Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-2x-\dfrac{4}{3}}{-2x+\dfrac{4}{3}}\leqslant \dfrac{-2x+\dfrac{4}{3}}{-2x-\dfrac{4}{3}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{-2x-\dfrac{4}{3}}{-2x+\dfrac{4}{3}}-\dfrac{-2x+\dfrac{4}{3}}{-2x-\dfrac{4}{3}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-2x-\dfrac{4}{3}\right)^2}{\left(-2x+\dfrac{4}{3}\right)\left(-2x-\dfrac{4}{3}\right)}-\dfrac{\left(-2x+\dfrac{4}{3}\right)^2}{\left(-2x-\dfrac{4}{3}\right)\left(-2x+\dfrac{4}{3}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-2x-\dfrac{4}{3}\right)^2-\left(-2x+\dfrac{4}{3}\right)^2}{\left(-2x+\dfrac{4}{3}\right)\left(-2x-\dfrac{4}{3}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\dfrac{32}{3}x}{\left(-2x+\dfrac{4}{3}\right)\left(-2x-\dfrac{4}{3}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{2}{3}\) et \( \dfrac{2}{3}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{2}{3} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{2}{3}\right[
\]