\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ -4 & 5 & 1 & 2 & 0 \\ -5 & -5 & \dfrac{24}{5} & -\dfrac{14}{3} & -1 \\ 3 & 3 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & 1 \\ 4 & 0 & -1 & 1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (2, 4)\) et \( (2, 2)\) : \( \widehat{A}_{2, 4}=\) \( \widehat{A}_{2, 2}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ 0 & 17 & 9 & 22 & \dfrac{32}{3} \\ 0 & 10 & \dfrac{74}{5} & \dfrac{61}{3} & \dfrac{37}{3} \\ 0 & -6 & -\dfrac{11}{2} & -\dfrac{61}{4} & -7 \\ 0 & -12 & -9 & -19 & -9\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{2, 1}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&3y &+&2z &+&5t &+&\dfrac{8}{3}u &=&2\\ &-4x&+&5y &+&z &+&2t &&&=&-3\\ &-5x&-&5y &+&\dfrac{24}{5}z &-&\dfrac{14}{3}t &-&u &=&2\\ &3x&+&3y &+&\dfrac{1}{2}z &-&\dfrac{1}{4}t &+&u &=&\dfrac{14}{5}\\ &4x&&&-&z &+&t &+&\dfrac{5}{3}u &=&8\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{2888}{21567}x&-&\dfrac{2361}{7189}y &-&\dfrac{725}{7189}z &+&\dfrac{252}{1027}t &-&\dfrac{9101}{21567}u &=&-6\\ &-\dfrac{439}{8295}x&+&\dfrac{307}{2765}y &-&\dfrac{13}{553}z &+&\dfrac{64}{395}t &-&\dfrac{221}{8295}u &=&7\\ &\dfrac{1973}{7189}x&-&\dfrac{2382}{7189}y &+&\dfrac{45}{7189}z &+&\dfrac{296}{1027}t &-&\dfrac{4373}{7189}u &=&-8\\ &\dfrac{270}{1027}x&-&\dfrac{276}{1027}y &-&\dfrac{150}{1027}z &-&\dfrac{60}{1027}t &-&\dfrac{486}{1027}u &=&-7\\ &-\dfrac{11303}{35945}x&+&\dfrac{26982}{35945}y &+&\dfrac{2397}{7189}z &-&\dfrac{1956}{5135}t &+&\dfrac{55058}{35945}u &=&-6\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{2, 4}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & \dfrac{8}{3} \\ -5 & -5 & \dfrac{24}{5} & -1 \\ 3 & 3 & \dfrac{1}{2} & 1 \\ 4 & 0 & -1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{2, 2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ -5 & \dfrac{24}{5} & -\dfrac{14}{3} & -1 \\ 3 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & 1 \\ 4 & -1 & 1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(-4\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-5\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(3\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(4\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ 0 & 17 & 9 & 22 & \dfrac{32}{3} \\ 0 & 10 & \dfrac{74}{5} & \dfrac{61}{3} & \dfrac{37}{3} \\ 0 & -6 & -\dfrac{11}{2} & -\dfrac{61}{4} & -7 \\ 0 & -12 & -9 & -19 & -9\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}17 & 9 & 22 & \dfrac{32}{3} \\ 10 & \dfrac{74}{5} & \dfrac{61}{3} & \dfrac{37}{3} \\ -6 & -\dfrac{11}{2} & -\dfrac{61}{4} & -7 \\ -12 & -9 & -19 & -9\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{7189}{12} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{7189}{12}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ -4 & 5 & 1 & 2 & 0 \\ -5 & -5 & \dfrac{24}{5} & -\dfrac{14}{3} & -1 \\ 3 & 3 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & 1 \\ 4 & 0 & -1 & 1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix} =-\dfrac{12}{7189}\begin{pmatrix}-\dfrac{722}{9} & \dfrac{787}{4} & \dfrac{725}{12} & -147 & \dfrac{9101}{36} \\ \dfrac{5707}{180} & -\dfrac{3991}{60} & \dfrac{169}{12} & -\dfrac{1456}{15} & \dfrac{2873}{180} \\ -\dfrac{1973}{12} & \dfrac{397}{2} & -\dfrac{15}{4} & -\dfrac{518}{3} & \dfrac{4373}{12} \\ -\dfrac{315}{2} & 161 & \dfrac{175}{2} & 35 & \dfrac{567}{2} \\ \dfrac{11303}{60} & -\dfrac{4497}{10} & -\dfrac{799}{4} & \dfrac{1141}{5} & -\dfrac{27529}{30}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{2888}{21567} & -\dfrac{2361}{7189} & -\dfrac{725}{7189} & \dfrac{252}{1027} & -\dfrac{9101}{21567} \\ -\dfrac{439}{8295} & \dfrac{307}{2765} & -\dfrac{13}{553} & \dfrac{64}{395} & -\dfrac{221}{8295} \\ \dfrac{1973}{7189} & -\dfrac{2382}{7189} & \dfrac{45}{7189} & \dfrac{296}{1027} & -\dfrac{4373}{7189} \\ \dfrac{270}{1027} & -\dfrac{276}{1027} & -\dfrac{150}{1027} & -\dfrac{60}{1027} & -\dfrac{486}{1027} \\ -\dfrac{11303}{35945} & \dfrac{26982}{35945} & \dfrac{2397}{7189} & -\dfrac{1956}{5135} & \dfrac{55058}{35945}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{2, 1}=B_{2, 1}= \left(-\dfrac{7189}{12}\right)^{-1}Co(A)_{1, 2}= \left(-\dfrac{7189}{12}\right)^{-1}\times(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-4 & 1 & 2 & 0 \\ -5 & \dfrac{24}{5} & -\dfrac{14}{3} & -1 \\ 3 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & 1 \\ 4 & -1 & 1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}=-\dfrac{439}{8295}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ -4 & 5 & 1 & 2 & 0 \\ -5 & -5 & \dfrac{24}{5} & -\dfrac{14}{3} & -1 \\ 3 & 3 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & 1 \\ 4 & 0 & -1 & 1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&3y &+&2z &+&5t &+&\dfrac{8}{3}u &=&2\\ &-4x&+&5y &+&z &+&2t &&&=&-3\\ &-5x&-&5y &+&\dfrac{24}{5}z &-&\dfrac{14}{3}t &-&u &=&2\\ &3x&+&3y &+&\dfrac{1}{2}z &-&\dfrac{1}{4}t &+&u &=&\dfrac{14}{5}\\ &4x&&&-&z &+&t &+&\dfrac{5}{3}u &=&8\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2 \\ \dfrac{14}{5} \\ 8\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{2888}{21567} & -\dfrac{2361}{7189} & -\dfrac{725}{7189} & \dfrac{252}{1027} & -\dfrac{9101}{21567} \\ -\dfrac{439}{8295} & \dfrac{307}{2765} & -\dfrac{13}{553} & \dfrac{64}{395} & -\dfrac{221}{8295} \\ \dfrac{1973}{7189} & -\dfrac{2382}{7189} & \dfrac{45}{7189} & \dfrac{296}{1027} & -\dfrac{4373}{7189} \\ \dfrac{270}{1027} & -\dfrac{276}{1027} & -\dfrac{150}{1027} & -\dfrac{60}{1027} & -\dfrac{486}{1027} \\ -\dfrac{11303}{35945} & \dfrac{26982}{35945} & \dfrac{2397}{7189} & -\dfrac{1956}{5135} & \dfrac{55058}{35945}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2 \\ \dfrac{14}{5} \\ 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{3808236159}{2325677445} \\ -\dfrac{3393}{13825} \\ -\dfrac{90002}{35945} \\ -\dfrac{2988}{1027} \\ \dfrac{7.6921087901203E+22}{8.5722415413467E+21}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{3808236159}{2325677445}\) , \( y=\dfrac{3393}{13825}\) , \( z=\dfrac{90002}{35945}\) , \( t=\dfrac{2988}{1027}\) et \( u=\dfrac{7.6921087901203E+22}{8.5722415413467E+21}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{2888}{21567}x&-&\dfrac{2361}{7189}y &-&\dfrac{725}{7189}z &+&\dfrac{252}{1027}t &-&\dfrac{9101}{21567}u &=&-6\\ &-\dfrac{439}{8295}x&+&\dfrac{307}{2765}y &-&\dfrac{13}{553}z &+&\dfrac{64}{395}t &-&\dfrac{221}{8295}u &=&7\\ &\dfrac{1973}{7189}x&-&\dfrac{2382}{7189}y &+&\dfrac{45}{7189}z &+&\dfrac{296}{1027}t &-&\dfrac{4373}{7189}u &=&-8\\ &\dfrac{270}{1027}x&-&\dfrac{276}{1027}y &-&\dfrac{150}{1027}z &-&\dfrac{60}{1027}t &-&\dfrac{486}{1027}u &=&-7\\ &-\dfrac{11303}{35945}x&+&\dfrac{26982}{35945}y &+&\dfrac{2397}{7189}z &-&\dfrac{1956}{5135}t &+&\dfrac{55058}{35945}u &=&-6\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-6 \\ 7 \\ -8 \\ -7 \\ -6\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & 5 & \dfrac{8}{3} \\ -4 & 5 & 1 & 2 & 0 \\ -5 & -5 & \dfrac{24}{5} & -\dfrac{14}{3} & -1 \\ 3 & 3 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} & 1 \\ 4 & 0 & -1 & 1 & \dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-6 \\ 7 \\ -8 \\ -7 \\ -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-52 \\ 37 \\ -\dfrac{71}{15} \\ -\dfrac{21}{4} \\ -33\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=52\) , \( y=37\) , \( z=\dfrac{71}{15}\) , \( t=\dfrac{21}{4}\) et \( u=33\)