Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{-4x+\dfrac{16}{3}}{-4x-\dfrac{16}{3}}\geqslant \dfrac{-4x-\dfrac{16}{3}}{-4x+\dfrac{16}{3}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{-4x+\dfrac{16}{3}}{-4x-\dfrac{16}{3}}-\dfrac{-4x-\dfrac{16}{3}}{-4x+\dfrac{16}{3}}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-4x+\dfrac{16}{3}\right)^2}{\left(-4x-\dfrac{16}{3}\right)\left(-4x+\dfrac{16}{3}\right)}-\dfrac{\left(-4x-\dfrac{16}{3}\right)^2}{\left(-4x+\dfrac{16}{3}\right)\left(-4x-\dfrac{16}{3}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(-4x+\dfrac{16}{3}\right)^2-\left(-4x-\dfrac{16}{3}\right)^2}{\left(-4x-\dfrac{16}{3}\right)\left(-4x+\dfrac{16}{3}\right)}\geqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{-\dfrac{256}{3}x}{\left(-4x-\dfrac{16}{3}\right)\left(-4x+\dfrac{16}{3}\right)}\geqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{4}{3}\) et \( \dfrac{4}{3}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{4}{3} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{4}{3}\right[
\]