L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.
Exercice
On considère la matrice
\[ A= \begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}\]
- Donner les mineurs d'ordre \( (2, 2)\) et \( (1, 1)\) :
\( \widehat{A}_{2, 2}=\)
\( \widehat{A}_{1, 1}=\)
- Expliquer pourquoi
\( \det(A)=\det
\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 0 & -\dfrac{95}{2} & -11 \\ 0 & -23 & -5\end{pmatrix}
\)
- Calculer \( \det(A)\) .
- Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
- Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{1, 3}\) .
- Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
- Résoudre le système suivant.
\( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&x&+&\dfrac{21}{2}y &+&2z &=&9\\
&5x&+&5y &-&z &=&0\\
&2x&-&2y &-&z &=&-9\\
\end{array}
\right.
\)
- Résoudre le système suivant.
\( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&\dfrac{14}{31}x&-&\dfrac{13}{31}y &+&\dfrac{41}{31}z &=&-6\\
&-\dfrac{6}{31}x&+&\dfrac{10}{31}y &-&\dfrac{22}{31}z &=&-\dfrac{39}{7}\\
&\dfrac{40}{31}x&-&\dfrac{46}{31}y &+&\dfrac{95}{31}z &=&1\\
\end{array}
\right.
\)
Cliquer ici pour afficher la solution
Exercice
-
\( \widehat{A}_{2, 2}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\( \widehat{A}_{1, 1}=\begin{pmatrix}5 & -1 \\ -2 & -1\end{pmatrix}\)
- On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(5\right)L_1\) et \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(2\right)L_1\)
- En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a
\begin{eqnarray*}
\det(A)
&=&\det\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 0 & -\dfrac{95}{2} & -11 \\ 0 & -23 & -5\end{pmatrix}\\
&=&1\times\det\begin{pmatrix}-\dfrac{95}{2} & -11 \\ -23 & -5\end{pmatrix}\\
&=&-\dfrac{31}{2}
\end{eqnarray*}
- On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
- D'après le cours
\(
B=A^{-1}=\left(-\dfrac{31}{2}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}
=-\dfrac{2}{31}\begin{pmatrix}-7 & \dfrac{13}{2} & -\dfrac{41}{2} \\ 3 & -5 & 11 \\ -20 & 23 & -\dfrac{95}{2}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\dfrac{14}{31} & -\dfrac{13}{31} & \dfrac{41}{31} \\ -\dfrac{6}{31} & \dfrac{10}{31} & -\dfrac{22}{31} \\ \dfrac{40}{31} & -\dfrac{46}{31} & \dfrac{95}{31}\end{pmatrix}\) .
Précisément on a calculé \( A^{-1}_{1, 3}=B_{1, 3}=
\left(-\dfrac{31}{2}\right)^{-1}Co(A)_{3, 1}=
\left(-\dfrac{31}{2}\right)^{-1}\times(-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix}\dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & -1\end{pmatrix}=\dfrac{41}{31}\) .
- On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul,
\[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}\]
- Le système
\( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&x&+&\dfrac{21}{2}y &+&2z &=&9\\
&5x&+&5y &-&z &=&0\\
&2x&-&2y &-&z &=&-9\\
\end{array}
\right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}9 \\ 0 \\ -9\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{14}{31} & -\dfrac{13}{31} & \dfrac{41}{31} \\ -\dfrac{6}{31} & \dfrac{10}{31} & -\dfrac{22}{31} \\ \dfrac{40}{31} & -\dfrac{46}{31} & \dfrac{95}{31}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}9 \\ 0 \\ -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{243}{31} \\ \dfrac{144}{31} \\ -\dfrac{495}{31}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{243}{31}\) , \( y=\dfrac{144}{31}\) et \( z=\dfrac{495}{31}\)
- Le système
\( \left\{\begin{array}{*{4}{cr}}
&\dfrac{14}{31}x&-&\dfrac{13}{31}y &+&\dfrac{41}{31}z &=&-6\\
&-\dfrac{6}{31}x&+&\dfrac{10}{31}y &-&\dfrac{22}{31}z &=&-\dfrac{39}{7}\\
&\dfrac{40}{31}x&-&\dfrac{46}{31}y &+&\dfrac{95}{31}z &=&1\\
\end{array}
\right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-6 \\ -\dfrac{39}{7} \\ 1\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{21}{2} & 2 \\ 5 & 5 & -1 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-6 \\ -\dfrac{39}{7} \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{125}{2} \\ -\dfrac{412}{7} \\ -\dfrac{13}{7}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{125}{2}\) , \( y=\dfrac{412}{7}\) et \( z=\dfrac{13}{7}\)