Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{3x-\dfrac{9}{4}}{3x+\dfrac{9}{4}}\geqslant \dfrac{3x+\dfrac{9}{4}}{3x-\dfrac{9}{4}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{3x-\dfrac{9}{4}}{3x+\dfrac{9}{4}}-\dfrac{3x+\dfrac{9}{4}}{3x-\dfrac{9}{4}}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(3x-\dfrac{9}{4}\right)^2}{\left(3x+\dfrac{9}{4}\right)\left(3x-\dfrac{9}{4}\right)}-\dfrac{\left(3x+\dfrac{9}{4}\right)^2}{\left(3x-\dfrac{9}{4}\right)\left(3x+\dfrac{9}{4}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(3x-\dfrac{9}{4}\right)^2-\left(3x+\dfrac{9}{4}\right)^2}{\left(3x+\dfrac{9}{4}\right)\left(3x-\dfrac{9}{4}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{-27x}{\left(3x+\dfrac{9}{4}\right)\left(3x-\dfrac{9}{4}\right)}\geqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{3}{4}\) et \( \dfrac{3}{4}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{3}{4} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{3}{4}\right[
\]