26361} & \dfrac{1375}{8787} & \dfrac{410}{2929}\end{pmatrix}$ . Précisément on a calculé $ A^{-1}_{4, 2}=B_{4, 2}= \left(-\dfrac{8787}{10}\right)^{-1}Co(A)_{2, 4}= \left(-\dfrac{8787}{10}\right)^{-1}\times(-1)^{2+4}\det\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 \\ -\dfrac{1}{3} & -4 & -5 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4\end{pmatrix}=-\dfrac{3670}{26361}$ .
  6. On observe que $ B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ . Trivialement, et sans calcul, $$ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & \dfrac{19}{5} \\ -5 & -5 & -2 & -2 \\ -\dfrac{1}{3} & -4 & -5 & 2 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4 & \dfrac{7}{5}\end{pmatrix}$$
  7. Le système $ \left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &x&+&5y &-&z &+&\dfrac{19}{5}t &=&7\\ &-5x&-&5y &-&2z &-&2t &=&7\\ &-\dfrac{1}{3}x&-&4y &-&5z &+&2t &=&-1\\ &-5x&-&\dfrac{5}{2}y &+&4z &+&\dfrac{7}{5}t &=&-\dfrac{29}{7}\\ \end{array} \right.$ est équivalent à l'équation $ AX=a$ où la matrice $ A$ est celle de l'énoncé, $ X$ la matrice colonne des indéterminés et $ a=\begin{pmatrix}7 \\ 7 \\ -1 \\ -\dfrac{29}{7}\end{pmatrix}$ de sorte que la solution est $ X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}-\dfrac{436}{2929} & -\dfrac{613}{2929} & \dfrac{270}{2929} & -\dfrac{78}{2929} \\ \dfrac{4402}{26361} & \dfrac{3166}{26361} & -\dfrac{1258}{8787} & -\dfrac{226}{2929} \\ -\dfrac{890}{8787} & -\dfrac{1211}{8787} & -\dfrac{85}{2929} & \dfrac{350}{2929} \\ \dfrac{1475}{26361} & -\dfrac{3670}{26361} & \dfrac{1375}{8787} & \dfrac{410}{2929}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7 \\ 7 \\ -1 \\ -\dfrac{29}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{51029}{20503} \\ \dfrac{456236}{184527} \\ -\dfrac{18802}{8787} \\ -\dfrac{243440}{184527}\end{pmatrix}$ . Ainsi $ x=\dfrac{51029}{20503}$ , $ y=\dfrac{456236}{184527}$ , $ z=\dfrac{18802}{8787}$ et $ t=\dfrac{243440}{184527}$
  8. Le système $ \left\{\begin{array}{*{5}{cr}} &-\dfrac{436}{2929}x&-&\dfrac{613}{2929}y &+&\dfrac{270}{2929}z &-&\dfrac{78}{2929}t &=&-3\\ &\dfrac{4402}{26361}x&+&\dfrac{3166}{26361}y &-&\dfrac{1258}{8787}z &-&\dfrac{226}{2929}t &=&-3\\ &-\dfrac{890}{8787}x&-&\dfrac{1211}{8787}y &-&\dfrac{85}{2929}z &+&\dfrac{350}{2929}t &=&2\\ &\dfrac{1475}{26361}x&-&\dfrac{3670}{26361}y &+&\dfrac{1375}{8787}z &+&\dfrac{410}{2929}t &=&1\\ \end{array} \right.$ est équivalent à l'équation $ BX=b$ où la matrice $ B=A^{-1}$ déterminée précédement, $ X$ la matrice colonne des indéterminés et $ b=\begin{pmatrix}-3 \\ -3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ de sorte que la solution est $ X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & \dfrac{19}{5} \\ -5 & -5 & -2 & -2 \\ -\dfrac{1}{3} & -4 & -5 & 2 \\ -5 & -\dfrac{5}{2} & 4 & \dfrac{7}{5}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3 \\ -3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{81}{5} \\ 24 \\ 5 \\ \dfrac{319}{10}\end{pmatrix}$ . Ainsi $ x=\dfrac{81}{5}$ , $ y=24$ , $ z=5$ et $ t=\dfrac{319}{10}$