Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-5x+\dfrac{16}{3}}{-5x-\dfrac{16}{3}}\leqslant \dfrac{-5x-\dfrac{16}{3}}{-5x+\dfrac{16}{3}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{-5x+\dfrac{16}{3}}{-5x-\dfrac{16}{3}}-\dfrac{-5x-\dfrac{16}{3}}{-5x+\dfrac{16}{3}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-5x+\dfrac{16}{3}\right)^2}{\left(-5x-\dfrac{16}{3}\right)\left(-5x+\dfrac{16}{3}\right)}-\dfrac{\left(-5x-\dfrac{16}{3}\right)^2}{\left(-5x+\dfrac{16}{3}\right)\left(-5x-\dfrac{16}{3}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-5x+\dfrac{16}{3}\right)^2-\left(-5x-\dfrac{16}{3}\right)^2}{\left(-5x-\dfrac{16}{3}\right)\left(-5x+\dfrac{16}{3}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{-\dfrac{320}{3}x}{\left(-5x-\dfrac{16}{3}\right)\left(-5x+\dfrac{16}{3}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{16}{15}\) et \( \dfrac{16}{15}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\dfrac{16}{15} ; 0 \right]\cup\left] \dfrac{16}{15} ; +\infty\right[
\]