\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (2, 2)\) et \( (1, 1)\) : \( \widehat{A}_{2, 2}=\) \( \widehat{A}_{1, 1}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 0 & -\dfrac{95}{2} & -11 \\ 0 & -23 & -5\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{1, 3}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}} &x&+&\dfrac{21}{2}y &+&2z &=&9\\ &5x&+&5y &-&z &=&0\\ &2x&-&2y &-&z &=&-9\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}} &\dfrac{14}{31}x&-&\dfrac{13}{31}y &+&\dfrac{41}{31}z &=&-6\\ &-\dfrac{6}{31}x&+&\dfrac{10}{31}y &-&\dfrac{22}{31}z &=&-\dfrac{39}{7}\\ &\dfrac{40}{31}x&-&\dfrac{46}{31}y &+&\dfrac{95}{31}z &=&1\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{2, 2}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{1, 1}=\begin{pmatrix}5 & -1 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(5\right)L_1\) et \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(2\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 0 & -\dfrac{95}{2} & -11 \\ 0 & -23 & -5\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-\dfrac{95}{2} & -11 \\ -23 & -5\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{31}{2} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{31}{2}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix} =-\dfrac{2}{31}\begin{pmatrix}-7 & \dfrac{13}{2} & -\dfrac{41}{2} \\ 3 & -5 & 11 \\ -20 & 23 & -\dfrac{95}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{14}{31} & -\dfrac{13}{31} & \dfrac{41}{31} \\ -\dfrac{6}{31} & \dfrac{10}{31} & -\dfrac{22}{31} \\ \dfrac{40}{31} & -\dfrac{46}{31} & \dfrac{95}{31}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{1, 3}=B_{1, 3}= \left(-\dfrac{31}{2}\right)^{-1}Co(A)_{3, 1}= \left(-\dfrac{31}{2}\right)^{-1}\times(-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix}\dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & -1\end{pmatrix}=\dfrac{41}{31}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}} &x&+&\dfrac{21}{2}y &+&2z &=&9\\ &5x&+&5y &-&z &=&0\\ &2x&-&2y &-&z &=&-9\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}9 \\ 0 \\ -9\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{14}{31} & -\dfrac{13}{31} & \dfrac{41}{31} \\ -\dfrac{6}{31} & \dfrac{10}{31} & -\dfrac{22}{31} \\ \dfrac{40}{31} & -\dfrac{46}{31} & \dfrac{95}{31}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}9 \\ 0 \\ -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{243}{31} \\ \dfrac{144}{31} \\ -\dfrac{495}{31}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{243}{31}\) , \( y=\dfrac{144}{31}\) et \( z=\dfrac{495}{31}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}} &\dfrac{14}{31}x&-&\dfrac{13}{31}y &+&\dfrac{41}{31}z &=&-6\\ &-\dfrac{6}{31}x&+&\dfrac{10}{31}y &-&\dfrac{22}{31}z &=&-\dfrac{39}{7}\\ &\dfrac{40}{31}x&-&\dfrac{46}{31}y &+&\dfrac{95}{31}z &=&1\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-6 \\ -\dfrac{39}{7} \\ 1\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-6 \\ -\dfrac{39}{7} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{125}{2} \\ -\dfrac{412}{7} \\ -\dfrac{13}{7}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{125}{2}\) , \( y=\dfrac{412}{7}\) et \( z=\dfrac{13}{7}\)