Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-3x-\dfrac{3}{2}}{-3x+\dfrac{3}{2}}\geqslant \dfrac{-3x+\dfrac{3}{2}}{-3x-\dfrac{3}{2}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{-3x-\dfrac{3}{2}}{-3x+\dfrac{3}{2}}-\dfrac{-3x+\dfrac{3}{2}}{-3x-\dfrac{3}{2}}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)^2}{\left(-3x+\dfrac{3}{2}\right)\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)}-\dfrac{\left(-3x+\dfrac{3}{2}\right)^2}{\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)\left(-3x+\dfrac{3}{2}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(-3x+\dfrac{3}{2}\right)^2}{\left(-3x+\dfrac{3}{2}\right)\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{18x}{\left(-3x+\dfrac{3}{2}\right)\left(-3x-\dfrac{3}{2}\right)}\geqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{1}{2}\) et \( \dfrac{1}{2}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\dfrac{1}{2} ; 0 \right]\cup\left] \dfrac{1}{2} ; +\infty\right[
\]