Exercice
Faisons apparaître une inéquation de signe :
\begin{eqnarray*}
\dfrac{x+\dfrac{7}{5}}{x-\dfrac{7}{5}}\leqslant \dfrac{x-\dfrac{7}{5}}{x+\dfrac{7}{5}} & \Longleftrightarrow & \dfrac{x+\dfrac{7}{5}}{x-\dfrac{7}{5}}-\dfrac{x-\dfrac{7}{5}}{x+\dfrac{7}{5}}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(x+\dfrac{7}{5}\right)^2}{\left(x-\dfrac{7}{5}\right)\left(x+\dfrac{7}{5}\right)}-\dfrac{\left(x-\dfrac{7}{5}\right)^2}{\left(x+\dfrac{7}{5}\right)\left(x-\dfrac{7}{5}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\left(x+\dfrac{7}{5}\right)^2-\left(x-\dfrac{7}{5}\right)^2}{\left(x-\dfrac{7}{5}\right)\left(x+\dfrac{7}{5}\right)}\leqslant 0\\ & \Longleftrightarrow & \dfrac{\dfrac{28}{5}x}{\left(x-\dfrac{7}{5}\right)\left(x+\dfrac{7}{5}\right)}\leqslant 0\end{eqnarray*}
Solutionnons chacun des facteurs.
Le facteur au numérateur s'annule trivialement en \( 0 \) .
Les deux facteurs aux dénominateurs s'annulent en \( -\dfrac{7}{5}\) et \( \dfrac{7}{5}\) (cela se retrouve par la résolution d'une équation au produit nul) et sont donc des valeurs interdites (puisqu'au dénominateur).
Dressons le tableau de signe :
La lecture du tableau donne :
\[
S=\left]-\infty ; -\dfrac{7}{5} \right[\cup\left[0 ; \dfrac{7}{5}\right[
\]