Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{4x+\dfrac{18}{5}}{4x-\dfrac{18}{5}}\geqslant \dfrac{4x-\dfrac{18}{5}}{4x+\dfrac{18}{5}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{4x+\dfrac{18}{5}}{4x-\dfrac{18}{5}}-\dfrac{4x-\dfrac{18}{5}}{4x+\dfrac{18}{5}}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(4x+\dfrac{18}{5}\right)^2}{\left(4x-\dfrac{18}{5}\right)\left(4x+\dfrac{18}{5}\right)}-\dfrac{\left(4x-\dfrac{18}{5}\right)^2}{\left(4x+\dfrac{18}{5}\right)\left(4x-\dfrac{18}{5}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(4x+\dfrac{18}{5}\right)^2-\left(4x-\dfrac{18}{5}\right)^2}{\left(4x-\dfrac{18}{5}\right)\left(4x+\dfrac{18}{5}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\dfrac{288}{5}x}{\left(4x-\dfrac{18}{5}\right)\left(4x+\dfrac{18}{5}\right)}\geqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en $ 0 $ .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en $ -\dfrac{9}{10}$ et $ \dfrac{9}{10}$ (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
$$
S=\left]-\dfrac{9}{10} ; 0 \right]\cup\left] \dfrac{9}{10} ; +\infty\right[
$$